专题02 有理数的运算（考点清单，知识导图+10个考点清单+6种题型解读）-2024-2025学年六年级数学下学期期中考点大串讲（人教版2024五四制）

专题02 有理数的运算（考点清单，知识导图+10个考点清单+6种题型解读） 【清单01】有理数加法运算 1.加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． 有理数加法运算的步骤 2. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 3. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 【清单02】有理数减法运算 1.减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 【清单03】有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 【清单04】有理数乘法运算 1. 有理数的乘法法则 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与0 相乘，都得0 . 2. 有理数乘法的符号法则 a 与b 乘积的符号 a 与b 的符号 正 同号，即a>0，b>0 或a<0，b<0 负 同号，即a>0，b>0 或a<0，b<0 0 至少一个为0，即a=0 或b=0 3.倒数 定义 乘积是1 的两个数互为倒数. 倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 a(a ≠ 0)的倒数是 若a ， b 互为倒数， 则a·b=1 若a·b=1， 则a，b 互为倒数 都成对出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 a 的相反数是－a 若a，b 互为相反数， 则a＋b=0 若a＋b=0， 则a，b 互为相反数 4.乘法运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b＋c)=ab＋ac 【清单05】有理数除法运算 1. 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法点拨：除法法则的选用原则 3.分数的化简 （1）实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程. （2）分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变. 【清单06】有理数乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 【清单07】有理数乘方运算 1.乘方运算的意义 概念 示例 乘方 求n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方 读作“a 的n 次方” 幂 乘方的结果叫作幂 底数和指数 an 中，a 叫作底数，n叫作指数 2. an，－an 和(－a)n 的联系与区别 知识拓展：(1)负数的奇次幂是负数, 负数的偶次幂是正数；(2)乘方运算中, 当底数有“－”号时, 底数要加括号；(3)当底数互为相反数时, 它们的奇次幂也互为相反数, 偶次幂相等. 3.乘方的运算法则 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数； (3)0 的任何正整数次幂都是0 . 【清单08】有理数混合运算 有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【清单09】科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2. 科学记数法表示数的步骤 3.还原科学记数法表示的数 4.方法点拨：比较用科学记数法表示的两个数大小的方法 【清单10】近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. 3. 近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数的精确度的表述方法： (1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等； (2)用小数表示，如精确到0 .1，精确到0 .0 1 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到1 kg，精确到1 m等. 4. 取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法. 【考点题型一】有理数的运算 【例1】（22-23七年级上·山东济宁·期中）现定义运算“*”：对于任意有理数a，b，满足．例如：，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算，直接利用新的运算法则将和，从而求出，读懂运算规则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）利用加法的交换律和结合律计算，即可求解； （2）先计算乘方，再计算乘除，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可． （1）利用有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）利用有理数的乘除混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式1-3】（23-24七年级上·四川达州·期中）定义一种运算：，求 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用已知的新定义计算即可得到结果，注意运算顺序． 【详解】解： = = = = = =． 【变式1-4】（22-23七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)13 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数四则混合运算等知识点，将新定义运算转化成有理数四则混合运算成为解题的关键； （1）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可； （2）先分别根据新运算法则计算两个代数式，然后比较即可； （3）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：． （3）解： ． 【考点题型二】有理数的运算的应用 【例2】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）某地一天最高气温℃，最低气温℃，这天的温差是（  ）℃． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查负数，有理数的知识，解题的关键是掌握温差的定义，有理数的加减运算，即可． 【详解】解：这天的温差为（℃） 故选：B． 【变式2-1】（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）某市客运管理部门对“五一”黄金周假期五天的客流变化最做了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示下降数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 变化/万人 20 9 3 与4月30日比，5月3日的客流量变化了多少（    ） A．下降了5万人 B．上升了13万人 C．上升了21万人 D．下降了7万人 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，正负数的意义，将表格中前3天的数据求和后，进行判断即可． 【详解】解：， ∴与4月30日比，5月3日的客流量上升了13万人； 故选B． 【变式2-2】（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）一架直升机从高度为600米的位置开始，先以20米/秒的速度垂直上升60秒，后以12米/秒的速度垂直下降100秒，这时飞机所在的高度是 米． 【答案】600 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，有理数的运算，根据上升为正，下降为负，由题意进行有理数加减运算即可． 【详解】记上升为正，下降为负，则飞机高度为： （米）． 故答案为：600 【变式2-3】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）10筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：． 问：平均每筐苹果重多少？ 【答案】平均每筐苹果重千克 【分析】本题考查了正数和负数，有理数四则运算的实际应用，利用有理数的加法得出与标准的差是解题关键．根据有理数的加法，可得与标准的差，根据有理数的除法，可得平均数． 【详解】解： （千克） 答：平均每筐苹果重千克． 【变式2-4】（23-24七年级上·四川达州·期中）某检修小组乘一辆汽车沿检修路约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位：，，，，，，，，，，，求： (1)问收工时检修小组在A，地的哪一边，距A地多远？ (2)若每千米汽车耗油3升，开工时储存180升汽油，回到收工时中途是否需要加油？若加油，最少加多少升？若不需要加油，到收工时还剩多少升汽油？ 【答案】(1)收工时在地的正东方向，距地． (2)故到收工时中途需要加油，加油量为升． 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）求出这几个数的和，根据结果的符号确定方向，绝对值确定距离； （2）计算行驶的总路程和耗油量，比较得出答案． 【详解】（1）根据题意可得：向东走为“”，向西走为“”； 则收工时距离等于． 故收工时在地的正东方向，距地． （2）从地出发到收工时， 汽车共走了； 从地出发到收工时耗油量为（升． 故到收工时中途需要加油，加油量为升 【考点题型三】科学计数法 【例3】（23-24七年级上·云南曲靖·期中）连接海口、文昌两市的跨海大桥，近日获国家发改委批准建设，该桥估计总投资 ．数据 用科学记数法表示应是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：B 【变式3-1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）高铁深受市民喜爱，客流量逐年递增，2023年，某地高铁客流量再创新高，日最高客流人次，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数字用科学记数法表示为． 故选：B 【变式3-2】（23-24七年级上·河南商丘·期中）在网络上用“”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为 【变式3-3】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）赤道半径为6378200米，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为： 【变式3-4】（23-24七年级上·湖北鄂州·期中）太和镇上洪村小莹家今年种植的黄桃获得大丰收. 一位客户来买了10箱黄桃，小莹帮助爸爸记账，每箱黄桃的标准重量为10千克，超过标准重量的部分记为“”，不足标准重量的部分记为“”，莹莹的记录如下（单位：千克）：，，，，，，，0，，． (1)计算这10箱黄桃的总重量为多少千克？ (2)如果黄桃的价格为20元/千克，计算莹莹家出售这10箱黄桃共收入多少元？（精确到十位，用科学记数法表示） (3)若都用这种纸箱装，莹莹家的黄桃共能装500箱，按照20元/千克的价格，把黄桃全部出售，莹莹家大约能收入多少元？（精确到万位，用科学记数法表示） 【答案】(1)千克 (2)元 (3)元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用； （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）根据黄桃的价格为20元/千克，列出算式计算即可； （3）根据莹莹家的黄桃共能装500箱，按照20元/千克的价格，把黄桃全部出售，列式求出结果即可； 解题的关键是根据题意列出算式． 【详解】（1）解：（千克） （千克） ∴这10箱黄桃的总重量为100.05千克． （2）解：（元）， ∴莹莹家出售这10箱黄桃共收入大约元． （3）解：（元）， 答：莹莹家大约能收入元． 【考点题型四】近似数 【例4】（23-24七年级上·广东汕头·期中）用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的确定方法是解题关键．近似数精确到哪一位，是对下一位的数字进行四舍五入得到的，由于的近似值为0.270，则由四舍五入近似可得的取值范围，即看万分位上的数． 【详解】解：由题意得，当满足时，得到的近似数为0.270． 故选：D． 【变式4-1】（22-23七年级上·浙江·期中）把精确到十分位的近似数是23.6，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数精确到十分位是23.6，则的取值范围为． 故选：B 【变式4-2】（23-24七年级上·吉林·期中）用四舍五入法取近似值： （精确到百分位）． 【答案】 【分析】本题考查近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．把千分上的数字进行四舍五入即可．正确理解近似数和有效数字是解题的关键． 【详解】解：用四舍五入法取近似值：（精确到百分位）． 故答案为： 【变式4-3】（22-23七年级上·河南平顶山·期中）8位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得8.3分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是 分． 【答案】8.33 【分析】本题考查平均数的计算及四舍五入取近似值的运用，读懂题意，按要求逐步计算即可得到答案，熟练掌握平均数的计算方法，理解四舍五入取近似值方法是解决问题的关键． 【详解】解：设该运动员的实际得分为， 用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到8.3，则， 8位裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是6个人的分数， 该运动员的有效总得分为，其范围是， 每位裁判给的分数都是整数，则得分总和也是整数， 在49.5和50.1之间只有50是整数，即该运动员的有效总得分是50分，则，精确到两位小数就是8.33， 故答案为：8.33 【变式4-4】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）如图，是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m）    (1)用式子表示这所住宅的建筑面积； (2)若武汉今年10月的房价均价约为16183元，求当图中的时，住户买此房产的总房价．（计算结果四舍五入到万位） 【答案】(1)， (2)万元. 【分析】（1）把四个小长方形的面积合并起来即可； （2）把代入（1）中的代数式求得答案，再按要求取近似值即可． 【详解】（1）解：住宅的建筑面积为：； （2）当时， 住宅的建筑面积有． ∴住户买此房产的总房价（万元）. 【点睛】此题考查列代数式，求解代数式的值，近似数的含义，理解题意，利用面积公式列出代数式是解决问题的关键． 【考点题型五】数形结合思想 【例5】（22-23七年级上·重庆·期中）数轴上a，b两数如图所示，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可知：，且，根据有理数的运算法则进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，故A不正确，不符合题意； ∴，故B不正确，不符合题意； ∴，故C正确，符合题意； ∴，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据数轴比较大小以及有理数的运算法则，解题的关键是熟练掌握两数相乘（除），同号得正，异号得负；同号两数相加，取它们相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减；减去一个数等于加上它的相反数． 【变式5-1】（22-23七年级上·福建泉州·期中）有理数a，b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据数轴上各数的位置得出，依此即可得出结论． 【详解】解：由数轴上的位置关系可知： ①， ∵， ∴，故①正确； ②∵ ∴， ∴，故②错误； ③∵ ∴；故③错误； ④∵， ∴， ∴．故④正确． 故正确的结论有①④，一共2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较，有理数的乘法法则，乘方运算等知识；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键 【变式5-2】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数a，b在数轴上表示如下图：则下列结论正确的有 （填序号）． ①，②，③，④，⑤，⑥ 【答案】④⑤⑥ 【分析】由数轴可知，且，再根据选项分别判断即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴，， 故①②不正确； ∵， ∴， 故③不正确； ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故⑤正确； ∵， ∴故⑥正确； 故答案为：④⑤⑥． 【点睛】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的性质，加减法的法则、乘除法的法则是解题的关键 【变式5-3】（23-24七年级上·山东临沂·期中）一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向西走了2千米到达小琪家，然后又向东走了4千米到达小莉家，继续向东走了千米到达小刚家，最后回到饭店．以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点O，A，B，C分别表示饭店，小莉家，小刚家，小琪家． (1)请你在数轴上表示出点O，A，B，C的位置； (2)小刚家距小琪家多远？ (3)小琪步行到小刚家，每小时走4千米：小刚步行到小琪家，每小时走6千米，若两个人同时分别从自己家出发，则相遇时距离小莉家多远． 【答案】(1)见解析 (2)小刚家距小琪家千米 (3)两个人相遇之时距小莉家1千米 【分析】本题考查了相反意义的量，两点间的距离，有理数加减的运算应用． （1）根据相反意义的量，结合距离描述在数轴上即可． （2）根据题意，得，，，根据两点间的距离公式计算即可． （3）根据题意，得相遇时间为(小时)，再计算小琪运动后的位置，再利用两点间的距离计算与A的距离即可． 【详解】（1）根据题意，点O，A，B，C的位置如图所示： （2）根据题意，得，，， ∴(千米)， 答：小刚家距小琪家千米． （3）∵千米，小琪步每小时走4千米：小刚每小时走6千米， ∴两人相遇时间为(小时)， ∵(千米)， ∴小琪相遇时的位置是(千米)， ∵， 两点间的距离是(千米)， 故两个人相遇之时距小莉家1千米 【变式5-4】（22-23七年级上·陕西西安·期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为24，则当它的右端移动到点A时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，求木棒的长度； (2)图中点A所表示的数是 ； (3)由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助媛媛解决下列问题： 一天，媛媛去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？ 【答案】(1)6厘米 (2)12 (3)70岁 【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18厘米，即可求出木棒的长度． （2）根据木棒长度，将木棒沿数轴水平向左移动到A点时，则它右端在数轴上所对应的为木棒的长度即可求出A所表示的数． （3）在求爷爷的年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷比小红大时看作点A移动到点B，此时B所对应的数为-40，小红比爷爷大时看作B点移动到A点时，此时A点数为125，所以可知爷爷比小红大，可知爷爷的年龄． 【详解】（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18厘米，则此木棒的长为：18÷3=6厘米， 故答案为6厘米． （2）因为木棒长6厘米，将木棒沿数轴向左水平运动，则当它的右端移动到A点时，则它的右端数轴上所对应的数为12， 故答案为12． （3）借助数轴，把小红与爷爷的年龄看作AB的长度，类似爷爷比小红大时看作点A移动到点B，此时B所对应的数为-40，小红比爷爷大时看作B点移动到A点时，此时A点数为125，所以可知爷爷比小红大，可知爷爷的年龄为125-55=70（岁）， 故爷爷的年龄为70岁． 【点睛】本题考查数轴的特点，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看作一个整体（木棒AB），然后把此转化为上一题的问题． 【考点题型六】分类讨论思想 【例6】（22-23七年级上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值正确掌握运算法则是解题关键；直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】∵，，且， ∴或， ∴或 ， 故选：D 【变式6-1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）对于有理数x，y，若，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的计算，正确确定x，y的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键．先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【详解】解：∵， ∴x，y异号． 当，时，则； 当，时，则； 综上，的值是． 故选：B． 【变式6-2】（23-24七年级上·江西南昌·期中）已知整数a，b满足，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要查了有理数的加法，乘除运算．根据有理数的乘法可得a，b异号，从而得到b取正整数，再根据有理数的加法运算可得b取1,2,3，即可求解． 【详解】解：∵， ∴a，b异号， ∵，a，b为整数， ∴b取正整数， ∵， ∴b取1,2,3， ∴或或． 故答案为：或或 【变式6-3】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．    (1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______． (2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1． (3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数． 【答案】(1)9，，， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式直接求解即可； （2）在图二的数轴上表示出三个数即可； （3）按照两个数轴的比例得出在图二中的数值即可． 【详解】（1）解：在图1的数轴上，个单位长度；在图2中，；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，在数轴上点所对应的数． 故答案为：9，，，； （2）解：∵， ∴在处， ∵， ∴0在处， ∵， ∴1在处． 如图，    （3）解：∵， ∴D在图2中对应刻度尺上的的长度为：， ∴或， ∴点D在图2中对应刻度尺上的读数为：或． 【变式6-4】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）如图，A，B为数轴上的两点，且点A在点B的左侧．      (1)若点A和点B表示的数互为相反数，且两点之间的距离为8.4，求点A和点B表示的数，并判断在点A的左侧还是右侧； (2)已知点A表示的数是，点B表示的数是1．若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动：同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设点P运动的时间为（秒）． ①直接写出点A到点B的距离，并求点P与点Q相遇时，t的值； ②求当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，点Q表示的数； ③某一时刻，若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求此时点A，B，P，Q所表示的数之和． 【答案】(1)点A表示的数为，点B表示的数为4.2；在点A的左侧 (2)①秒；②；③或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的运算． （1）利用相反数到原点的距离相等，以及两点间的距离为8.4，求出点A和点B表示的数，比较与点表示的数的大小，判断位置即可； （2）①利用两点间的距离公式求出点A到点B的距离，利用时间等于路程除以速度求出的值即可； ②根据题意得到点移动到的中点，求出点移动的时间，进而求出点表示的数即可； ③分点在点左侧和点在点右侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A和点B表示的数互为相反数，且两点之间的距离为8.4， ∴点表示的数为，点表示的数为； ∵， ∴在点A的左侧； （2）①，； ②当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，点移动到的中点， ∴， ∴点表示的数为； ③当点P在点B左侧时，因为点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍， 所以点P表示的数为， 所以运动的时间为， 所以点Q表示的数为． 此时点A，B，P，Q表示的数之和为； 当点P在点B右侧时，点P表示的数为， 运动的时间为， 所以点Q表示的数为， 此时点A，B，P，Q表示的数之和为． 综上，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍时，点A，B，P，Q表示的数之和为或 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的运算（考点清单，知识导图+10个考点清单+6种题型解读） 【清单01】有理数加法运算 1.加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． 有理数加法运算的步骤 2. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 3. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 【清单02】有理数减法运算 1.减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 【清单03】有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 【清单04】有理数乘法运算 1. 有理数的乘法法则 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与0 相乘，都得0 . 2. 有理数乘法的符号法则 a 与b 乘积的符号 a 与b 的符号 正 同号，即a>0，b>0 或a<0，b<0 负 同号，即a>0，b>0 或a<0，b<0 0 至少一个为0，即a=0 或b=0 3.倒数 定义 乘积是1 的两个数互为倒数. 倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 a(a ≠ 0)的倒数是 若a ， b 互为倒数， 则a·b=1 若a·b=1， 则a，b 互为倒数 都成对出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 a 的相反数是－a 若a，b 互为相反数， 则a＋b=0 若a＋b=0， 则a，b 互为相反数 4.乘法运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b＋c)=ab＋ac 【清单05】有理数除法运算 1. 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法点拨：除法法则的选用原则 3.分数的化简 （1）实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程. （2）分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变. 【清单06】有理数乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 【清单07】有理数乘方运算 1.乘方运算的意义 概念 示例 乘方 求n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方 读作“a 的n 次方” 幂 乘方的结果叫作幂 底数和指数 an 中，a 叫作底数，n叫作指数 2. an，－an 和(－a)n 的联系与区别 知识拓展：(1)负数的奇次幂是负数, 负数的偶次幂是正数；(2)乘方运算中, 当底数有“－”号时, 底数要加括号；(3)当底数互为相反数时, 它们的奇次幂也互为相反数, 偶次幂相等. 3.乘方的运算法则 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数； (3)0 的任何正整数次幂都是0 . 【清单08】有理数混合运算 有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【清单09】科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2. 科学记数法表示数的步骤 3.还原科学记数法表示的数 4.方法点拨：比较用科学记数法表示的两个数大小的方法 【清单10】近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. 3. 近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数的精确度的表述方法： (1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等； (2)用小数表示，如精确到0 .1，精确到0 .0 1 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到1 kg，精确到1 m等. 4. 取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法. 【考点题型一】有理数的运算 【例1】（22-23七年级上·山东济宁·期中）现定义运算“*”：对于任意有理数a，b，满足．例如：，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) 【变式1-2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1-3】（23-24七年级上·四川达州·期中）定义一种运算：，求 【变式1-4】（22-23七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【考点题型二】有理数的运算的应用 【例2】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）某地一天最高气温℃，最低气温℃，这天的温差是（  ）℃． A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）某市客运管理部门对“五一”黄金周假期五天的客流变化最做了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示下降数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 变化/万人 20 9 3 与4月30日比，5月3日的客流量变化了多少（    ） A．下降了5万人 B．上升了13万人 C．上升了21万人 D．下降了7万人 【变式2-2】（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）一架直升机从高度为600米的位置开始，先以20米/秒的速度垂直上升60秒，后以12米/秒的速度垂直下降100秒，这时飞机所在的高度是 米． 【变式2-3】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）10筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：． 问：平均每筐苹果重多少？ 【变式2-4】（23-24七年级上·四川达州·期中）某检修小组乘一辆汽车沿检修路约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位：，，，，，，，，，，，求： (1)问收工时检修小组在A，地的哪一边，距A地多远？ (2)若每千米汽车耗油3升，开工时储存180升汽油，回到收工时中途是否需要加油？若加油，最少加多少升？若不需要加油，到收工时还剩多少升汽油？ 【考点题型三】科学计数法 【例3】（23-24七年级上·云南曲靖·期中）连接海口、文昌两市的跨海大桥，近日获国家发改委批准建设，该桥估计总投资 ．数据 用科学记数法表示应是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）高铁深受市民喜爱，客流量逐年递增，2023年，某地高铁客流量再创新高，日最高客流人次，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级上·河南商丘·期中）在网络上用“”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为，这个数用科学记数法表示为 ． 【变式3-3】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）赤道半径为6378200米，用科学记数法表示为 米． 【变式3-4】（23-24七年级上·湖北鄂州·期中）太和镇上洪村小莹家今年种植的黄桃获得大丰收. 一位客户来买了10箱黄桃，小莹帮助爸爸记账，每箱黄桃的标准重量为10千克，超过标准重量的部分记为“”，不足标准重量的部分记为“”，莹莹的记录如下（单位：千克）：，，，，，，，0，，． (1)计算这10箱黄桃的总重量为多少千克？ (2)如果黄桃的价格为20元/千克，计算莹莹家出售这10箱黄桃共收入多少元？（精确到十位，用科学记数法表示） (3)若都用这种纸箱装，莹莹家的黄桃共能装500箱，按照20元/千克的价格，把黄桃全部出售，莹莹家大约能收入多少元？（精确到万位，用科学记数法表示） 【考点题型四】近似数 【例4】（23-24七年级上·广东汕头·期中）用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23七年级上·浙江·期中）把精确到十分位的近似数是23.6，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级上·吉林·期中）用四舍五入法取近似值： （精确到百分位）． 【变式4-3】（22-23七年级上·河南平顶山·期中）8位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得8.3分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是 分． 【变式4-4】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）如图，是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m）    (1)用式子表示这所住宅的建筑面积； (2)若武汉今年10月的房价均价约为16183元，求当图中的时，住户买此房产的总房价．（计算结果四舍五入到万位） 【考点题型五】数形结合思想 【例5】（22-23七年级上·重庆·期中）数轴上a，b两数如图所示，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23七年级上·福建泉州·期中）有理数a，b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-2】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数a，b在数轴上表示如下图：则下列结论正确的有 （填序号）． ①，②，③，④，⑤，⑥ 【变式5-3】（23-24七年级上·山东临沂·期中）一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向西走了2千米到达小琪家，然后又向东走了4千米到达小莉家，继续向东走了千米到达小刚家，最后回到饭店．以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点O，A，B，C分别表示饭店，小莉家，小刚家，小琪家． (1)请你在数轴上表示出点O，A，B，C的位置； (2)小刚家距小琪家多远？ (3)小琪步行到小刚家，每小时走4千米：小刚步行到小琪家，每小时走6千米，若两个人同时分别从自己家出发，则相遇时距离小莉家多远． 【变式5-4】（22-23七年级上·陕西西安·期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为24，则当它的右端移动到点A时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，求木棒的长度； (2)图中点A所表示的数是 ； (3)由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助媛媛解决下列问题： 一天，媛媛去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？ 【考点题型六】分类讨论思想 【例6】（22-23七年级上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 【变式6-1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）对于有理数x，y，若，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【变式6-2】（23-24七年级上·江西南昌·期中）已知整数a，b满足，则 ． 【变式6-3】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．    (1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______． (2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1． (3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数． 【变式6-4】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）如图，A，B为数轴上的两点，且点A在点B的左侧．      (1)若点A和点B表示的数互为相反数，且两点之间的距离为8.4，求点A和点B表示的数，并判断在点A的左侧还是右侧； (2)已知点A表示的数是，点B表示的数是1．若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动：同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设点P运动的时间为（秒）． ①直接写出点A到点B的距离，并求点P与点Q相遇时，t的值； ②求当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，点Q表示的数； ③某一时刻，若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求此时点A，B，P，Q所表示的数之和． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$