精品解析：青海省西宁市虎台中学2026年九年级中考数学一模试卷

西宁市虎台中学初三数学校一模试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分 一、单选题（本大题共8题，每题3分，共24分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．A，C，D先化简，再判断． 【详解】解：A、，是有理数，故不符合题意； B、3.14是有理数，故不符合题意； C、，是有理数，故不符合题意； D、，是无理数，故符合题意； 故选：D． 2. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，常见于官仓、粮栈、米行等，其常见的造型为口大底小，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据俯视图是从几何体的上面看到的图形解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图： 故选：C． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 为了解一批炮弹的杀伤半径，宜采用全面调查 B. 从2000名学生中随机抽取100名学生的身高组成一个样本，样本容量是2000 C. 天气预报显示“明天的降水概率为90%”，表示明天一定会降雨 D. “在一个三角形中，任意两边之和大于第三边”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了统计调查方法、样本容量、概率的意义及必然事件的概念，掌握相关概念是解题的关键． 根据统计调查方法、样本容量、概率的意义及必然事件的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．全面调查需对所有个体进行检测，但炮弹杀伤半径的检测具有破坏性，全面调查不现实，应采用抽样调查，故A错误； B．样本容量是样本中包含的个体数量，本题抽取100名学生，样本容量应为100，而非总体数量2000，故B错误； C．降水概率90%表示降雨可能性大，但概率小于的事件不是必然事件，故C错误； D．根据三角形三边关系定理，任意两边之和必大于第三边，此结论必然成立，属于必然事件，故D正确． 故选D． 4. 函数，自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵函数， ∴，，， 解可得， 解可得， 解可得， 综上所述，自变量的取值范围是且． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方法则及完全平方公式逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 6. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A. 2 B. 10 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设OA交BC于T． ∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC， ∴AO⊥BC，BT＝TC＝4， ∴AE＝， 在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设，，借助等腰直角三角形的几何性质，用含a，b的式子表示出点B的坐标，从而得到与b的关系，再整体代入即可求解． 【详解】解：设，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点C运动，直到两点都到达终点．若点P的运动时间为，的面积为，则下列最能反映S与t之间函数关系的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分两种情况：当点Q在线段上和点Q在线段上．分别根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当点Q在线段上时，作交于点E， ∵， ∴ 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点Q在线段上时，此时， 作交于点F， 同理可得，， ∴， ∴， ∴综上所述，当时，；当时，． 二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分） 9. 虎台中学某实验室使用的超薄芯片厚度为0.000086米，用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【详解】解：0.000086米，用科学记数法表示为． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11. 如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及扇形圆心角的计算，先根据题意利用圆锥的侧面积公式计算其侧面积，再设侧面展开图的圆心角的度数为n，利用扇形圆心角的公式列出方程，求得n的值即为所求． 【详解】解：由题意知，底面直径为， ∴底面半径为， ∴， 设侧面展开图的圆心角的度数为n， ∴， 即，解得， 即该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为， 故答案为：． 12. 如图，，是的两条切线，切点分别是、，，是的切线，交于点，交于点，则的周长是_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，与的切点为E，根据切线长定理得到，，，进而根据三角形的周长公式和等量代换求解即可． 【详解】解：设与的切点为E， ∵，是的两条切线，， ∴，，， ∴的周长是 ， 故答案为：20． 13. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若 ，则旋转角的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ， ， 即旋转角的度数为， 故答案为：． 14. 若锐角，则．已知，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由，设，则，求出，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，，， 由， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，四边形内接于，连接，，则的度数为_______ °． 【答案】30 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的等边对等角性质进行解答即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段与网格线的交点，那么的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理． 如解析图所示，可证明，则可得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由网格的特点和勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 17. 如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点在线段上从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则点运动速度为_____时，与全等． 【答案】18或1.5 【解析】 【分析】由长方形的性质可得，．设运动时间为，Q点的速度为，则，，．然后分两种情况讨论：①当时，；①当时，．分别列方程求出t和x的值即可． 本题主要考查全等三角形的判定，由条件分两种情况得到关于t和x的方程是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，且边长，， ∴，， ∵， ∴． 设运动时间为，Q点的速度为，则，，． ①当时，， ∴，， 解得，． ①当时，， ∴,， 解得，． 综上，点运动速度为或． 故答案为：18或1.5． 18. 如图，在等腰中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，连接分别交于点，交于点，先证明点、、、在同一直线上，由题意可得，，由对称性可得：，，，，，求出，，由勾股定理可得，即可得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，连接分别交于点，交于点， ∵， ∴， ∴，即点、、、在同一直线上， ∵，， ∴，， 由对称性可得：，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 三、解答题（本大题共8题，共76分.其中第19、22、24、25题每题10分，第20、21、23题每题8分，第26题12分） 19. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 先化简，再求值：其中的值从不等式组的整数解中选取． 【答案】，-2 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简，再解不等式组求出x的取值范围，取适当的整数值代入即可计算． 【详解】解：原式= = = = 解不等式组得， ∵， ∴x=2，代入中得 原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值及解不等式组的综合应用，解题的关键是掌握相应的运算法则并能根据原代数式排除-1，0，1． 21. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）由（1）可得，由直角三角形的性质可得，最后再由菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）可得， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 22. 学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的百分比_____； （3）抽取的名学生测试成绩的中位数是_____分，其中“”这组的数据如下： 81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89． （4）若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，求甲被选中的概率． 【答案】（1）见解析 （2） （3）84.5分 （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与直方图的联系，画树状图或列表求概率，解题的关键是： （1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“”这组的频数，从而补全频数直方图； （2）用“”这组的频数除以样本容量即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：人， 人， 补全频数直方图如下： ； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵分的人数已有人，“”组有12人， ∴中位数在“”这组， 又“”这组的数据如下： 81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89， ∴第25和26名的成绩分别是84分，85分， ∴中位数是分； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种可能结果，其中甲被选中的有6种， ∴甲被选中的概率． 23. 某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元． （1）每盆种盆景、种盆景的利润各是多少元？ （2）为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、种盆景的总数量盆，若要求第二期种盆景的数量不多于盆，当种、种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？ 【答案】（1）每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元 （2）当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程的应用，找到等量关系和掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据“盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元”列方程组求解； （2）先根据“、的利润和等于总利润”列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元， 由题意得： 解得：， 答：每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元； 【小问2详解】 设利润为元，种盆景盆， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，最大值为：元， 答：当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元． 24. 如图，上有A，B，C三点，是直径，点D是的中点，连接交于点E，点F在的延长线上，且． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若，设，求k的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而推出，根据题意得到，利用同弧所对的圆周角相等得到，即可解题； （2）利用等腰三角形性质得到，根据，，推出，即可证明是的切线； （3）连接，根据题意得到，设，则，利用勾股定理得到，进而得到，，，，，证明，利用相似三角形性质求出，即可解题． 【小问1详解】 解：是直径， ， ， ， 点D是的中点， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， 是直径，且， 是的切线； 【小问3详解】 解：连接， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形性质，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 25. 如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； （3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点P，横坐标为,， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 ∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． 【小问2详解】 当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． 【小问3详解】 抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 26. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【解析】 【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立； （2）连接，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长； （3）如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，，先利用勾股定理求出，，再证明得出，从而得出即可得出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， 在菱形中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， （3）解：如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， 最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了圆的概念、三角形的两边之和大于第三边、勾股定理、相似三角形的性质和判定及菱形的性质，构造辅助线将求和的两条线段转入同一三角形中利用三角形的两边之和大于第三边求最小值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市虎台中学初三数学校一模试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分 一、单选题（本大题共8题，每题3分，共24分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，常见于官仓、粮栈、米行等，其常见的造型为口大底小，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 为了解一批炮弹的杀伤半径，宜采用全面调查 B. 从2000名学生中随机抽取100名学生的身高组成一个样本，样本容量是2000 C. 天气预报显示“明天的降水概率为90%”，表示明天一定会降雨 D. “在一个三角形中，任意两边之和大于第三边”是必然事件 4. 函数，自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A. 2 B. 10 C. 4 D. 5 7. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点C运动，直到两点都到达终点．若点P的运动时间为，的面积为，则下列最能反映S与t之间函数关系的图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分） 9. 虎台中学某实验室使用的超薄芯片厚度为0.000086米，用科学记数法表示为______米． 10. 分解因式：________． 11. 如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 12. 如图，，是的两条切线，切点分别是、，，是的切线，交于点，交于点，则的周长是_____． 13. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若 ，则旋转角的度数为______． 14. 若锐角，则．已知，则的值为______ ． 15. 如图，四边形内接于，连接，，则的度数为_______ °． 16. 如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段与网格线的交点，那么的长度为________． 17. 如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点在线段上从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则点运动速度为_____时，与全等． 18. 如图，在等腰中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8题，共76分.其中第19、22、24、25题每题10分，第20、21、23题每题8分，第26题12分） 19. 计算、化简： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：其中的值从不等式组的整数解中选取． 21. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 22. 学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的百分比_____； （3）抽取的名学生测试成绩的中位数是_____分，其中“”这组的数据如下： 81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89． （4）若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，求甲被选中的概率． 23. 某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元． （1）每盆种盆景、种盆景的利润各是多少元？ （2）为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、种盆景的总数量盆，若要求第二期种盆景的数量不多于盆，当种、种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？ 24. 如图，上有A，B，C三点，是直径，点D是的中点，连接交于点E，点F在的延长线上，且． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若，设，求k的值． 25. 如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； （3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 26. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $