专题01 平面向量（期末真题汇编，江苏专用）高一数学下学期

专题01 平面向量 6大高频考点概览 考点01 平面向量的概念与线性运算 考点02 平面向量的基本定理与坐标运算 考点03 投影向量 考点04 平面向量的模与夹角 考点05 平面向量的数量积 考点06 平面向量的综合应用 ( 地 城 考点01 平面向量的概念与线性运算 )1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】ABC 8．【答案】AC 9．【答案】BD 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】3 ( 地 城 考点02 平面向量的基本定理及坐标运算 ) 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5. 【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】AD 9．【答案】ABD 10．【答案】BC 11．【答案】 12．【答案】0 13．【答案】(1)(2) 14．【答案】(1) (2) 15.【答案】(1), (2) ( 地 城 考点0 3 投影向量 ) 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】 6．【答案】 ( 地 城 考点0 4 平面向量的模与夹角 ) 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】AD 7.【答案】/ 8．【答案】 9．【答案】(1) (2) 10．【答案】(1) (2) 11．【答案】(1)(2) 12．【答案】(1)2(2) 13．【答案】(1)(2) ( 地 城 考点0 5 平面向量的数量积 ) 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】BCD 8．【答案】/ 9．【答案】3 10．【答案】/0.125 11．【答案】4 12．【答案】 13．【答案】 7 8 ( 地 城 考点0 6 平面向量的综合应用 ) 1．【答案】ABD 2．【答案】BC 3．【答案】ACD 4．【答案】ABD 5．【答案】ABD 6．【答案】 7．【答案】 2 /0.5 8．【答案】(1) (2)存在， 9．【答案】(1)（i）0；（ii）3 (2) 10．【答案】(1)-28 (2)（i）；（ii） 11．【答案】(1) (2) (3)证明见解析 12．【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 6大高频考点概览 考点01 平面向量的概念与线性运算 考点02 平面向量的基本定理与坐标运算 考点03 投影向量 考点04 平面向量的模与夹角 考点05 平面向量的数量积 考点06 平面向量的综合应用 ( 考点 01 平面向量的概念与线性运算 )1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）（多选）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列关于向量说法正确的是（    ） A．向量的长度和向量的长度相等 B．若向量与向量，满足，且与同向，则 C．已知平面上四点，且，则三点共线 D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 9．（24-25高一下·江苏盐城·期末）（多选）下列选项中，正确的是（   ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 10．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数________. 11．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则________.（用，表示）  12．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________． ( 地 城 考点 02 平面向量的基本定理及坐标运算 )1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．16 B．4 C．-4 D．-16 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 6．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（24-25高一下·江苏常州·期末）设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．与向量方向相同的单位向量的坐标为 B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C．为非零向量，且相互不共线，则 D．若与共线，则 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知向量，满足，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的取值范围为 D．若与夹角为钝角，则实数的取值范围为 10．（24-25高一下·江苏淮安·期末）（多选）已知，，下列结论正确的有（    ） A． B．与同向的单位向量是 C．和的夹角为 D．与垂直的单位向量是 11．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，若，且，则_________. 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，，若，则实数的值为___________. 13．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 14．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. (1)当时，若，求的值； (2)当时，求的值. 15．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，. (1)用向量，表示，； (2)求. ( 地 城 考点 0 3 投影向量 )1．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，则在上投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________. ( 地 城 考点 0 4 平面向量的模与夹角 )1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知向量满足，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知平面向量，且，与的夹角为钝角，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C．与的夹角可能为 D．向量与不可能垂直 7．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，，，且，则______． 8．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 9．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知向量满足，，，向量满足． (1)求实数的值； (2)求与的夹角． 