专题01 平面向量的运算·定理·应用（十六大高频考点）（期末复习专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量运算、定理及几何应用，以16类题型构建从概念到综合应用的递进训练体系，强化抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|8题|几何表示、加减运算化简|从向量几何意义到代数运算，构建概念理解基础| |核心定理与运算|16题|数量积、基本定理、夹角模计算|以数量积为核心，结合基本定理实现向量分解与运算转化| |几何综合应用|24题|三角形心的向量表示、共线证明、定最值|从线性运算几何应用到动态问题，培养推理意识与空间观念|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01平面向量的运算·定理·应用 题型归纳·内容导航 题型1平面向量的几何表示 、 题型9根据向量关系判断三角形的心（难点） 题型2平面向量的加减运算 题型10向量数量积运算律（重点） 题型3平面向量的数量积问题（重点） 题型11向量夹角的计算（常考点） 题型4平面向量基本定理（重点） 题型12求向量的模（常考点） 题型5向量的线性运算几何应用（常考点） 题型13平面向量共线定理证明点共线问题 题型6三角形的心的向量表示 题型14用基底表示向量 题型7向量坐标的线性运算解决几何问题 题型15线段的定比分点（重点) 题型8平面向量在几何中的定值问题（重点） 题型16平面向量在几何中的最值问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型1平面向量的几何表示（共4小题） 1.已知P是平行四边形ABCD边CD上的一点，则下列正确的是(). A.DA+DP=PA B.AB+BC+CP=PA C.AP+PC=AB+AD D.DA+AB=BP-DP 2.如图，O是平行四边形ABCD外一点，则OB=() D B A.04+OC-OD B.0A+0C+0D C.OA-OC+OD D.0A-0C-0D 3.已知O为平行四边形ABCD所在平面上一点，且OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,则() A.a+b+c+q=0 B.a-b-c+d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b+c-d=0 4.如图所示，己知平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b. 1/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a (1)用a,五表示向量AC,DB; (2)当a,E满足什么条件时，ā+b与ā-b垂直： 3)当a,E满足什么条件时，ā+b日ā-万|. 题型2平面向量的加减运算（共4小题） 5.化简下列各式： (1)AB+DF+CD+BC+FA. (2)(AB+DE)+CD+BC+EA. 6.下列各式中不能化简为AD的是() A.AB+CD+BC B.AB+MB+CD+BC C.MB+AD BM D.(OC+40)+CD 7.化简：AB-AC+DE+BD=() A.AE B.BE C.CE D.D 8.AB+MB)+BO+BC)+OM化简后等于() A.BC B.AB C.AM D.AC 题型3平面向量的数量积问题（共4小题）（重点) 9.已知平面向量a,均为单位向量，若（ā+2b上a,则a+b=() A.1 B.2 C.4 D.8 10.已知单位向量a,五满足a-3b=2√2，则12a-3b=() A.42 B.4 C.2W3 D.3 11.已知向量a,的夹角为60°，且a6=1,则a+列=_ 2已知平面向量d,8,4:可a,云：何=瓦-a1,4-o,其中e24, 则a:a2+a+a4+a+a6的最大值为 题型4平面向量基本定理（共4小题）（重点) 13.设e,e,是两个不共线的向量，已知AB=2e,-8e,,CB=e+3e,,CD=2e,-e?. (1)若BF=-2E,+ke与AB互为相反向量，求实数k的值： 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)用e,e,表示CB-CD,并证明A,B,D三点共线， 14.己知平面向量a,b不共线，AB=3a+36,BC=-a+36,CD=a+36,则() A.A,C,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线 15.已知AB=ā+26，BC=-5a+66,CD=7a-2b,则下列一定共线的三点是(） A.A,B,C B.A,B,D C.B,C,D D.A,C,D 16.设g,6,是不共线的非零向量，且ā=g-2e,万=6+3： (1)证明：a,五可以作为一组基底： (2)以a,b为基底，求向量c=3e-e,的分解式： (3)若4e-3e,=a+μb,求1，μ的值. 题型5向量的线性运算几何应用（共4小题）（常考点） 17.己知P,Q为ABC中不同的两点，且3PA+2PB+PC=0,QA+QB+QC=0,则SAPAB:S△Q4B为 18.在ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CD上，且满足BD=2AD,CE=3ED·若 AE=xAB+yAC(x,y∈R),则x+y的值为 19.如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量号4B+D等于() A.AE B.AC C.BD D.BE 2D如图，在ABC中，AD三AB.设AB=d,AC=B,则( B D A.CD=1a-6 B.CD=la-B 4 3 c而-a+6 D.CD=a+b 3 题型6三角形的心的向量表示（共4小题） 21.(多选)设点M是ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是() A.若AM=】AB+AC,则点M是边BC的中点 2 2 3/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上 C.若AM=-BM-CM,则点M是ABC的重心 D.若AM=xAB+yAC,且x+y=,则△MBC的面积是ABC面积的 22.已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，若动点P满足OP=OA+元(AB+AC), 入∈(0，+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的() A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 23.已知0是ABC所在平面内的一点，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若aOA+bOB+c0C=0,则 O是ABC的() A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 24.奔驰定理：己知0是ABC内的一点，若aB0C、△A0C、AOB的面积分别记为S4、Sa、Sc,则 S,·0A+S,0B+S。·0C=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰” 轿车的1ogo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.己知O是ABC的内心，且30A+40B+50C=0,设 ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则5的值为() A C. D. 2 题型7向量坐标的线性运算解决几何问题（共4小题） 25.已知之，是平面内两个不共线的向量，AB=m-2元，BE=3m+i,CE=2m+入(2∈R),且A,C,E 三点共线， (1)求的值： (2)m=(1,1,i=(-4,0,己知点D的坐标为2,3)，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标. 26.已知向量a=(-1,v5),单位向量e=(1,0),向量五满足5-a=1,则万.e的一个取值为 27.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，D-号4C,且点P在以AD的中点0为圆心，OA为半 径的半圆上，则BO.AC=;若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为· B 28.己知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1,B(2,2),C(4,5),而且A,，B,C,D按逆时针方向排 4/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 列，则线段AD的长度为，D点的坐标为 题型8平面向量在几何中的定值问题（共4小题）（重点） 29.ABC中，AB=10,D是BC边的中点.若AC=6,∠A=60°，则AD的长等于() A.5 B.6 C.7 D.8 30.在8C,4B=1,∠B4C-号，点D为5C的中点，D= ,则AC=() 2 A.2 B.3 C.5 D.√7 31.如图，在菱形ABCD中，若AB=3,∠BAD=60°，BE=BC,C下=2FD B (1)若AE=1AB+μAD,EF=xAB+yAD,求元，4，xy的值； (2)求AE以及AE.EF的值； (3)若AE与BF交于点H,求AH:AE的值. 32.己知AC和BD是平行四边形ABCD的对角线，若AC=6,BD=√22，AB=2,则AD= 题型9根据向量关系判断三角形的心（共4小题）（难点） AC 33.在△ABC中，P是不同于三角形顶点的一点，若P7=PA+入 AB (2>0),证明：点I的轨迹过 AC AB 内心 34.己知0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+2(AB+AC,则点P的 轨迹一定通过ABC的(). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 35,如图，已知ABCD.EP分别是AB,BCCA上的时点，且满无-，求证：在DEF 三点运动过程中，△DEF的重心G不动. D G. B 36.0是平面上一定点，P是ABC中一动点且满足：OP=OA+1AB+AC),入>0，则直线AP一定通过 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABC的() A.外心 B.重心 C.内心 D.垂心 题型10向量数量积运算律（共4小题）（重点） 37.已知单位向量a,乃满足a⊥a+2b),则cos(a,b)=() A月 B.0 C.7 D. 2 38.如图，在ABC中，BF=FC,AE=2EC,2BO=3OE.设AB=a,AC=b. (1)用a,b表示A0: (2)求证：A,0,F三点共线： B若B=1,4C=3,∠BAC-胥求∠E0F的余弦值， 39.已知d=1,5=2,a与的夹角是60， (1)计算a-i,a+; (2)求a+b和a的夹角的余弦值. 40.若非零向量a,6的夹角为45，且=4，a-=4,则B在a上的投影向量为 题型11向量夹角的计算（共4小题）（常考点） 41.（多选)已知向量ā=(2，-1)，b=(3,2,c=（x,-4),则下列说法正确的是() A.a+b =26 B.a-b)⊥c,则x=-12 c.在a方前上的投影向绿为0 D.若a,c的夹角为锐角，则x>2 42.两个非零向量a,b满足=2，且ā.6=25，则6在a方向上投影向量的模为() A.1 B.2 c D.4 43.已知=2，=3，a-=万，则向量a与b夹角为() A.60 B.120 C.135 D.150 44.已知向量a,B满足=1，=2，(a-2b)1(3a+6),则向量a与五夹角的余弦值是() 6/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 C. D.3 2 题型12求向量的模（共4小题）（常考点) 45.（多选)已知平面向量ā，6，c满足a=2,6=4,6.(ā-)=-12，（ā-c)(6-c)=0,则下列说法正确的有 () A.(a-b)⊥d B.的最大值为√万+√万 C.a-b1ueR)的最小值为 3 D.sin(a+bc) 46.已知a=3,=5,且a与不共线.若向量a+kb与a-kb互相垂直，则k= 47.已知a,五，C是平面内的三个向量，其中a,五为单位向量，且2a+b1b. (1)求ā与五夹角的大小： 2)设a-2b=2ā+6，求2； (3)设(2ā+c)·2b+c)=1,求d的取值范围. 48.设a,五是两个不共线的向量，teR· 1)若石-b与h-41≠0)共线，求t的值； 2若a卡1，且a与的夹角为否，那么：为何值时，日-历的值最小？ 题型13平面向量共线定理证明点共线问题（共4小题） 49.如图，在ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E,F分别为AC,AD的三等分点，且分别 靠近A,D两点，设AB=a,AC=b. (1)试用a,E表示BC,AD,BE; (2)证明：B,E,F三点共线. 50.设向量e和e,不共线，如果AB=e-e2,BC=3+2e,CD=-8e,-2e,求证：A,C,D三点共线 51.设a,6是不共线的两个非零向量.若0A=2a-b,0B=3ā+b,0C=d-36,求证：A,B,C三点 共线 7/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 52.已知a,6是不共线的向量，且AB=a-4b,BC=-2a+36,CD=3a+3b,则() A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 题型14用基底表示向量（共4小题） 53.如留，右4BC巾，AD-兮AB,点E是CD的中点.设C=0,C西=不，则E=（） 6 c。 0.a+2 6 54.如图，设0x、0y是平面内相交成60角的两条数轴，6、e分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量， 若向量0P=xe,+ye,,则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系x0y中的坐标.假设0P=2,+4e· e (1)设A1,3)、B(m,-2),若A、B、P三点共线，求实数m的值； (2)设00=e+e,,求△OPQ的面积. 55.(多选)如图，点D是ABC中BC边的中点，点G是ABC的重心，则下列结论中正确的是() D A.AB-BC=CA B.AD=(4B+AC) C.BD+DC=2BD D.G4+GB+GC=0 56.图，在平行四边形48CD中，0是对角线4C,BD的交点，E=号40，FC=4C,若 4 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EF=xAD+yAB,则x+y=() A.1 8.5 C.2 5 D. 题型15线段的定比分点（共4小题）（重点) 57.（多选)已知A(-1,-2),B(5,4),点P是线段AB的一个三等分点，则点P的坐标可以为() B.1,0) C.(3,2) D. 别 58.Ax,),B(x,,AB=,AB=AB=Vx-x+(2-y),若M(,y川是线段AB的中 点，则AM=MB,则直角坐标系内的中点坐标公式x= ，y= 59.己知A-2,4),B(3,-1,C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c (1)若c=ma+nb,求实数m,的值； (2)若M为线段BC靠近点C的三等分点，求点M的坐标， 3)若a+b与C垂直，求2的值. 60,设点P(-1-,P(2),P是直线PB上一点，当PP=P阴时，点P的坐标为 题型16平面向量在几何中的最值问题（共4小题）（难点） 61.在RtAABC中，AB=BC=4,E,F两点在AC边上运动，且EF=2√2，则BE+BF的取值范围是() A.[2,io]B.[22,io] c.[22,2o D.「42,210 62.已知向量a,五，c满足a==a+=2,a+i-d=1,则g的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 63.在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上，则CP.BP的最小值为 64.已知在梯形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，AB=2CD=4,AD=25,点E在BC边上运动（包 含端点)，则AE.DE的取值范围为() c 9/9 专题01 平面向量的运算·定理·应用 题型1 平面向量的几何表示 题型9 根据向量关系判断三角形的心（难点） 题型2 平面向量的加减运算 题型10 向量数量积运算律（重点） 题型3 平面向量的数量积问题（重点） 题型11 向量夹角的计算（常考点） 题型4平面向量基本定理（重点） 题型12 求向量的模（常考点） 题型5 向量的线性运算几何应用（常考点） 题型13 平面向量共线定理证明点共线问题 题型6 三角形的心的向量表示 题型14 用基底表示向量 题型7 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型15 线段的定比分点（重点） 题型8 平面向量在几何中的定值问题（重点） 题型16 平面向量在几何中的最值问题（难点） 题型1 平面向量的几何表示（共4小题） 1．已知是平行四边形边上的一点，则下列正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减法规则计算判断各个选项. 【详解】已知是平行四边形ABCD边CD上的一点， ，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误； 2．如图，是平行四边形外一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形结合向量的加、减运算求解即可. 【详解】. 3．已知O为平行四边形所在平面上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形法则逐项计算平面向量的线性运算问题. 【详解】取线段的中点分别为点，如图， 对于A，， 很显然，不一定为，所以不一定为，所以A错误； 对于B，， 因为，所以，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，， 因为，所以，D正确. 故选：D. 4．如图所示，已知平行四边形中，，． (1)用，表示向量，； (2)当，满足什么条件时，与垂直； (3)当，满足什么条件时，． 【答案】(1)，． (2)，应该满足 (3)，应互相垂直． 【分析】（1）由向量加法和减法法则即可直接得解； （2）由与垂直得到四边形ABCD为菱形即可求解； （3）由得到平行四边形为矩形即可求解. 【详解】（1），； （2）若与垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直， 则四边形为菱形， 所以，应该满足； （3）表示平行四边形的两条对角线的长相等， 这样的平行四边形为矩形，故，应互相垂直． 题型2 平面向量的加减运算（共4小题） 5．化简下列各式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． （2）． 6．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加、减法运算，对四个选项一一计算即可. 【详解】对于A：，故A能化简为； 对于B：，故B不能化简为； 对于C：，故C能化简为； 对于D：，故D能化简为. 7．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则，即可得答案. 【详解】由题意. 8．化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加法运算求解 【详解】 故选：D. 题型3 平面向量的数量积问题（共4小题）（重点） 9．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】因为，均为单位向量， ，， 由可知，，展开得，即， 代入得，解得， 因此. 所以. 10．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【详解】由，得， 即，，所以， 所以． 11．已知向量，的夹角为，且，则______． 【答案】 【分析】转化，利用数量积的定义及题干数据，即得解 【详解】 12．已知平面向量，，，，，，，，其中，则的最大值为________． 【答案】 【分析】借助数量积公式与模长与数量积关系计算可得、，要使得取最大值，则需使得尽量大，任意两向量之间夹角尽量小，求出各符合要求的量后，利用数量积公式计算即可得解. 【详解】，则，即， 由，则， 即，故， 又，则或， 由，则都可为或或其它，其中且， 要使得最大，则取，或， 、、、也都取较大根，即、、、， 由，则、，取， 、，取，则， 则 ， 故的最大值为. 题型4平面向量基本定理（共4小题）（重点） 13．设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)若与互为相反向量，求实数的值； (2)用，表示，并证明三点共线． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据相反向量及相等向量的定义即可求解； （2）根据平面向量线性运算求解，再根据向量共线证明三点共线即可． 【详解】（1），则． （2）， 证法一：因为，， 所以，又为公共点， 所以三点共线； 证法二：由已知，得， 因为，所以，又与有公共点， 所以三点共线． 14．已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 15．已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 【答案】B 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项，设 ，则 ，即 无解，A错误； 对于B选项， ，所以三点共线，B正确； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 16．设，是不共线的非零向量，且，． (1)证明：，可以作为一组基底； (2)以，为基底，求向量的分解式； (3)若，求，的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3), 【分析】（1）假设，根据平面向量基本定理可得出关于的方程组，由该等式组无解可证得结论成立； （2）设，根据平面向量的基本定理可得出关于的方程组，解此方程组即可得解； （3）由平面向量基本定理可得出关于，的方程组，解之即可. 【详解】（1）证明：若，共线，则存在，使得， 则，由，不共线，得，无解， 故与不共线，可以作为一组基底． （2）设， 则， 所以，解得，所以． （3）由， 得， 所以，解得. 题型5 向量的线性运算几何应用（共4小题）（常考点） 17．已知，为中不同的两点，且，，则为________． 【答案】 【详解】因为 , 如图所示,设 的中点分别为 , 因为 所以点 在 上,且 , 所以在与平行的中位线上，且是该中位线上靠近的一个三等分点. 所以有，，可得是的重心. 因此，． 18．在中，点在线段上，点在线段上，且满足，．若（，），则的值为_____． 【答案】 【分析】由向量的线性运算求解. 【详解】 所以（的系数），（的系数） 则 19．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为四边形是矩形，且E为CD中点， 所以，且且， 所以. 20．如图，在中，．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有. 题型6 三角形的心的向量表示（共4小题） 21．（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【详解】若，则， 即，所以点是边的中点，故A正确； 若，则，即， 所以点在边的延长线上，故B错误； 设中点，若，则， 所以点是的重心，故C正确； 若，且，则， 设，则有且 可知三点共线，同时有为的中点， 则的面积是面积的，故D正确． 