第6章 专题强化练2 平面向量的数量积及其应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

专题强化练2　平面向量的数量积及其应用 1.(多选题)(2025江苏南京第二十九中学月考)以下结论错误的是(　　) A.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量共线的单位向量为 B.非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30° C.已知平面向量a=(1,2),b=(2,t),若向量a与b的夹角为锐角,则t>-1 D.向量=(2,2),=(-1,-),则在上的投影向量的坐标为(,3) 2.(2025辽宁沈阳第二中学月考)向量a,b满足cos<a,b>=,且∀t∈R,|a-tb|≥|a-2b|,则=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 3.(2025安徽A10联盟月考)如图,两个正方形有共同的对称中心与对称轴,已知AB=6,FG=3,点P在正方形ABCD的四条边上运动,当·取得最大值时,与夹角的余弦值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2024吉林长春吉大附中实验学校开学考试)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=5,AD=4,DC=1,E是线段AB上一点,且AE=4EB,动点P在以E为圆心,1为半径的圆上,则·的最大值为(　　) A.-　　B.2-6　　C.-6　　D.- 5.(2025江苏南京第一中学月考)已知平面向量a,b,c满足:a与b的夹角为锐角,|a|=4,|b|=2,|c|=1,且|b+ta|的最小值为,则·(c-b)的最大值是(　　) A.1　　B.3+2　　C.3　　D.3+2 6.(2025辽宁省实验中学月考)已知e1和e2是夹角为30°的两个单位向量,且a·e1+2=0,|b-e2|=,则|a-b|的最小值为　　　　.  7.(2025江苏扬州中学月考)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC,BD交于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD. (1)求·的值; (2)若N为线段AC上任意一点(不含端点),求·的最小值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2　平面向量的数量积及其应用 1.AC 2.C 3.D 4.C 5.D 1.AC　对于A,由A(1,3),B(4,-1),得=(3,-4),||=5,所以与向量共线的单位向量为±=±,故A错误; 对于B,因为|b|=|a-b|,所以|b|2=|a-b|2, 则|b|2=|a|2+|b|2-2a·b,化简得2a·b=|a|2, 所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=3|a|2, 即|a+b|=|a|, 又a·(a+b)=a2+a·b=|a|2, 所以cos<a,a+b>===, 因为0°≤<a,a+b>≤180°,所以<a,a+b>=30°,故B正确; 对于C,由已知得a·b>0且a,b不同向共线, 则2+2t>0且t-2×2≠0,解得t>-1且t≠4,故C错误; 对于D,因为=(-1)2+(-)2=4,·=2×(-1)+2×(-)=-4, 所以在上的投影向量为·=(-1,-)=(,3),故D正确. 小题速解 　　本题B选项还可以这样解:如图,根据向量的几何意义可知△ABD为等边三角形,AC平分∠BAD,所以<a,a+b>=∠BAC=30°,故B正确. 2.C　由cos<a,b>=,得a·b=|a||b|, 因为∀t∈R,|a-tb|≥|a-2b|⇔b2t2-2ta·b+4a·b-4b2≥0,所以Δ=4(a·b)2-16b2(a·b-b2)≤0, 即|a|2|b|2-|b|2≤0,整理得|a|2-6|a||b|+9|b|2≤0,即≤0,所以=3. 3.D　以A为原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,因为AB=6,FG=3,且两个正方形有共同的对称中心与对称轴,所以点E,则=, 设与的夹角为θ,θ∈,则·=||||·cos θ=||cos θ, 则当||cos θ最大时,·最大, 由题图可知,当点P与点C重合时,||cos θ最大, 此时P(6,6), 所以cos<,>===. 4.C　过点D作DO⊥AB,垂足为O,以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,连接DE,EP, 则A(-2,0),C(1,2),D(0,2),E(2,0),则=(3,2),=(2,-2), 则·=(+)·=·+·=6-12+1××cos<,>=-6+cos<,>(利用数量积的定义计算,避免了设动点P的坐标), 因为cos<,>∈[-1,1], 所以·∈[--6,-6], 所以·的最大值为-6. 5.D　因为|a|=4,|b|=2,所以|b+ta|2=|b|2+2ta·b+t2|a|2=22+2ta·b+t2×42=16t2+2a·bt+4, 由二次函数的性质可知,当t=-=-时,|b+ta|2取得最小值, 所以=16×+2a·b·+4=-+4=()2,解得a·b=±4, 又因为a与b的夹角为锐角,所以a·b=4, 则·(c-b)=c2-b·c-a·c+a·b=3-·c, 易得====2, 设a+b与c的夹角为θ,θ∈[0,π], 则·(c-b)=3-2cos θ, 因为cos θ∈[-1,1], 所以·(c-b)∈[3-2,3+2], 因此·(c-b)的最大值为3+2. 6.答案　 解析　在平面直角坐标系Oxy中,设e1==(1,0),e2==(cos 30°,sin 30°)=,=a=(x1,y1),=b=(x2,y2). 由a·e1+2=0,得(x1,y1)·(1,0)+2=0,即x1+2=0,所以x1=-2,即A'在直线x=-2上(确定表示a的有向线段的终点的轨迹). 由|b-e2|=,得=, 即B'到点B的距离为,即B'在以点B为圆心,为半径的圆上(确定表示b的有向线段的终点的轨迹),如图. |a-b|=|-|=||,其最小值为点B到直线x=-2的距离减去半径, 所以|a-b|的最小值为-=+2-=. 7.解析　解法一:(1)因为AB∥CD,AB=2CD, 所以AO=2OC, 则·=(+)·=·+· =·=·=(+)·(-) =(-·)=×(4-2×4×1)=-. (2)设=λ(0<λ<1), 由(1)可得·=λ·=λ·(-)==-16λ=-, 解得λ=,即=. 易知∠CAB=45°, 所以·=·(-)=-· =-||×||×cos∠CAB =-×||×||×cos 45° =||2-||. 令||=t,则0<t<2, 则·=t2-t=-, 所以当t=时,·有最小值,为-. 解法二:(1)以A为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2),所以=(-4,2),因为AB∥CD,AB=2CD,所以AO=2OC,所以=2,易得O. 设M(m,0),0<m<4,则=, 因为OM⊥BD,所以·=×(-4)+×2=-4m+=0,解得m=, 所以=,所以·=×(-4)+0×2=-. (2)易知∠CAB=45°,故可设N(a,a),0<a<2, 则·=(a,a)· =2a2-a=2-, 所以当a=时,·有最小值,为-. 7 学科网（北京）股份有限公司 $