解答题专项突破之整式的乘法2025-2026学年苏科版数学七年级下册（五大板块）

解答题专项突破之整式的乘法2025-2026学年 苏科版七年级下册（五大板块） 板块一：整式的乘法计算 1.计算： （1）3x2y•（﹣2x3y2）2； （2）（﹣2a2）•（3ab2﹣5ab3）． 2.计算： （1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]． 3.利用乘法公式计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）；（2）（+5y）（﹣5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；（4）（x﹣）（x2+）（x+）． 4.计算： （1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2． （3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2． 5.计算下列各式： （1）； （2）（2a﹣3b+1）2． 板块二：简便运算 1.简便计算：． 2.利用平方差公式计算： （1）31×29；（2）9.9×10.1；（3）98×102；（4）1003×997． 3.运用乘法公式计算： （1）；（2）1.352+2×1.35×2.65+2.652． 4．简便方法计算：． 5.用简便方法计算：2022+202×196+982． 板块三：整式的乘法化简求值 1．先化简，再求值：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2，其中x=. 2．先化简，再求值：（x-2y）（x-2y）-x（x+3y）-4y2，其中：x=-4，y= 3.已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值． 4.已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值． 5.在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2+12x+5． （1）求a，b的值． （2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果． 板块四：整式乘法应用题 1.如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x． （1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积； （2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？ 2.如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道． （1）通道的面积共有多少平方米？ （2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，求通道的宽度是多少米？ 3.已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　 　S2． （2）若一个正方形的周长与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）． ②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由． 4.某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2； （2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）． 5．已知长方形的长为a cm，宽为b cm，其中（a＞b＞1，如果将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为S2． （1）求S1，S2； （2）如果2S1＝S2+11，求将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积； （3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求a，b的值． 板块五：整式乘法阅读探究题 1．探究题． （1）计算下列各题： ①（x﹣1）（x+1）； ②（x﹣1）（x2+x+1）； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）； ④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； … （2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的结果是什么？ （3）证明你的猜想是否正确． 2．阅读下列解答过程： 已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：的值． 解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0 ∴，即． ∴＝＝32+2＝11． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7， 求：（1）的值；（2）的值． 3．给出如下定义：我们把有序实数对（m，n）叫做关于x的一次多项式mx+n的特征系数对，有序数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，并且把关于x的一次多项式mx+n叫做有序实数对（m，n）的特征多项式，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式． （1）关于x的一次多项式﹣2x+4的特征系数对在第 　 　象限；关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 　 　； （2）求有序实数对（1，a）的特征多项式与有序实数对（a，﹣4）的特征多项式的乘积为bx2﹣cx+16，求a、b、c的值； （3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，计算（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值． 4.阅读学习： 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到． 如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． （1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式　 　． （2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式：　 　． （3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据． 5.如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． （1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 　 　（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 　 　；（写成两数平方差的形式）； （2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 　 　； A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 （3）请利用所得等式解决下面的问题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　 　； ②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）⋯（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字． 【答案】 解答题专项突破之整式的乘法2025-2026学年 苏科版七年级下册（五大板块） 板块一：整式的乘法计算 1.计算： （1）3x2y•（﹣2x3y2）2； （2）（﹣2a2）•（3ab2﹣5ab3）． 【答案】 解：（1）3x2y•（﹣2x3y2）2 ＝3x2y•4x6y4 ＝12x8y5； （2）（﹣2a2）•（3ab2﹣5ab3） ＝（﹣2a2）•（3ab2）﹣（﹣2a2）•（5ab3） ＝﹣6a3b2+10a3b3． 2.计算： （1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]． 【答案】解：（1）原式＝（x﹣2y）（x+2y）﹣x+2y+4y2＝x2﹣4y2﹣x+2y+4y2＝x2﹣x+2y； （2）原式＝a2b（a2b4+8a3b3+3a2）＝a4b5+8a5b4+3a4b． 3.利用乘法公式计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）；（2）（+5y）（﹣5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；（4）（x﹣）（x2+）（x+）． 【答案】解：（1）（2x+y）（2x﹣y） ＝（2x）2﹣y2 ＝4x2﹣y2； （2）（x+5y）（x﹣5y） ＝（x）2﹣（5y）2 ＝x2﹣25y2； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9） ＝（x2﹣9）（x2+9） ＝x4﹣81； （4）（x﹣）（x2+）（x+） ＝（x2﹣）（x2+） ＝x4﹣． 4.计算： （1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2． （3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2． 【答案】解：（1）原式＝x2﹣2•x•6+62 ＝x2﹣12x+36； （2）原式＝（﹣2x）2+2•（﹣2x）•（﹣y）+（﹣y）2 ＝4x2+4xy+y2； （3）原式＝（﹣p）2+2•（﹣p）•3q+（3q）2 ＝p2﹣6pq+9q2； （4）原式＝[4m2﹣n2]2 ＝16m4﹣8m2n2+n4． 5.计算下列各式： （1）； （2）（2a﹣3b+1）2． 【答案】解：（1）原式＝ ＝（+3y+﹣3y）（﹣+3y） ＝•6y ＝3xy； （2）（2a﹣3b+1）2 ＝[（2a﹣3b）+1]2 ＝（2a﹣3b）2+2•（2a﹣3b）•1+12 ＝4a2﹣12ab+9b2+4a﹣6b+1． 板块二：简便运算 1.简便计算：． 【答案】 【详解】解： 2.利用平方差公式计算： （1）31×29；（2）9.9×10.1；（3）98×102；（4）1003×997． 【答案】解：（1）（30+1）（30﹣1）， ＝900﹣1， ＝899； （2）（10﹣0.1）（10+0.1）， ＝100﹣0.01， ＝99.99； （3）（100﹣2）（100+2）， ＝10000﹣4， ＝9996； （4）（1000+3）（1000﹣3）， ＝1000000﹣9， ＝999991． 3.运用乘法公式计算： （1）；（2）1.352+2×1.35×2.65+2.652． 【答案】解：（1）原式 ； （2）原式＝（1.35+2.65）2 ＝42 ＝16． 4．简便方法计算：． 【答案】4 【详解】解： ． 5.用简便方法计算：2022+202×196+982． 【答案】解：2022+202×196+982 ＝2022+2×202×98+982 ＝（202+98）2 ＝3002 ＝90000． 板块三：整式的乘法化简求值 1．先化简，再求值：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2，其中x=. 【答案】 解：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2 =x2-9-2x2-6x+x2-2x+1 =-8x-8， 当x=时，原式=-4-8=-12. 2．先化简，再求值：（x-2y）（x-2y）-x（x+3y）-4y2，其中：x=-4，y= 【答案】 解：（x-2y）（x-2y）-x（x+3y）-4y2 = x2-4xy+4y2-x2-3xy-4y2 = -7xy 当x = -4，y = 时，原式 = -7×（-4）× = 14． 3.已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值． 【答案】 解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n， ∴m﹣1＝﹣6，n＝6， ∴m＝﹣5， ∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169． 4.已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值． 【答案】解：M•N+P＝（x2+5x﹣a）（﹣x+2）+（x3+3x2+5） ＝﹣x3+2x2﹣5x2+10x+ax﹣2a+x3+3x2+5 ＝（10+a）x﹣2a+5， 由题意得，10+a＝0， 解得，a＝﹣10． 5.在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2+12x+5． （1）求a，b的值． （2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果． 【答案】 解：（1）∵（ax+1）（2x+b） ＝2ax2+abx+2x+b， ∴2a＝2，b＝5， 解得a＝1，b＝5； （2）由（1）题结果可得， （ax+1）（2x+b） ＝（x+1）（2x+5） ＝2x2+5x+2x+5 ＝2x2+7x+5． 板块四：整式乘法应用题 1.如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x． （1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积； （2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？ 【答案】解：（1）八年3班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2； 八年4班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2； （2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2＝8xy． 答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米． 2.如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道． （1）通道的面积共有多少平方米？ （2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，求通道的宽度是多少米？ 【答案】：（1）S通道＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2 ＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2 ＝（6ab+5b2）平方米， 答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米； （2）S草坪＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2] ＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2） ＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2 ＝8a2+10ab+2b2， ∵a＝2b， ∴8a2+10ab+2b2 ＝8×（2b）2+10×2b•b+2b2 ＝32b2+20b2+2b2 ＝54b2 ＝162， ∴b2＝3， ∴b＝±（负值舍去）（米）． 答：通道的宽度是米． 3.已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　 　S2． （2）若一个正方形的周长与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）． ②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由． 【答案】方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解． 【解答】解：（1）由题意： S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12， S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15， ∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0， ∴S1＜S2， 故答案为：＜， （2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16， ∵正方形的周长与甲的周长相等， ∴正方形的边长为， ②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2， ∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15） ＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15 ＝1， ∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1． 4.某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2； （2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）． 【答案】 解：（1）S1＝b（3a+1）＝3ab+b（平方米）， S2＝5a×2b﹣b（3a+1）＝7ab﹣b（平方米）； （2）当a＝9米，b＝15米时， S1＝3×9×15+15＝420（平方米）， S2＝7×9×15﹣15＝930（平方米）； （3）M＝420×100+930×50＝88500（元）． 5．已知长方形的长为a cm，宽为b cm，其中（a＞b＞1，如果将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为S2． （1）求S1，S2； （2）如果2S1＝S2+11，求将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积； （3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求a，b的值． 【答案】 解：（1）∵长方形的长为a cm，宽为b cm， ∴将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的面积记为：； 将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为：； （2）由（1）知，， ∵2S1＝S2+11， ∴2（ab+2a+2b+4）＝（ab﹣a﹣b+1）+11，即ab+5a+5b＝4， ∴将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积为（a+5）（b+5）＝ab+5a+5b+25＝4+25＝29cm2； （3）∵面积记为S1的新长方形长为（a+2）cm、宽为（b+2）cm；面积记为S2的新长方形长为（a﹣1）cm、宽为（b﹣1）cm， ∴用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形时，正方形的边长应为（a+2）cm， 分两种情况拼接，如图所示： ∴， ①或②， 解①得， 解②得， ∵a＞b＞1， ∴， 满足题意，即a＝4，b＝2.5． 板块五：整式乘法阅读探究题 1．探究题． （1）计算下列各题： ①（x﹣1）（x+1）； ②（x﹣1）（x2+x+1）； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）； ④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； … （2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的结果是什么？ （3）证明你的猜想是否正确． 【答案】解： （1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； ④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1． （2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1． （3）原式＝xn+1+xn+xn﹣1+…+x2+x﹣xn﹣xn﹣1﹣…﹣x﹣1＝xn+1﹣1． 2．阅读下列解答过程： 已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：的值． 解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0 ∴，即． ∴＝＝32+2＝11． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7， 求：（1）的值；（2）的值． 【答案】解：（1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣12a+4a2）+9a2﹣14a+7＝0， 整理得：a2﹣2a﹣1＝0 ∴， ∴； （2）解：的倒数为， ∵， ∴． 3．给出如下定义：我们把有序实数对（m，n）叫做关于x的一次多项式mx+n的特征系数对，有序数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，并且把关于x的一次多项式mx+n叫做有序实数对（m，n）的特征多项式，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式． （1）关于x的一次多项式﹣2x+4的特征系数对在第 　 　象限；关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 　 　； （2）求有序实数对（1，a）的特征多项式与有序实数对（a，﹣4）的特征多项式的乘积为bx2﹣cx+16，求a、b、c的值； （3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，计算（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值． 【答案】 解：（1）由题意可得关于x的一次多项式﹣2x+4的特征系数对为（﹣2，4），它在第二象限， 关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1）， 故答案为：二；（3，2，﹣1）； （2）∵有序实数对（1，a）的特征多项式与有序实数对（a，﹣4）的特征多项式的乘积为bx2﹣cx+16， ∴（x+a）（ax﹣4）＝bx2﹣cx+16， 整理得：ax2+（a2﹣4）x﹣4a＝bx2﹣cx+16， 则a＝b，a2﹣4＝﹣c，﹣4a＝16， 解得：a＝﹣4，b＝﹣4，c＝﹣12； （3）∵有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2， 则有（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2， 当x＝﹣2时， （px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2） ＝（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2） ＝2×（﹣2）4+（﹣2）3﹣10×（﹣2）2﹣（﹣2）+2 ＝32﹣8﹣40+2+2， 即（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12， 则（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6， 那么（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为﹣6． 4.阅读学习： 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到． 如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． （1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式　 　． （2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式：　（ 　． （3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据． 【答案】 解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． （2）图4所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2． （3）如图所示： 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2． 5.如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． （1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 　 　（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 　 　；（写成两数平方差的形式）； （2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 　 　； A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 （3）请利用所得等式解决下面的问题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　 　； ②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）⋯（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字． 【答案】解：（1）图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b）， 图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2； （2）由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故选：B； （3）①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12， 又因为2m+n＝4， 所以2m﹣n＝12÷4＝3， 故答案为：3； ②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1+…（232+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 ＝…… ＝264﹣1+1 ＝264， 而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，4，8，6，重复出现，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”经过16次循环， 因此264的个位数字为6， 答：其结果的个位数字为6． 学科网（北京）股份有限公司 $