22．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 23．已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可. 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 24．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 题型7 向量坐标的线性运算解决几何问题（共4小题） 25．已知是平面内两个不共线的向量，， 且A，C，E三点共线． (1)求λ的值； (2)，已知点D的坐标为，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量的加减法求出 ，再利用向量共线的性质列出方程，进而求出的值； （2）由（1）以及向量的加减法求出，设点，可求出，再根据平行四边形的性质得到，最后列出方程组求解点的坐标. 【详解】（1）因为 且， 又因为A，E，C三点共线，所以， 所以， 即， 所以，解得 ， 所以； （2）由（1）得 所以， 由四边形ABCD为平行四边形得， 设，且点D的坐标为，则， 所以， 解得， 即． 26．已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________. 【答案】0（答案不唯一，取值范围为） 【分析】设，，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，根据数量积的坐标运算结合圆的性质分析求解. 【详解】设，，即，则， 因为，即，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆， 可得，所以的一个取值为0. 27．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，进而结合平面向量的数量积的定义及运算律求解即可；以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，表示出，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，， ， ； 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， 由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设，， 则，，， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：；. 28．已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为_____，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质和三个点的坐标即可得出线段的长度，结合向量即可求得点的坐标. 【详解】由题意，在平行四边形中，,,， 所以，， 所以，即， 故答案为：；. 题型8 平面向量在几何中的定值问题（共4小题）（重点） 29．中，，是边的中点．若，，则的长等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】结合三角形中线性质和平面向量基本定理用表示，再对等式平方运算求解即可. 【详解】由，可得， 则 ， 所以，即的长为. 30．在中，，，点D为BC的中点，，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】借助平面向量线性运算、模长与数量积关系计算即可得. 【详解】由， 则， 即，整理得， 故. 31．如图，在菱形中，若，，，. (1)若，，求 的值； (2)求以及的值； (3)若与交于点，求的值. 【答案】(1)，，， (2)， (3) 【分析】（1）根据题意，分别用表示向量，即可求得答案； （2）根据数量积的运算律求解对应向量的模与数量积运算即可； （3）设，用表示向量，，利用方程组求解. 【详解】（1）由题意得，， ， 因为， 所以，，，. （2）因为在菱形中，，, 所以, 由（1）得： ， . （3）设，则， 则，， 因为三点共线，所以，即， 所以，，解得， 所以. 32．已知和是平行四边形ABCD的对角线，若，则__________． 【答案】5 【分析】平行四边形中，，根据数量积的运算律可得，由此得，从而解得. 【详解】平行四边形中，， 所以， . 两式相加，得， 即， 所以，解得，所以. 题型9 根据向量关系判断三角形的心（共4小题）（难点） 33．在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定的向量等式，可得，结合两个单位向量的和组成的菱形的性质，即可判断点在的角平分线上即可. 【详解】由可得：， 如图，设,,则， 作,则四边形为菱形，故平分, 又， 即点在的角平分线上，故点的轨迹过内心． 34．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 35．如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 【答案】证明见解析 【分析】证法1：由条件与向量的线性运算证明的重心同时也是的重心； 证法2：设是的重心，利用向量的线性运算把用表示出来，可得到，可以证明是的重心. 【详解】证法1：因为， 所以． 又因为，所以． 设是的重心，可得， 两式相减可得，所以也是的重心． 证法2：因为， 设是的重心，且，所以， 同理可得，， 所以， 即也是的重心． 36．是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据已知得，结合向量加法的几何性质即可得. 【详解】若为中点，由题设， 如下图示，易知直线AP是的一条中线， 所以直线AP一定通过的重心. 故选：B 题型10 向量数量积运算律（共4小题）（重点） 37．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】依题意， ，即 ， 所以，故． 38．如图，在中，，，．设，. (1)用，表示： (2)求证：，，三点共线； (3)若，，，求的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则进行运算即可； （2）计算可得，从而得证； （3）根据公式及向量数量积的运算律，计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以， ， 所以. （2）因为，所以是中点，所以. 由（1）知，， 又与有公共点，所以，，三点共线. （3）已知，，，则，， 所以. ， . ， ， . 又 . 所以. 39．已知与的夹角是 (1)计算； (2)求和的夹角的余弦值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为与的夹角是 所以， （2）因为， 设和的夹角为， 则. 40．若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 解得：，所以， 所以在上的投影向量为. 题型11 向量夹角的计算（共4小题）（常考点） 41．（多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则 【答案】AC 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A：因为， 所以，故A 正确； 选项B：因为， 又因为，所以：， 即：，解得 ，故B 错误； 选项C：因为， ， 所以在方向上的投影向量为，故C 正确； 选项D：若 的夹角为锐角，则  ，且 与 不共线 因为，解得 ， 若 ，则 ，解得 ， 当 时， 与 同向共线，夹角为 ，不是锐角，故需排除 ， 因此，夹角为锐角的条件是 且 ，并非 ，故D 错误. 42．两个非零向量满足，且，则在方向上投影向量的模为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义及投影向量的计算公式即可求解． 【详解】， 则在方向上投影向量的模， 又，所以在方向上投影向量的模为． 43．已知，，，则向量与夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长公式，结合向量数量积的定义及运算律计算夹角即可． 【详解】设向量与的夹角为， 则. 因为，，代入可得： ，解得， 因为，故． 44．已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，则 ， 解得， 设向量与的夹角为，则． 题型12 求向量的模（共4小题）（常考点） 45．（多选）已知平面向量满足，则下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得及的值，再逐项求解判断． 【详解】由，得是非零向量，且， 所以， 又所以． 对于 ， 又是非零向量，因此，故A正确； 对于B，由，得， 则，即， 当且仅当同向共线时取等号， 解，得，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 所以 的最小值为，故C错误； 对于D，由题意知，关于的方程有非负实数解，且至少有一个非负实数解， 由韦达定理知两根之积为4，而，所以两根同号，均为正， 所以两根之和，即，所以. 由得，即 解得， 而，因此，故D正确. 46．已知，，且与不共线．若向量与互相垂直，则__________． 【答案】 【详解】因为向量与互相垂直，所以，即， 所以，解得． 47．已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且． (1)求与夹角的大小； (2)设，求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据向量垂直以及向量的内积公式求解即可. （2）根据向量的模以及向量内积代入求解即可. （3）根据向量内积以及向量的模不等式求解即可. 【详解】（1）已知，为单位向量，且， 则，解得. 因为，所以. （2）已知，则， 化简， 又，， 所以， 解得或. （3）已知等式，展开得， 代入，整理得. ，， 代入得，设，不等式化为，解得. 48．设，是两个不共线的向量，． (1)若与共线，求的值； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，，不共线时分解唯一，即系数对应相等联立方程组即可求解； （2）先表示出向量模长的平方，结合向量数量积的运算公式，利用配方法转化为二次函数求最值问题即可求得. 【详解】（1）因为与共线， 所以， 因为，不共线，所以，解得， 所以当时，与共线． （2）因为，且与的夹角为， 所以， 所以当时，取得最小值． 题型13 平面向量共线定理证明点共线问题（共4小题） 49．如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，． (1)试用，表示，，； (2)证明：，，三点共线． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）由平面向量的线性运算进行求解； （2）由平面向量的共线定理进行证明． 【详解】（1）在中，因为，，所以， ， ； （2）因为， ， 所以，所以与共线，且有公共点， 所以，，三点共线． 50．设向量和不共线，如果，，，求证：A，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】根据，即可得证. 【详解】∵，， ∴， 又，∴，∴与共线． 又∵与有公共点C， ∴A，C，D三点共线． 51．设，是不共线的两个非零向量.若，，，求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析. 【分析】利用向量减法运算，结合共线向量定理推理得证. 【详解】由， 得， 因此，即，而有公共起点， 所以，，三点共线. 52．已知是不共线的向量，且，则（） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】利用向量加法求出，再观察与的线性关系，得出，两向量成倍数关系即共线，又有公共点，即可判定三点共线，其余选项向量无倍数关系，不满足三点共线条件. 【详解】. 选项A：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项B：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项C：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项D：计算， ，存在，故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 题型14 用基底表示向量（共4小题） 53．如图，在中，，点是的中点．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，计算，计算. 【详解】， 由，得： ， ， 因为点是的中点，所以： ， ， 54．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)设、，若、、三点共线，求实数的值； (2)设，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件表示，根据求出，根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理构造方程组求解； （2）根据平面向量数量积的定义求出，进而求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求出，进而求出，再利用三角形面积公式计算求解． 【详解】（1）已知、， 则，， 又， ，， 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 由平面向量基本定理得，解得， 实数的值． （2）由平面向量数量积的定义可得， 由题意可得， ， 同理， ， ， 又， ， ． 55．（多选）如图，点是中边的中点，点是的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，则，所以A错误； 对于B，因为点是边的中点，则，所以B正确； 对于C，因为点是边的中点，则，所以，故C正确； 对于D，因为点是边的中点，则， 又点是的重心，则， 所以，故D正确. 56．如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】在平行四边形中， ，，， 则，， ， 解得，，，所以，． 题型15 线段的定比分点（共4小题）（重点） 57．（多选）已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知：，，其中为坐标原点， 因为点是线段的一个三等分点，则或， 若，则，即点的坐标为； 若，则，即点的坐标为； 综上所述：点的坐标可以为或. 58．，，________，，若是线段的中点，则，则直角坐标系内的中点坐标公式________，________． 【答案】 【解析】略 59．已知，，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． (3)若 与垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标表示和线性运算坐标表示列方程组计算即可求解； （2）根据，设，结合向量线性运算坐标表示计算即可求解； （3）根据向量线性运算坐标表示结合题意列式计算即可求解. 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以， 因为，所以可得，解得． （2）因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以， 设，即， 得到，解得，即点的坐标为． （3）， 由于与垂直，∴，∴． 60．设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算列方程组求解即可. 【详解】设点，则，. 由，得，解得. 所以点的坐标为. 题型16 平面向量在几何中的最值问题（共4小题）（难点） 61．在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点M，连接BM，则，所以， 显然时，取最小值， 在中，则， 所以，此时， 由对称性可知或时，取最大值，为， 所以，即的取值范围是. 62．已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设且，根据题意，得到四边形是边长为2的菱形，再作，得到点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设向量，作向量， 因为，所以四边形是边长为2的菱形，且， 再作，则， 所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值， 所以取得最大值. 故选：C. 63．在中，，，，在边的中线上，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可设，则，求其最值. 【详解】依题意，以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 所以直线的方程为， 因为点在边的中线上，所以可设， 所以，， 所以， 当时，取得最小值． 64．已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案 【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，所以， 设，故， 因为，所以， 则，， 所以， 因为，其对称轴为，取得最小值， 当，取得最大值，所以 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $