平面向量的数量积及其应用 专题训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量数量积问题基本题型训练 【题型速览】 1. 几何意义法 2. 定义法 3. 基底替换法 4. 坐标法 【典型习题】 一、几何意义法 1．如图，已知圆C的弦的长度为4，则的值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】应用向量数量积的定义及圆的性质求数量积即可. 【详解】由，由圆的性质知， 所以. 故选：C 2．已知的外接圆圆心为O，，则________. 【答案】 【分析】由图结合数量积几何意义可得答案. 【详解】 . 如图，过点O作于点E，于点F. 根据数量积的几何定义，得 . 3．已知，在上的投影向量为，则的值为_____________. 【答案】2 【分析】利用投影向量的定义可得答案. 【详解】由投影向量公式，在上的投影向量为， 由题意得 又，代入得即 故答案为：2 4．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则________ 【答案】/0.5 【分析】根据投影向量的公式得到方程，求出. 【详解】在上的投影向量为， 故，故. 故答案为： 5．在三角形中，在上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】首先根据投影公式求，再转化向量，即可求解. 【详解】由题意，，为中点， 由在上的投影向量为， 即，又， 所以， 所以. 故答案为： 6．P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 7．由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，由正六边形的性质可得： 正六边形边长为，则，，正三角形任意底边上的高为， 以中点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示， 则，，， 设与的夹角为，， 其中表示在方向上的投影， 由图可知，当点取时，在方向上的投影长度最短， 点取时，在方向上的投影长度最长， 故点取时，，此时，为最小值； 点取时，，此时，为最大值； 故的最小值、最大值分别为. 8．设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】过作，交直线AB于点，根据数量积公式，可得，根据圆的几何性质，可得的最大值，分析即可得答案. 【详解】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，的值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 故选：B 9．在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为的中点，则， 所以． 如图，分别取线段，的中点为，，因为为的外接圆圆心， 所以，， 则， ， 因此． 10．的重心为，外心为，且，则___________． 【答案】 【详解】因为为外心，所以，， 所以， 因为为重心，所以， 则， 所以. 二、定义法 11．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 12．已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算法则计算出答案. 【详解】. 故选：B 13．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线性运算及数量积的定义计算求解. 【详解】因为， 在平行四边形中，，， 所以. 三、基底替换法 14．如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，，，因为每个小菱形的边长均为1， 向量与的夹角为，所以， 则． 15．已知长方形中，，，点是的中点，则（    ） A．12 B．14 C．20 D．24 【答案】A 【分析】以作为一组基底表示，根据数量积的定义求解. 【详解】以作为一组基底，根据已知条件，， ， 所以， . 16．在中，，是边上的中线，且，，则（   ） A． B．20 C． D．10 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，结合数量积的定义与运算，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得， 则， 因为在中，，是边上的中线，所以， 可得，则 又因为和大小相等，且方向相反，且， 所以 因为，可得， 所以. 17．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为基底，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 四、坐标法 18．已知向量，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据数量积坐标公式及运算律，即可得答案. 【详解】由题意， 所以，而， 所以． 19．已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 20．如图，是正弦函数图象上四个点，且在两点处函数值最大，在两点处函数值最小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意分别写出的坐标，即可写出、、、向量，再利用平面向量的坐标运算解出答案. 【详解】由题意知：，，，， 所以，，，， 所以，， 所以. 21．在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示： 由题意可知，， 设，则， 由，可得， 所以， 又， 所以， 故选：C. 22．在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 23．边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分在正方形的四条边上的情况分别求解即可． 【详解】如图，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 设，则，，所以， 当在边或上时，，所以， 当在边上时，，， 当在边上时，，， 所以的取值范围是． 故选：A. 24．在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合坐标表示运用向量加法法则将问题转化为求的最小值，建系求解即可. 【详解】因为D为的中点， 所以， 所以 不妨以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，      因为，则，， 设，则， 所以，.即：的最小值为. 故选：D. 25．设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【详解】以为原点，分别为轴建立直角坐标系， 则，设， ， 所以， 又，当时取得最小值为， 因为，所以， 当时取得最大值为， 则的取值范围为，选项BCD符合. 26．如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 27．已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系后，根据圆上一动点B的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，轴，建立坐标系，如图， 则，， 设， ， 则， 28．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的外圆弧的长为，A、B分别为、的中点，扇形的面积为.若外圆弧上有一动点P（包含端点），则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形弧长、面积公式求出半径及圆心角，再建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示建立函数关系，利用辅助角公式及正弦函数性质求出范围. 【详解】如图，以O为坐标原点，所在方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系.    设扇形半径为，圆心角大小为，则，解得， 由，，设，， 于是，， 则当时，取到最小值6；当或时，取到最大值10， 所以的取值范围是. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量数量积问题基本题型训练 【题型速览】 1. 几何意义法 2. 定义法 3. 基底替换法 4. 坐标法 【典型习题】 一、几何意义法 1．如图，已知圆C的弦的长度为4，则的值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 2．已知的外接圆圆心为O，，则________. 3．已知，在上的投影向量为，则的值为_____________. 4．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则________ 5．在三角形中，在上的投影向量为，则______． 6．P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 7．由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（   ） A． B． C． D． 8．设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 9．在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．10 B．20 C． D． 10．的重心为，外心为，且，则___________． 二、定义法 11．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 12．已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 13．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 三、基底替换法 14．如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 15．已知长方形中，，，点是的中点，则（    ） A．12 B．14 C．20 D．24 16．在中，，是边上的中线，且，，则（   ） A． B．20 C． D．10 17．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 四、坐标法 18．已知向量，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 19．已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 20．如图，是正弦函数图象上四个点，且在两点处函数值最大，在两点处函数值最小，则（   ） A． B． C． D． 21．在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 22．在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 23．边长为1的正方形ABCD内部及边界上有一动点，则向量的范围是（   ） A． B． C． D． 24．在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 25．（多选）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．4 26．如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 27．已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 28．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的外圆弧的长为，A、B分别为、的中点，扇形的面积为.若外圆弧上有一动点P（包含端点），则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $