7.5三元一次方程组 随堂练2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

第七章·二元一次方程组 *5三元一次方程组 列清单·划重点 知识点① 三元一次方程的概念 含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程叫作三元一次方程. 知识点② 三元一次方程组的概念 共含有三个未知数的三个 方程组成的一组方程，叫作三元一次方程组. 知识点③ 三元一次方程组的解 三元一次方程组中的各个方程的 解，叫作这个三元一次方程组的解. 知识点④ 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路仍然是 ，一般地，仍利用 消元法或 消元法先消去一个未知数，从而变 为 ，然后解这个 ，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. 注意方程组“含三个未知数”并不一定是每个方程都含有三个未知数，而是一共含有三个未知数. 明考点·识方法 考点① 三元一次方程(组)的概念 典例1 下列是三元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 思路导析根据三元一次方程组的概念逐一判断即可. 变式若 是一个关于x，y，z的三元一次方程，那么a= ,b= . 考点② 三元一次方程(组)的解 典例2 已知 是方程组 的解,则a+b+c 的值是 . 思路导析将解代入三元一次方程组，得到关于a，b，c的三元一次方程组，利用整体思想求解即可. 变式 下列四组数值中，是方程组 的解的是 ( ) A. B. C. D. 考点③ 三元一次方程组的解法 典例3解方程组： 思路导析方程①+②消去y，得到方程④，②×2+③消去y，得到方程⑤，④⑤组成方程组，解得x和z，然后求解y即可. 变式已知等式 y= 且当x=1时y=0;当x=2时y=3;当x=-3时y=28. (1)求a,b,c的值; (2)当x=-2时,y的值又是多少? 考点④ 三元一次方程组的实际应用 典例4 一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 . 思路导析设原来的三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，则原来的三位数表示为100x+10y+z,新数表示为 100z+10y+x,根据题意列三元一次方程组求解即可. 变式一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共 9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有 ( ) A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 问题解决策略：逐步确定 明考点·识方法 考点逐步确定解决问题 典例问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好.求最少有多少盏灯笼? 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件：①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3 整除 ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以 ，余数是 ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除. 【拟定计划】设灯笼的数量为 x(x为正整数)，需满足的3个条件可表述为：①x=3k(k为正整数) ②x=5m+2(m为非负整数) ③x= (用含n的代数式表示，n为正整数).由①和③可得x能被21整除,即x=21p(p为正整数).根据以上分析，得到 因此5m=21p-2,且m为非负整数，所以“21p-2”一定能被5整除. 【实施计划】(1)补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼? (2)若在原来问题的基础上加入1个新条件“八八数时还缺三”，请直接写出此时满足所有条件的灯笼数量的最小值为 . 变式阅读与思考：如图，这是一张长8cm 、宽6 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是 12 cm² 的无盖长方体纸盒.小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为x cm，列出关于x 的方程(8-2x)(6-2x)=12,整理得 他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程. 探索方程的解： 第一步： x -1 0 1 2 17 9 因此, <x< . 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 -0.01 -0.36 因此, <x< . (1)请你帮助小华完成表格中未完成的部分； (2)通过以上探索，请直接估计出x 的值.(结果保留一位小数) 【列清单·划重点】 知识点1 三 1 知识点2 一次 知识点3 公共 知识点4 消元 代入 加减 三元 二元 二元一次方程组 【明考点·识方法】 典例1 D 变式 -2 0 典例2 3 变式 B 典例3 解： ①+②得3x+2x=5④, ②×2+③得3x+4x=1⑤, ⑤-④得x=-2, 将z=-2代入④得x=3, 将x=3,x=-2代入①得y=1, 所以原方程组的解为 变式 解：(1)由题意，得 解得 (2)由(1)得 当x=-2时 1=2×4+6+1=15. 典例4 287 变式 B 解析：设租用二人间 x 间、三人间y间、四人间c间. 根据题意，得 所以y+2c=7,即y=7-2x, 因为x，y，c都是小于9的正整数、 当x=1时,y=5,x=3; 当ε=2时,y=3,x=4; 当c=3时,y=1,x=5; 当t=4时,y=-1(不符合题意,舍去); 所以租房方案有3种. ☆问题解决策略：逐步确定 【明考点·识方法】 典例 解:(1)补全空格:5,2,7n; 由题意，得21p-2一定能被5 整除， 所以21p 的个位数是2和7， 当p=1时，不符合题意； 当p=2时,21p-2=40 能被5 整除,此时x=21×2=42, 所以最少有42盏灯笼； (2)根据题意，得 整理,得5m=21p-2,8q=21p+3, 因为5m=2lp-2,所以 21p-2 是5 的倍数,则2lp 的个位数是2 或7, 所以p=1,3,4,5,6不符合题意, 当p=2时,21×2+3=45不是8的倍数; 当p=7时,21×7+3=150不是8的倍数; 当p=8,9,10,11不符合题意; 当p=12时,21×12+3=255 不是 8 的倍数； 当p=13,14,15,16不符合题意; 当p=17时,21×17+3=360是8 的倍数,符合题意. 此时21p=357,灯笼数量的最小值是357. 故答案为：357 变式 解：(1)第一步： 当x=1时, 当x=2时, 所以1<x<2; 第二步:当x=1.6时, 当x=1.7时, 所以1.6<x<1.7. 故答案为:3,-1,1,2,1.6,1.7; (2)通过以上探索，x的值约为1.7. 学科网（北京）股份有限公司 $