10．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 11．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 12．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 13．（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ ( 地 城 考点 0 5 平面向量的数量积 )1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知平面向量满足，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在等腰直角中，，，点为上一动点，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 3．（24-25高一下·江苏连云港·期末）如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 9．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________． 10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 11．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 12．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则________；若，，则的取值范围是________. 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为______，此时______. ( 地 城 考点 0 6 平面向量的综合应用 ) 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）（多选）下列选项中正确的是（    ） A．若向量，，，满足且，则 B．若点为中线的交点，则 C．已知非零向量，，若，则与同向且共线 D．已知向量，，与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 3．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）已知平面向量，满足为单位向量，，则（    ） A． B．的最小值为 C．在方向上的投影长度的范围为 D．若，则的最大值为 4．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）已知向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．与一定不是平行向量 C．的最大值为 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（    ）    A． B． C．为等腰三角形 D． 6．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______. 7．（24-25高一下·江苏苏州·期末）富比尼原理，又称为“算两次”思想，即对待同一个量，从不同的角度去考虑，以此建立等量关系或不等关系，从而达到解决问题的目的．如图，在边长为2的正九边形中，的值为______；由向量关系，可得，进而得的值为______．    8．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图所示，在中，，，，，． (1)求的值； (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． 9．（24-25高一下·江苏泰州·期末）在中，，设分别为. (1)若. （i）求的值； （ii）求的最小值； (2)若，求的值. 10．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，已知的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 11．（24-25高一下·江苏徐州·期末）定义向量，. (1)求； (2)若与共线，求； (3)证明：当且仅当时，对任意恒成立. 12．（24-25高一下·江苏·期末）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点. (1)若向量的“伴随函数”为，求向量； (2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，且已知，； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 6大高频考点概览 考点01 平面向量的概念与线性运算 考点02 平面向量的基本定理与坐标运算 考点03 投影向量 考点04 平面向量的模与夹角 考点05 平面向量的数量积 考点06 平面向量的综合应用 ( 考点 01 平面向量的概念与线性运算 )1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减运算可得结果． 【详解】， 故选：B． 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减法则以及已知条件建立向量之间的关系. 【详解】由题意得，，又，， ，即， 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由，，排除ABC，由可说明D符合题意. 【详解】，是平面内的一组基底， ，，， 因为，，， 则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 5．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用重心的性质由向量的加法法则可得. 【详解】由题意可得为三角形重心， 所以 . 故选：D. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的结论可以直接得到答案. 【详解】因为与不共线，且与共线，则， 即，即. 故选：C 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）（多选）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列关于向量说法正确的是（    ） A．向量的长度和向量的长度相等 B．若向量与向量，满足，且与同向，则 C．已知平面上四点，且，则三点共线 D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 【答案】AC 【分析】根据向量的概念可以判断A、B、D，由得，进而判断C. 【详解】对于A，向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确； 对于B，向量不能比较大小，故B错误； 对于C，若，即，所以， 即，且有公共点，所以三点共线，故C正确； 对于D，若向量与向量是共线向量，则直线AB与直线CD有可能平行，故D错误. 故选：AC. 9．（24-25高一下·江苏盐城·期末）（多选）下列选项中，正确的是（   ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，则它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 【答案】BD 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量，则根据向量的运算法则可得，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断选项D. 【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A错误； 若向量，则，所以，故选项B正确； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故选项C错误； 若非零向量与共线，则，，三点共线，故选项D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数________. 【答案】 【分析】根据向量共线，可得，待定系数，即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数，使， 则，解得，则. 故答案为： 11．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则________.（用，表示） 【答案】 【分析】由得到，结合图形，由平面向量的线性运算可得结果. 【详解】由为线段上靠近的三等分点，则， 由题意，易得，所以，故有， 所以. 故答案为：.    12．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________． 【答案】3 【分析】由平面向量减法运算得出，再由三点共线得，列出方程组求解即可． 【详解】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． ( 地 城 考点 02 平面向量的基本定理及坐标运算 ) 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，进而判断各选项即可. 【详解】对于A，因为，则不共线，故A正确； 对于B，因为，则共线，故B错误； 对于C，因为，则共线，故C错误； 对于D，因为，则共线，故D错误. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】依题意，若，则，即，解得. 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．16 B．4 C．-4 D．-16 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标表示可求. 【详解】，. 故选：B. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 若，则， 解得. 故选：A. 6．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 7．（24-25高一下·江苏常州·期末）设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性不妨取为x轴，求出各点坐标，则，利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】不妨设点在上，则以为x轴，线段的中点为原点， 如图，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则， ， 故， ， ， 可得， ∵，则， ∴. 故选：B. 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．与向量方向相同的单位向量的坐标为 B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C．为非零向量，且相互不共线，则 D．若与共线，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于C，根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误. 【详解】对于A，与向量方向相同的单位向量为，故A正确； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B错误； 对于C，由与为数字，且不共线，则，故C错误； 对于D，由与共线，则，解得，故D正确. 故选：AD. 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知向量，满足，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的取值范围为 D．若与夹角为钝角，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，利用向量垂直的坐标表示以及模为1可以列出方程组求出；对于选项B，利用向量的共线可以求出的值；对于选项C，将模平方，展开后根据向量夹角的范围求出模的范围即可；对于选项D，根据向量夹角的余弦公式即可求出的范围. 【详解】对于选项A： 因为，所以. 设，则，解得或. 所以或，所以A错误. 对于选项B： 因为，所以，所以， 所以，所以B错误. 对于选项C： . 因为，所以，所以.所以C正确. 对于选项D： 因为向量的夹角为钝角，所以且. 所以且， 所以实数的取值范围为且，所以D错误. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·江苏淮安·期末）（多选）已知，，下列结论正确的有（    ） A． B．与同向的单位向量是 C．和的夹角为 D．与垂直的单位向量是 【答案】BC 【分析】根据，，逐项计算验证即可. 【详解】因为，，所以，故A错误； 与同向的单位向量是，故B正确； ,,，故C正确； 与垂直的单位向量有或，故D错误； 故选：BC. 11．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，若，且，则_________. 【答案】 【分析】设，由向量的坐标表示向量共线和垂直，解出，再计算模长可得. 【详解】设，则， 由，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，，若，则实数的值为___________. 【答案】0 【分析】利用向量线性运算与垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题意可知，， 若，则，得. 故答案为：0 13．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量运算的坐标公式列出等式和方程组，求解即可. （2）先根据求出值，然后根据向量的模公式求出结果即可. 【详解】（1）因为平面向量，，，且， 所以. 则有，解得. （2）因为平面向量，，， 所以，解得，所以向量，， 所以. 所以. 14．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. (1)当时，若，求的值； (2)当时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意建立平面直角坐标系，写出坐标和向量，再通过题目给的条件列式即可； （2）先设出点坐标，利用和条件列式并联立即可求解. 【详解】（1）由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则， ，、，又D为AC边上的中点，， 当时，E为BC边上的中点，，即、、， 又，，即，解得， . （2）设，则，又，，， 、，又，，即，解得， ，解得. 15．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，. (1)用向量，表示，； (2)求. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解； （2）利用平面向量的数量积公式即可求解. 【详解】（1）因为为边上的中线， ， 因为，， 所以，， 所以. （2）由，得，， 又，所以向量与得夹角为， 由图形可知的大小等于向量与的夹角， ， ， ， 所以， 又因为，所以. ( 地 城 考点 0 3 投影向量 ) 1．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式求出，再结合投影向量公式求解即可. 【详解】由向量的夹角公式得， 由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，则在上投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及投影向量的定义可求出在上投影向量的坐标. 【详解】因为向量，， 则在上投影向量为. 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即； 设向量与向量的夹角为，则， 因为，所以. 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，利用投影向量可得，利用向量的数量积的定义及运算律可求解. 【详解】依题意，设，则， 因为在上的投影向量为，所以，又， 所以，所以，即， 因，，，则，解得，所以. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】 【分析】由题可得是直角三角形，解三角形可得，由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，即. 所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且. 因为，即，所以，所以. 又向量方向上的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. ( 地 城 考点 0 4 平面向量的模与夹角 ) 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】由向量垂直、数量积的运算律以及定义求得即可得解. 【详解】设向量，的夹角为， 已知，是单位向量，若， 则，解得， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知向量满足，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的运算律，建立方程并化简，可得答案. 【详解】设与的夹角为， 由， 则，解得. 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知平面向量，且，与的夹角为钝角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，再根据和列出方程求解即可. 【详解】设，因为，所以，又， 解得或 因为与的夹角是钝角，所以. 故选：A. 5．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，， 所以，， 由，又，所以. 所以. 故选：B 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C．与的夹角可能为 D．向量与不可能垂直 【答案】AD 【分析】利用平面向量的模长公式可判断选项AB;利用向量夹角的计算可判断选项C;利用向量垂直的坐标表示可判断选项D. 【详解】对于A:因为，所以，故A正确. 对于B:因为，所以, 当时, ，故B错误. 对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误. 对于D:因为 所以, 令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确. 故选：AD. 7．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，，，且，则______． 【答案】/ 【分析】根据向量的线性运算，结合数量积的运算律可得，即可求解. 【详解】由于，故,故, 又, 故, 故, 故， 由于，故， 故答案为： 8．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积公式得出，再把模长转化为数量积计算求值. 【详解】因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 故答案为：. 9．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知向量满足，，，向量满足． (1)求实数的值； (2)求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由数量积的运算律求出，再由向量垂直的条件可得； （2）先由数量积和模长的运算求出，再由夹角的计算求出即可. 【详解】（1）因为，即，则， 又，所以. （2）由（1）可得，则， 所以， 所以， 因为，所以，即与的夹角为. 10．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两向量的坐标计算出它们的模长和数量积，利用向量数量积的运算律列出方程，求解即得； （2）先根据两向量的坐标分别求出和，再利用向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】（1）因，，则，， 由可得， 即，解得. （2）因，则，， ， 设向量与的夹角为，则. 11．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据垂直的向量关系，结合数量积的运算律，即可代入求解. 【详解】（1）由可得， 故， 故 （2）由于，故， 即， 故，解得， 12．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据得到，代入计算即可得到答案； （2）求得，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 即， 因为，， 所以， 解得. （2）， 所以当时，有最小值2， 故的最小值为. 13．（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）由已知可得， ∵不共线，∴， 解得．∴当时，向量终点在同一直线上. （2）， 故当时，最小. ( 地 城 考点 0 5 平面向量的数量积 ) 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知平面向量满足，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，将平方结合向量数量积的运算律求得，再根据向量数量积的运算律求解. 【详解】因为，，， 所以，即，则，解得， . 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在等腰直角中，，，点为上一动点，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】由平面向量线性运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】设， 则 ， 故选：B． 3．（24-25高一下·江苏连云港·期末）如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量的线性运算，将和用、表示，再结合向量数量积的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，点是对角线上靠近点的一个四等分点，所以， 所以， 又点为边的中点，所以， 所以， 又四边形为菱形，所以，， 所以， 又菱形的边长为，， 所以 . 故选：D 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可. 【详解】由题意：，. 因为. 又， 当时取“”. 又，所以. 所以. 故选：C 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为菱形得边长为1，，所以，，， 设，则，，， 所以 ， ，，当且仅当时，取等号， 所以的取值范围是. 故选：A. 6．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点M在△ABC内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系 则 . 设 ， 则 . 因为 ，且 ，所以 )，且 ， 即 可得 因为点 在 内部， 所以 可得 ，所以 . 因为 ， 所以 ， 所以当 时， 取最小值 . 故选：C 　 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 【答案】BCD 【分析】根据正八边形图形特征应用数量积公式得出A，应用和向量判断B，应用投影向量判断C，应用数量积投影最大求解D. 【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，故A错误； 对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设的夹角为，则， 其中为定值，只需最大即可，， 延长交延长线于，当在线段上运动时，最大， 易知为等腰直角三角形，且， 则在中，， 在等腰三角形中，， 则， 综上，BCD正确. 故选：BCD. 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 如图，建立平面直角坐标系， 又为等边三角形，所以， 则， 所以， 则. 9．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________． 【答案】3 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 即，又， 所以， 所以 故答案为：3 10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】/0.125 【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积. 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 11．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】4 【分析】由求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 故答案为：4 12．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则________；若，，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】第一空：用作基底表示，，利用数量积的运算律计算即可；第二空，用作基底表示，，结合数量积的运算律，以及二次函数的最值的求法可求的取值范围. 【详解】第一空：因为，所以， 又，所以， 所以 ； 第二空：因为，所以， 所以， ， 所以 ， 又因为，所以.. 故答案为：3;[1,3] 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为______，此时______. 【答案】 7 8 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解，利用中线向量即可求解. 【详解】    设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 再由极化恒等式，取中点为，可得，此时如图：，    则， 故答案为：①,② ( 地 城 考点 0 6 平面向量的综合应用 ) 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据“仿射坐标”定义，．将陌生的仿射坐标转化为熟悉的向量表达式来解题即可． 【详解】根据“仿射坐标”定义，． 对于A，，即，因此．故A正确． 对于B，,则，根据“仿射坐标”定义，的“仿射坐标”为．故B正确． 对于C，若，则， 化简， 即，解得，故C错误． 对于D，若，， 则，联立得出，故D正确． 故选：ABD. 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）（多选）下列选项中正确的是（    ） A．若向量，，，满足且，则 B．若点为中线的交点，则 C．已知非零向量，，若，则与同向且共线 D．已知向量，，与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】对于A：举反例即可；对于B：利用重心的性质即可得到结果；对于C：利用向量共线的充要条件即可得到；对于D：利用夹角为锐角排除夹角为0的情况即可. 【详解】对于A：当向量都与垂直时，满足，当时与不一定相等，故A错误； 对于B：若点为中线的交点，则点为的重心，    延长AC与BC交于点M，则M为BC的中点，所以, 所以得到，故B正确； 对于C：设与的夹角为，因为,两边同时平方得：， 所以，所以与同向且共线，故C正确； 对于D：因为向量，,得 ，与的夹角为锐角， 所以,解得：且，故D错误； 故选：BC 3．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）已知平面向量，满足为单位向量，，则（    ） A． B．的最小值为 C．在方向上的投影长度的范围为 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】先由题设求出，设，，，则，进而判断选项A，设，中点为，利用数量积进行求解判断B，利用投影定义结合坐标法求解判断选项C；先由题设转化得，接着平方并令得，再利用判别式求解的范围可判断选项D. 【详解】由，为单位向量，，得， 故，则，又，故， 设，，，则， 则点在以为圆心且为半径的圆上，故，故A正确； 设，中点为， 则， 由题意可得，， 因为，故最小值为，故最小值为，故B错误； 在的投影长度为， 点在以为圆心为半径的圆上， 设，，则， 则， 故在的投影范围，故C正确； 由和得， 所以， 令，则即， 则，故， 故最大值为，故D正确． 故选:ACD． 4．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）已知向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．与一定不是平行向量 C．的最大值为 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 【答案】ABD 【分析】根据判断A，由平行向量的坐标表示判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：因为，所以与一定不是平行向量，故B正确； 对于C：因为， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为，故C错误； 对于D：在上的投影向量为，所以， 所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（    ）    A． B． C．为等腰三角形 D． 【答案】ABD 【分析】由已知可得，，根据向量的数量积运算与线性运算依次判断各选项即可． 【详解】由题可知，， ，， 对A：，故A正确； 对B：则，故B正确； 对C、D：， ， 可得，故D正确； ，显然不是等腰三角形，故C错误. 故选：ABD. 6．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______. 【答案】 【分析】将不等式两边平方得，进而对于任意的恒成立，利用即可求解答题空1；再结合图形，利用几何意义及对称性即可求解答题空2. 【详解】由两边平方可得，即， ∴对于任意的恒成立， ∴， ∴，即. ∵，∴，∴. 如图所示，设，，，， 则，， ∴. 作点关于的对称点，连接，如图所示，则， ∴当，，三点共线时，取得最小值. 此时，，，， 在中，由余弦定理可得，故. ∴的最小值为. 故答案为：；. 7．（24-25高一下·江苏苏州·期末）富比尼原理，又称为“算两次”思想，即对待同一个量，从不同的角度去考虑，以此建立等量关系或不等关系，从而达到解决问题的目的．如图，在边长为2的正九边形中，的值为______；由向量关系，可得，进而得的值为______．    【答案】 2 /0.5 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求出；利用数量积的定义及运算律列式求解. 【详解】取的中点，连接，由正九边形为轴对称图形，得， 因此； 正九边形每个内角的弧度数为，任意一个内角的外角为，， ， 因此 ， 所以.    故答案为：2； 8．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图所示，在中，，，，，． (1)求的值； (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据平面向量基本定理，用一组基底表示所有向量，根据向量运算律和数量积的定义求出结果. （2）根据向量共线基本定理，设出参数，使用基底表示向量，根据向量垂直数量积为0，列出方程，求出参数值，根据参数值的范围，说明点存在. 【详解】（1） 由题意可知，， ， 所以， 由，，，得， （2） 存在，设，则， 可得， ， 当时，， 化简得， 得，解得，此时. 9．（24-25高一下·江苏泰州·期末）在中，，设分别为. (1)若. （i）求的值； （ii）求的最小值； (2)若，求的值. 【答案】(1)（i）0；（ii）3 (2) 【分析】（1）（i）由可得答案；（ii）方法一：由得，利用基本不等式得，再由的范围可得答案；方法二：设，由正弦定理得，再利用弦花切，再利用基本不等式可得答案； （2）设，由正弦定理得，由余弦定理得，求出，，再由余弦的二倍角公式可得答案. 【详解】（1）（i）因为， 所以. （ii）方法一： 由得， 即 ， 所以， ，当且仅当时等号成立，即， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3. 方法二： 设，则， 因为，故， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3； （2）设，则， 在中， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，① 在中，由余弦定理得，② ，③ 由②③得， 由①②得， 故，即，所以， 所以， 所以. 10．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，已知的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 【答案】(1)-28 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据向量的线性运算可得，即可根据数量积的运算律求解 （2）（i）方法一：根据，即可根据相反向量化简求解；方法二：连接，利用中位线的性质求解，（ii）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）因为 ， 由得， 所以 . （2）（i）方法一： 因为， 因为的中点分别为， 所以，即， 由不共线得. 方法二： 连结，取的中点， 则， 由不共线得. （ii）因为 ， 所以. 11．（24-25高一下·江苏徐州·期末）定义向量，. (1)求； (2)若与共线，求； (3)证明：当且仅当时，对任意恒成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）按题目所给定义带入相应值求解； （2）根据两共线向量的坐标关系列出等式，再利用同角三角函数商的关系、二倍角的正切公式进行计算即可. （3）按题目所给定义将不等式化简为证明，当时，不等式对成立，当时方法一与方法二均为取特值说明不等式不恒成立. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为与共线，所以， 因为，所以，，所以， 所以. （3）因为， ， 要证，只要证. 方法1：①当时，对成立， ②当时，取，，解得， 取，，所以，，即，， 又因为，，所以不存在使原不等式成立. 综上所述，当且仅当时，. 方法2：令，，则， ①当时，成立， ②当时，取，，，而， 所以. ③当时，取，，，而， 所以. ④当时，取，，，而，所以. 综上所述，当且仅当时，. 12．（24-25高一下·江苏·期末）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点. (1)若向量的“伴随函数”为，求向量； (2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，且已知，； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由“源向量”与“伴随函数”的概念将化为形式求解即可. （2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长的最大值即可；（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合重要不等式求解即可. 【详解】（1）, 所以 （2）（ⅰ）由于函数的“源向量”为， 所以，，所以，，所以， 在中，由余弦定理得：， 即， 所以有基本不等式得：， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，所以周长的最大值为. （ⅱ）， 又，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 又当点无限接近点顶点时，边无限接近，即无限接近， 综上所述：， 令，则，， 从而， 所以， 即的取值范围为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $