专题01 平面向量12大重点题型（举一反三期中专项训练）高一数学下学期苏教版必修第二册

专题01 平面向量12大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 平面向量的概念 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 2．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 3．（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 4．（24-25高一下·河南开封·月考）下列说法中，正确的序号是__________． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 题型2 平面向量的线性运算 6．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖北武汉·期中）化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则__________（用，表示）. 10．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 题型3 向量数量积的计算 11．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D． 14．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________. 15．（24-25高一下·四川德阳·期中）已知向量夹角为的向量，满足，. (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 题型4 向量共线定理及其应用 16．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 17．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 18．（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 19．（24-25高一下·上海·期中）已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 20．（24-25高一下·湖北荆州·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：，，三点共线； (2)若，且，求实数的值． 题型5 平面向量基本定理及其应用 21．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·湖北十堰·期中）在中，，，若，则__________. 25．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 题型6 向量共线、垂直的坐标表示 26．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 27．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 28．（24-25高一下·吉林长春·期中）设，向量，，，且，，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 29．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，且为非零实数，求的值. 30．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知，. (1)若，且A、B、C三点共线，求m的值. (2)当实数k为何值时，与垂直？ 题型7 平面向量数量积的坐标表示 31．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 32．（24-25高一下·广东·期中）已知向量，若，则（   ） A．3 B．4 C． D． 33．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知向量，且，的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 35．（24-25高一下·云南文山·期中）已知平面向量，满足：，. (1)求； (2)求； (3)若向量与的方向相反，求m的值. 题型8 向量坐标运算的几何应用 36．（24-25高一下·甘肃武威·期中）如图，在边长为2的正方形中，的中点为E，线段上有一动点P，过P作于点M，则的最小值为（） A．0 B． C． D． 37．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在矩形中，，与的交点为，为边上任意一点（包含端点），则的取值范围为________.    40．（24-25高一下·北京·期中）如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点． (1)求证：（用向量法证明）； (2)设，求的值． (3)若点P（不与点E重合）为正方形ABCD边上的动点，直接写出的取值范围． 题型9 用向量解决夹角、线段长度问题 41．（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 42．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 43．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为__________. 45．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 题型10 向量与几何最值问题 46．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 48．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为__________. 50．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 题型11 向量在物理中的应用 51．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 53．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 54．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为___________． 55．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 题型12 向量新定义 56．（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 57．（24-25高一下·江苏常州·期中）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（   ） A． B．2 C． D． 58．（24-25高一下·湖北·期中）定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（   ） A．该运算满足交换律，即 B．若向量，共线，则 C．的值等于以，为邻边的平行四边形的面积 D．对任意向量，有 59．（24-25高一下·江西萍乡·期中）设平面内两个非零向量的夹角为，定义运算“”：. (1)若向量满足，求的值； (2)在平面直角坐标系中，若，用表示，并化简：若点，求的值； (3)若向量，求的最小值. 60．（24-25高一下·贵州黔南·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量12大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 平面向量的概念 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【解题思路】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可. 【解答过程】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误. 故选：C． 2．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 【答案】D 【解题思路】根据单位向量、共线向量的定义及零向量的性质判断各项的正误即可. 【解答过程】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错； B：若为零向量时，不一定共线，错； C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错； D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对. 故选：D. 3．（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【答案】D 【解题思路】根据向量、共线向量、零向量、单位向量的概念逐一判断． 【解答过程】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 4．（24-25高一下·河南开封·月考）下列说法中，正确的序号是__________． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③ 【解题思路】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断. 【解答过程】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等， 所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同， 所以④错误. 故答案为：①③. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 题型2 平面向量的线性运算 6．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算化简求解. 【解答过程】由题意可得， 故选：D. 7．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用平面的线性运算法则求解即可. 【解答过程】由题意得 ． 故选：C. 8．（24-25高一下·湖北武汉·期中）化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确； 故选：B. 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则__________（用，表示）. 【答案】 【解题思路】根据向量线性运算法则计算即可求. 【解答过程】由题意，，， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【解答过程】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则， 可得. 题型3 向量数量积的计算 11．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【解答过程】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C. 12．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得. 【解答过程】因为， 化简得：，解得：. 故选：C. 13．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用勾股定理判断出，求得斜边上的高，由此求得的取值范围，根据的夹角的取值范围，以及向量数量积运算公式，求得的最大值. 【解答过程】由于，，， . 如图，作，垂足为D. 由，得. 由题意知, 且. 又. ∴当点均与点A重合时，最大 故. 故选：A. 14．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________. 【答案】4 【解题思路】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【解答过程】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 15．（24-25高一下·四川德阳·期中）已知向量夹角为的向量，满足，. (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由数量积的定义及运算律即可求解； （2）由向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）因为，，， 所以 . （2）， 所以. 题型4 向量共线定理及其应用 16．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解题思路】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 17．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【解题思路】由平面向量的线性运算将，用，表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可． 【解答过程】解：因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 因为，是平面内的一组基底， 所以由平面向量基本定理可得：， 解得. 故选：C． 18．（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】D 【解题思路】利用平面向量共线向量定理求解即可. 【解答过程】由题意，，，， 不存在唯一的实数使得，所以，，三点不共线，故A错误， 由于， 所以，则，，三点共线，故D正确. 由于， 不存在唯一的实数使得， 不存在唯一的实数使得，故BC错误， 故选：D. 19．（24-25高一下·上海·期中）已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 【答案】 【解题思路】根据向量平行可列出方程组，即可求解. 【解答过程】由于与平行，故设， 即，而向量与不平行， 故，解得， 故答案为：. 20．（24-25高一下·湖北荆州·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：，，三点共线； (2)若，且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）首先求出，即可得到，从而得证； （2）设，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【解答过程】（1）因为，，， 所以， 所以，即， 又与有公共点，所以，，三点共线． （2）由（1）可知，又， 因为，设， ，又，是两个不共线的向量， 所以，解得． 题型5 平面向量基本定理及其应用 21．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 22．（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【解答过程】如下图所示： 因为为的中点，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 因为、不共线，且，所以，， 故. 故选：B. 23．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【解答过程】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 24．（24-25高一下·湖北十堰·期中）在中，，，若，则__________. 【答案】 【解题思路】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得. 【解答过程】因为，， 所以， 又且与不共线， 所以，则. 故答案为：. 25．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【解答过程】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 题型6 向量共线、垂直的坐标表示 26．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】由向量平行的充要条件即可求解. 【解答过程】因为，，且， 所以，解得. 故选：C. 27．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【解答过程】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B. 28．（24-25高一下·吉林长春·期中）设，向量，，，且，，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【解题思路】应用向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，即可得. 【解答过程】由向量，，， 因为，可得，解得. 由，可得，解得， 故. 故选：B. 29．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，且为非零实数，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，得到，由，结合向量的数量积的坐标表示，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到，由，结合共线向量的坐标表示，列出方程，求得的关系式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为，可得， 因为，所以，解得. （2）解：因为， 可得 ， 又因为，所以，可得， 因为为非零实数，所以. 30．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知，. (1)若，且A、B、C三点共线，求m的值. (2)当实数k为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量线性运算的坐标表示，根据共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案； （2）根据题意，求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求得. 【解答过程】（1）因为，， 所以， . 因为A、B、C三点共线， 所以，得. （2）因为，， 所以. 因为与垂直，所以， 解得. 题型7 平面向量数量积的坐标表示 31．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】A 【解题思路】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解. 【解答过程】， . 故选：A. 32．（24-25高一下·广东·期中）已知向量，若，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量坐标的减法运算和数量积公式列方程即可求解. 【解答过程】因为， 所以，解得. 故选：D. 33．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知向量，且，的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示，列式求解. 【解答过程】向量，由，的夹角为钝角，得且不共线， 则，解得且， 所以的取值范围为. 故选：D. 34．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标表示列式求出范围. 【解答过程】由与的夹角为钝角，得且与不反向共线，则，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 35．（24-25高一下·云南文山·期中）已知平面向量，满足：，. (1)求； (2)求； (3)若向量与的方向相反，求m的值. 【答案】(1)11 (2) (3)． 【解题思路】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算即可求解. （2）根据平面向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算即可求解. （3）先根据平面向量线性运算的坐标表示得出向量与的坐标；再根据向量共线的坐标表示列出方程求出m的值；最后验证m的值是否满足题意即可. 【解答过程】（1）∵，， ∴， 则， 所以. 则， ∴. （2）∵， ∴， ∴. （3）∵，， ∴， . 又∵向量与的方向相反， ∴向量与向量共线， 则， 解得：或． 当时，向量与向量的方向相同，不满足题意； 当时，向量与向量的方向相反，满足题意. 综上可得：． 题型8 向量坐标运算的几何应用 36．（24-25高一下·甘肃武威·期中）如图，在边长为2的正方形中，的中点为E，线段上有一动点P，过P作于点M，则的最小值为（） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，再根据向量数量积的坐标运算公式得到一个关于动点坐标的函数，最后通过求函数的最小值来解决问题. 【解答过程】正方形的边长为，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，，， 直线BE过，，设解析式为， 则，解得，得BE解析式为， 设（），因为，所以. 则，, 则, 令（），对称轴为，函数图象开口向上，在处取得最小值，. 故选：B. 37．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【解答过程】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 38．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【解答过程】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 39．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在矩形中，，与的交点为，为边上任意一点（包含端点），则的取值范围为________.    【答案】 【解题思路】建系，由平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】以点为坐标原点，，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，    则，，， 设，所以，， 则， 因为，所以. 故答案为：. 40．（24-25高一下·北京·期中）如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点． (1)求证：（用向量法证明）； (2)设，求的值． (3)若点P（不与点E重合）为正方形ABCD边上的动点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的坐标表示推理得证. （2）利用向量线性运算的坐标表示，结合相等向量列式求解. （3）按点的不同位置设出其坐标，利用数量积的坐标表示列式求出范围. 【解答过程】（1）以直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， ，， 所以. （2）由（1）知，， 由，得，解得， 所以. （3）由（1）知， 当在线段上时，设，，； 当在线段上时，设，， ； 当在线段上时，设，，； 当在线段上时，设，， ， 所以的取值范围是. 题型9 用向量解决夹角、线段长度问题 41．（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解答过程】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 42．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解答过程】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， ， 故选：D． 43．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【解答过程】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 44．（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为__________. 【答案】 【解题思路】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【解答过程】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 45．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【解答过程】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 题型10 向量与几何最值问题 46．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【解答过程】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D. 47．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，由此可知表示轴上一点到和的距离之和，由对称性即可得出答案. 【解答过程】由可得， 又因为，，所以， 建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以，， ， 所以， ， 表示轴上一点到和的距离之和， 所以求即， 关于轴的对称点为， 所以， 所以的最小值为，    故选：A. 48．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令利用向量得线性运算及数量积运算将表示成t的函数，再求函数值域作答. 【解答过程】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为. 故选：B. 49．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【解答过程】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 50．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【解答过程】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得 ； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 题型11 向量在物理中的应用 51．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先计算，再利用公式计算即可. 【解答过程】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A. 52．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功. 【解答过程】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 故选：A. 53．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【解题思路】由平面向量加法的平行四边形法则可知，，求得的坐标，然后利用坐标求模长建立关于的方程，解方程即可得解. 【解答过程】    设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去）. 故选：A. 54．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为___________． 【答案】6 【解题思路】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积的坐标公式进行计算. 【解答过程】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：6. 55．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【解题思路】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【解答过程】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 题型12 向量新定义 56．（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】利用向量夹角余弦公式得到，由同角三角函数关系得到正弦值，进而代入公式求出答案. 【解答过程】， 故， 所以， 故. 故选：D. 57．（24-25高一下·江苏常州·期中）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得． 【解答过程】由题可知，， 所以，所以， 故选：A． 58．（24-25高一下·湖北·期中）定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（   ） A．该运算满足交换律，即 B．若向量，共线，则 C．的值等于以，为邻边的平行四边形的面积 D．对任意向量，有 【答案】D 【解题思路】根据新定义逐项计算判断即可. 【解答过程】对于A，根据定义，，故A一定成立； 对于B，若向量，共线，则或，则，所以，故B一定成立； 对于C，以，为邻边的平行四边形的面积为，故C一定成立； 对于D，若且与不共线，则，但，故D不一定成立. 故选：D. 59．（24-25高一下·江西萍乡·期中）设平面内两个非零向量的夹角为，定义运算“”：. (1)若向量满足，求的值； (2)在平面直角坐标系中，若，用表示，并化简：若点，求的值； (3)若向量，求的最小值. 【答案】(1)4； (2)，0； (3)25. 【解题思路】（1）利用向量夹角公式及新定义求解. （2）利用向量的夹角公式，结合新定义求得，由此求出. （3）由（2）的结论求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】（1）由，得，又，则， 而，则， 所以. （2）由，得， 则， ， 所以； 由，得， 所以. （3）向量，， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 60．（24-25高一下·贵州黔南·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1），故，得到“广义坐标”为； （2）计算出，，，故； （3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为. 【解答过程】（1）由题意得， 故， 故的“广义坐标”为； （2）由题意得，， 故 ， ，故， ，故， 所以向量与的夹角的余弦值为； （3）在平面直角坐标系中，， 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，解得， 故向量的“广义坐标”为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $