精品解析：江苏省扬州市江都区实验初级中学2024-2025学年九年级上学期12月素养体验数学试题

江都区实验初中第二次月度测试 九年级数学 试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，如果半径为3，那么点在（ ） A. 内 B. 外 C. 上 D. 不确定 3. 用配方法解方程，下列配方正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，若的长度为，则的长度为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 5. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离为3，则的半径为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，在直角坐标系中，已知中，B的坐标为，以原点O为位似中心，在第一象限内作与位似，位似比为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 8. 如图，在中，，，以点为圆心、为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知一组数据为1，3，5，，6，这组数据的平均数是4，则众数是________． 10. 抛物线的顶点坐标是______． 11. 已知线段，线段，则线段a，b的比例中项是__________． 12. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为________（结果保留）． 13. 菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是 _____． 14. 如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为____．（结果保留根号） 15. 对于二次函数，当时，y的取值范围是____． 16. 如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为1.2米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为1.8米，落在墙上的影长为1.5米，则树高为_________米． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为，，若抛物线与线段没有交点，则的取值范围是______． 18. 如图，D，E分别是等边边上两点，线段将的面积分成相等的两部分．将沿翻折得到，、分别交于点F、G，若，，则长度为____． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2） 20. 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用表示）和4个化学实验考查内容（用表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验A的概率是 ． （2）求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 21. 某班七年级第二学期数学一共进行四次考试，小丽和小明的成绩如表所示： 学生 单元测验1 期中考试 单元测验2 期末考试 小丽 80 70 90 80 小明 60 90 80 90 （1）请你通过计算这四次考试成绩的方差，比较谁的成绩比较稳定？ （2）若老师计算学生学期总评成绩按照如下的标准：单元测验1占10%，单元测验2占10%，期中考试占30%，期末考试占50%请你通过计算比较谁的学期总评成绩高？ 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与圆相切，请在下图中，仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）如图①，若BC是圆的直径，画出平行四边形ABCD的边CD上的高； （2）如图②，若CD与圆相切，画出平行四边形ABCD的边AD上的高CE； （3）如图③，若CD与圆相切，画出平行四边形ABCD的边BC上的高AF． 23. 如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． （1）求与比值． （2）若，求的长． 24. 如图，是的直径，是弦，与相交于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 25. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 26. 我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角．如图1，对于线段及线段外一点C，我们称为点C对线段的视角． 如图2，在平面直角坐标系中，已知点，． （1）为过D，E两点的圆， F为上异于点D，E的一点． ①如果为的直径，那么点F对线段的视角为_________度； ②如果的半径为 ，那么点F对线段的视角为_________度； （2）点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段的视角最大时，求点G的坐标． 27. 【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 （1）如图2，当弦，时，求外接圆的半径． （2）如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． ①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 28. 【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是 ． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江都区实验初中第二次月度测试 九年级数学 试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意； B．当时，不是二次函数，不符合题意； C．不是整式，不符合题意； D．满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，如果的半径为3，那么点在（ ） A. 内 B. 外 C. 上 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．求得线段的长即可确定正确的选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵的半径为3，， ∴点A在圆内， 故选A． 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，已知，，若的长度为，则的长度为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是相似三角形的性质根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离为3，则的半径为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵圆心O到的距离为3， ，， ， ， ， 即的半径为5， 故选：B． 6. 如图，在直角坐标系中，已知中，B的坐标为，以原点O为位似中心，在第一象限内作与位似，位似比为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质．熟练掌握位似的性质是解题的关键． 根据位似的性质求解作答即可． 【详解】解：∵B的坐标为，原点O为位似中心，与位似，位似比为， ∴第一象限内顶点的坐标为， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、平行线分线段成比例定理，根据一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求出和的长，根据勾股定理求出，设与轴相切于点，连接，，设，根据列出关于的方程，求出，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ，， ，， 在中， ， 如图，设与直线轴相切于点，连接，， ，， 设， ． ， ， 解得， ． 故选：C． 8. 如图，在中，，，以点为圆心、为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求最值问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理．在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，在上取一点，使得， ∵，，， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当共线时，的值最小，最小值为， ∴， 中，， ∴的最小值为． 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知一组数据为1，3，5，，6，这组数据的平均数是4，则众数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查求众数．先根据平均数求出的值，再根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得， ∴这组数据为1，3，5，5，6，其中数据5出现次数最多， ∴众数为5； 故答案为：5． 10. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标“若二次函数的顶点式为，则它的顶点坐标为”，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．直接根据二次函数的顶点式求解即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 11. 已知线段，线段，则线段a，b的比例中项是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，设线段的比例中项是c，则，即可求出c，正确理解比例中项定义是解题的关键． 【详解】解：设线段的比例中项是c，则 ∴ ∴（负值舍去） 故答案为：． 12. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形的弧长，根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆周长为， 故答案为：． 13. 菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积，根据根与系数的关系得出菱形的两对角线的积为，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 则由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是方程的两根， ∴菱形的对角线的积为， ∴菱形的面积是， 故答案为． 14. 如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为____．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，设，则，根据黄金分割的定义可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵两点都是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长为． 故答案为：． 15. 对于二次函数，当时，y的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数值的取值范围，根据解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，进而得到当时，y有最大值，最大值为0，再求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为0， 当时，，当时，， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为1.2米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为1.8米，落在墙上的影长为1.5米，则树高为_________米． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要利用相似三角形对应边成比例的性质求解，明确把影长分为两部分计算，然后再求和就是树的高度是解题的关键． 先求出墙上的影高落在地面上时的长度，再设树高为，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出的值即可． 【详解】设墙上的影高落在地面上时的长度为，树高为， ∵长为1米的竹竿的影长为1.2米，落在墙上的影长为1.5米，， 解得， 经检验是所列方程的根． ∴树的影长为：， 解得． 答：树高为3米． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，若抛物线与线段没有交点，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，分别把点坐标代入函数解析求出的值，再根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当抛物线过点时，把代入 得，， 解得； 过点时，把代入得，， 解得； ∴当抛物线与线段没有交点时，由的大小与抛物线开口大小关系可知的取值范围为 或， 故答案为：或． 18. 如图，D，E分别是等边边上两点，线段将的面积分成相等的两部分．将沿翻折得到，、分别交于点F、G，若，，则长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，正确找出相似三角形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再证出，，根据相似三角形的性质可得，，则可得，然后证出，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵线段将的面积分成相等的两部分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以配方成，则可得，再方程两边开平方解方程即可得； （2）方程可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 20. 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用表示）和4个化学实验考查内容（用表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验A的概率是 ． （2）求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率； （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算； 【小问1详解】 小刚抽到物理实验A的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1， 所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率． 21. 某班七年级第二学期数学一共进行四次考试，小丽和小明的成绩如表所示： 学生 单元测验1 期中考试 单元测验2 期末考试 小丽 80 70 90 80 小明 60 90 80 90 （1）请你通过计算这四次考试成绩的方差，比较谁的成绩比较稳定？ （2）若老师计算学生学期总评成绩按照如下的标准：单元测验1占10%，单元测验2占10%，期中考试占30%，期末考试占50%请你通过计算比较谁的学期总评成绩高？ 【答案】（1）小丽的方差为50，小明的方差为150，小丽的成绩比较稳定；（2）小明的学期总评成绩高． 【解析】 【分析】（1）先求出两人的平均成绩，根据方差的计算公式求出方差； （2）利用加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：（1）小丽的成绩平均数为：， 小明的成绩平均数为：， 小丽的成绩方差为：， 小明的成绩方差为：， 小丽的四次考试成绩的方差小于小明的四次考试成绩的方差 则小丽的成绩比较稳定； （2）小丽的平均成绩为：， 小明的平均的平均成绩为：， 小明的学期总评成绩高． 【点睛】本题考查的是方差的计算、加权平均数的计算，掌握方差的计算公式和加权平均数的计算公式是解题的关键． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与圆相切，请在下图中，仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）如图①，若BC是圆的直径，画出平行四边形ABCD的边CD上的高； （2）如图②，若CD与圆相切，画出平行四边形ABCD的边AD上的高CE； （3）如图③，若CD与圆相切，画出平行四边形ABCD的边BC上的高AF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC，利用圆周角定理得到∠BAC＝90°，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠ACD＝90°，即AC⊥CD； （2）连接BD交圆于P，连接CP，延长CP交AD于E，利用切线长定理得到DA＝DC，四边形ABCD为菱形，则BD垂直平分AC，所以BP为直角，则∠BCP＝90°，根据平行线的性质得到∠CEA＝90°，所以CE⊥AD； （3）连接BD交圆于P，交AC于Q，连接CP，延长CP交AD于E，连接EQ交BC于F，连接AF，易证明四边形AECP为矩形，则AF⊥BC． 【详解】解：（1）如图①所示，AC为所求的高； （2）如图②所示，CE为所求的高； （3）如图③所示，AF为所求的高． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和切线的性质． 23. 如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． （1）求与的比值． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 解：∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的比值为． 【小问2详解】 解：∵是的一条中线，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，是的直径，是弦，与相交于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明得到，由三线合一定理即可证明结论； （2）由三线合一定理得到，由勾股定理得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为5． 25. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 26. 我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角．如图1，对于线段及线段外一点C，我们称为点C对线段的视角． 如图2，在平面直角坐标系中，已知点，． （1）为过D，E两点的圆， F为上异于点D，E的一点． ①如果为的直径，那么点F对线段的视角为_________度； ②如果的半径为 ，那么点F对线段的视角为_________度； （2）点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段的视角最大时，求点G的坐标． 【答案】（1）①；②或；（2）． 【解析】 【分析】（1）①由直径所对的圆周角是直角，即可求解； ②过P作于H，由垂径定理得，由正弦函数得，当在劣弧上时，当在优弧上时，即可求解； （2）在轴上任取一点，连接交于，连接，由圆周角的性质及三角形外角性质得，当与重合时， 此时与x轴相切，G为切点时，最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）①解：为的直径， ， 故答案为：； ②解：过P作于H， 点， ， ， 在中， ， ， 当在劣弧上时， ， 当在优弧上时， ， 点F对线段的视角为或， 故答案为：或； （2）解：如图，在轴上任取一点，连接交于，连接， ， ， ， 当与重合时， 此时与x轴相切，G为切点时，最大， 轴， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定及性质等，掌握垂径定理，圆周角定理，矩形的判定及性，能熟练利用勾股定理求解，找出角度取得最大值的条件是解题的关键． 27. 【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 （1）如图2，当弦，时，求外接圆的半径． （2）如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． ①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 【答案】（1） （2）①， ②， ③ 【解析】 【分析】（1）作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E，由圆周角定理得，由垂径定理得，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）①先证明，可得，从而得到，即可求证； ②根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； ③根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【小问1详解】 解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 【小问2详解】 ①证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：； ②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为，即点G经过的路径为； 连接，在中 所以当O、C、G三点共线时取最小值为 ③解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是 ． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明和全等，即可得到； （2）根据矩形的性质证明，得到，即可证得结论； （3）过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，先证明，证得是固定值，进而证得点的运动轨迹是直线，然后将的最小值转化为求的最小值，即点，，三点同一直线时，，取得最小值，求即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， , ， ， 故答案为：； （2）判断：， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， ，，， ， ， ， ； （3）如图，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，则， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得， ， ， 最小值为的最小值，即， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $