7.5三元一次方程组（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

7.5三元一次方程组 题型一、三元一次方程组的解法 1．观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 2．用加减法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先消x B．先消y C．先消z D．都一样 3．三元一次方程组 的 的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 5．已知，则代数式的值为 ． 6．对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 7．在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 8．解下列方程组： (1) (2) 9．解方程组：． 10．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 11．如下表，从左到右的每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等． 5 … (1)格子中所表示的整数为______，所表示的整数为______，所表示的整数为______； (2)请你求出第2023个整数是多少； (3)请你求出前2024个整数的和． 12．阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 题型二、三元一次方程组的解法应用 13．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 14．已知方程组，则 ． 15．已知，则的值为 ． 16．若方程组的解满足，则点在第 象限． 17．已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ． 18．我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有 组． 19．已知，且，求的值． 20．已知等式，且当时，；当时，；当时，； (1)求 a、b、c 的值； (2)当 时，y 的值又是多少？ 题型三、三元一次方程组的应用 21．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 22．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 23．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 24．如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 25．利用两块完全相同长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 26．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ． 27．[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ． 28．中国的元旦，距今已有 3000 多年的历史，“元旦 ”一词 最早出现于《晋书》．“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的 ，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为 ． 29．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套． 30．一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 31．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 32．[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 33．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3    34．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 35．某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ． 36．疫情宅家之后，某火锅店老板每天从老家收新鲜的豌豆尖、土豆、白菜，每种蔬菜单独装袋，并配送给小区住户，每种蔬菜配送费用不同，老板不赚取任何利润．第一日豌豆尖配送袋数是土豆配送袋数的两倍，白菜每袋卖价20元，其中配送费用占卖价的，每袋白菜的收菜价比每袋豌豆尖的收菜价少10元，比每袋土豆的收菜价少5元．第二日豌豆尖的配送袋数是第一日的1.5倍，土豆的配送袋数是第一日的3倍，白菜配送袋数与第一日保持一致，三种蔬菜的总配送袋数比第一日多了300袋．第二日豌豆尖的收菜价和卖价保持不变，土豆的收菜价增加了3元，卖价增加了4元，白菜的收菜价不变，卖价上涨了2元，豌豆尖2天的总配送费用是白菜2天总配送费用的，第一日白菜的总销售额与第一日三种蔬菜总销售额之比为，则第二日18袋豌豆尖的总配送费用比1袋土豆的配送费用多 元．（每袋蔬菜卖价每袋蔬菜收菜价每袋蔬菜配送费用） 37．【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】 （1）小明游玩行走速度为 米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟． 38．小明自主创业，在网络平台上经营一家水果店，销售的盒装水果共有草莓、蜜瓜、香梨三种，价格依次为40元盒、50元/盒、80元/盒，为增加销量，小明对这三种水果进行优惠促销，其促销海报如下： 优惠促销 •单笔订单总价超过100元时，超过100元的部分打5折． •每笔订单限购3盒水果，种类不限． 根据平台规定，每笔订单支付成功后，小明会得到支付款的作为货款． （1）顾客一笔订单购买了草莓、蜜瓜、香梨各一盒，小明收到的货款是 元； （2）若小明在两笔订单中共售出原价220元的水果，则他收到的货款最少是 元． 39．为促进春节消费，某黄金首饰店决定在假期开展一次“力度空前”的促销活动．活动方案如下：在收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次抽奖机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、30元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为4180元，第三时段返现金额比第一时段多600元，则第二时段返现金额为 元． 40．2022 年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩因其友好可爱、憨态可掬的形象备受大家的喜爱 ．某商家抓住商机，购进一批冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩敦公仔销售 ．钥匙扣的进价最低，购进数量是挎包与公仔数量之和的 2 倍；公仔的进价最高， 购进数量占挎包数量的，商家将这三种商品的进价标签混在一起，若随机抽出 2 个标签，求出进价和再乘以钥匙扣的数量，为 24000 元；若随机抽出 2 个标签，求出进价和再乘以挎包的数量，为 33000 元；若随机抽出 2 个标签，求出进价和再乘以公仔的数量，为 12000 元．老板将冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩墩公仔分别提价 100%、50%、50% 标价．实际销售时，为了促销，公仔的售价打八折，并且买一个公仔送 2 个钥匙扣，买一个挎包送 1 个钥匙扣，全部售完后，商家的利润率为 ． 41．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 42．小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 试卷第2页，共37页 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.5三元一次方程组 题型一、三元一次方程组的解法 1．观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】解： 方程①+②，②+③可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 2．用加减法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先消x B．先消y C．先消z D．都一样 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组．观察方程组，第一个方程不含有未知数y，因此将第二和第三个方程联立，首先消去y，进而选择即可． 【详解】解：， ∵方程①只有两个未知数x和z组成，而方程②③中y前面的系数是倍数关系， ∴方程②③消去y较容易， 故选：B． 3．三元一次方程组 的 的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先将三个式子相加，求出，再用可得答案． 【详解】解：， 由，得， 即， 由，得． 故选：B． 4．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 5．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 6．对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，新定义，根据新定义得到，再利用得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴ 得：， ∴， 故答案为：． 7．在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 8．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键； （1）利用加减消元法即可解答； （2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值． 【详解】（1）解：，得④ ，得 ，得 ，得 原方程组的解为； （2）把①代入②，得．④ 由④和③组成方程组 解得 把代入①，得， 原方程组的解为 9．解方程组：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法求解是关键． 利用加减消元法即可求解． 【详解】解：， 把①代入②，可得，整理可得， ④×2，可得， ③+⑤，可得，解得， 把代入①，可得， 把代入③，可得，解得， ∴原方程组的解为． 10．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【答案】8，9，13 【分析】本题考查三元一次方程组，根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ①②得：④， 把③代入④得：⑤， ①②得：⑥， ⑥3得：⑦， ⑤⑦得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴三角形的三边长分别为8，9，13． 11．如下表，从左到右的每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等． 5 … (1)格子中所表示的整数为______，所表示的整数为______，所表示的整数为______； (2)请你求出第2023个整数是多少； (3)请你求出前2024个整数的和． 【答案】(1)5，， (2) (3)1352 【分析】本题主要考查了三元一次方程组及数字规律型问题，根据题意列出方程组及方程组求解和根据数字之间的规律进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可列方程组，，求方程组的解即可得出答案； （2）根据题意可得格子中的整数以""为周期循环，则，即可得出答案． （3）由每三个相邻格子中的整数的和为2，，可得前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得 故答案为∶； （2）解：由（1）可知从左往右格子中的整数以，5，三个数字依次循环． 因为， 所以第2023个整数是． （3）解：因为每三个相邻格子中的整数的和为2，， 所以前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5， 所以前2024个整数的和为． 12．阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的知识，根据题意采用两种不同的方法求解即可，解题的关键是利用整体法解方程组． 【详解】解：解法一： ， 由得：， 把代入得：， ∴； 解法二： 由题意，将原方程整理得： ， 得：， 得：， 解得：． 题型二、三元一次方程组的解法应用 13．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 14．已知方程组，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 由①+②+③可得，解得， 故答案为：8． 15．已知，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，把代入原方程组，化简后，利用加减消元法求解． 【详解】解：把代入原方程组，得： ， 化简，得， ，得． 故答案为：2023． 16．若方程组的解满足，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了解三元一次方程组和点坐标所在象限的判定，方程组三方程相加即可求出的值，从而得到k的值，即可得到P的坐标，再进行判断即可． 【详解】解：， 得， 整理得， ∴， ∴， 点为， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 17．已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ． 【答案】130 【分析】本题考查三元一次方程组，通过解方程组得到与的关系是解题的关键．将方程组两个方程相加，得到，整体替换可得，再由的取值范围即可求解． 【详解】解：， 解得：， ①②，得， ，，为三个非负实数， ，， ， ， 当时，的最大值为130， 故答案为：130． 18．我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有 组． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故答案为：． 19．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 20．已知等式，且当时，；当时，；当时，； (1)求 a、b、c 的值； (2)当 时，y 的值又是多少？ 【答案】(1). (2)15． 【分析】本题考查了三元一次方程组的运用，需要注意对应代值． （1）将x、y的三组对应值分别代入等式，组成方程组，可求a，b，c的值； （2）把a，b，c的值及代入等式，可求y的值． 【详解】（1）由已知得 解得 即. （2）由(1)得. 当时，. 即y 的值是15． 题型三、三元一次方程组的应用 21．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数， 根据题意得，， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； ②当时，， ∴ ∵，且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：C． 22．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元， 故选：D． 23．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．先根据图形可得，将两个方程相加求解即可得． 【详解】解：由图可知，， ①②得：， 则， 解得， 故选：D． 24．如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故选：B． 25．利用两块完全相同长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系列出方程组是解答的关键．设木块的长为，宽为，桌子的高度为，根据题意列方程组求得即可求解． 【详解】解：设木块的长为，宽为，桌子的高度是， 根据题意，得， 则， 解得， ∴桌子的高度是， 故选：B． 26．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，读懂加密规则是解题关键．根据加密规则可得或，且明文互为相反数，从而可得，，则，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：或，且明文互为相反数， ∴，，即， ∴， 解得， 故答案为：． 27．[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙，掌握列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙的方法是解题关键．设丙的钱数为z，根据丙语列方程，根据甲语列方程 ，根据乙语列方程，然后用含x、y的代数式表示z即可 ． 【详解】解：设丙的钱数为z， 根据丙语得：整理得， 根据甲语得：整理得， 根据乙语得：整理得， 故答案为：或或． 28．中国的元旦，距今已有 3000 多年的历史，“元旦 ”一词 最早出现于《晋书》．“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的 ，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为 ． 【答案】 【分析】设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的数量分别是、、袋，则元月2日的数量分别为，，袋，元月3日为，，袋，根据“第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元”建立方程组，化简得到，可求出，，的值，进而利用利润（售价成本）数量即可求解．本题考查了销售中的利润问题，灵活运用方程思想，本题通过设设元旦节当天三种年货的数量分别是、、，根据题意算出元月2日，元月3日的销售量，得出方程组是解题关键． 【详解】解：设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的数量分别是、、袋、、均为正整数）， 由题意可得， ， 整理得， 解得， ∴ ∵、、均为正整数， ∴的个位数是或5 ∴的个位数是5或 ∵ ∴时，，不合题意，舍去； 时，，； 时，，不合题意，舍去； 则，，， 腊排骨利润为：（元） 腊肉利润为：（元）， ∴ 故答案为： 29．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套． 【答案】衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性；可设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共210名工人；②每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个；依此列出方程组求解即可． 【详解】解设个人缝制衣袖，个人缝制衣身，个人缝制衣领． 则有， 解得： 答：衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人． 30．一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)①甲9辆，乙6辆，丙3辆；②甲10辆，乙2辆，丙6辆；方案②最省 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）解：设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是正整数，且三种车共18辆要求同时参与 ∴x与y都不能大于16， 解得或． ∴共有两种方案：①甲车9辆，乙车6辆，丙车3辆；②甲车10辆，乙车2辆，丙车6辆； 两种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）； ∵， ∴方案②最省． 31．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 32．[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，4 (2)购买20支铅笔、20块橡皮共需160元 (3)1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识， （1）由得，则，再由得，则； （2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，由题意列出方程组，再由整体思想求出，即可求解； （3）由定义新运算：得，，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：，4； （2）解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元， 由题意得：， 得：， ∴， 即购买20支铅笔、20块橡皮共需160元； （3）解：∵， ∴， 得：， ∴， ∴， ∴． 33．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组． 设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可． 【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，    ∴， ∴， ∴D正确； ∴， ∴B正确，D不正确； ∴乘积结果可以表示为． ∴C正确． 故选：D． 34．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 【答案】13 【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 【详解】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 35．某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，弄清题意，通过所给的条件，理顺各量之间的关系，列出方程是解题的关键． 设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元，根据题意可求A的成本为（元），利润为（元），C的利润为（元），成本为（元），设B的成本为m元，利润为W元，由题意可得，则，再求出1月2日的总利润为：元，总成本为：元，则可由求解． 【详解】解：设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元， ∵每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍， ∴， ∴， ∴A的成本为（元），利润为（元）， ∵每袋C的利润是每袋A利润的， ∴C的利润为（元），成本为（元）， 设B的成本为m元，利润为W元， ∵每袋B的成本是其售价的， ∴， ∴， ∵1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为， ∴1月2日的总利润为：元， 总成本为：元， ∴． 故答案为：. 36．疫情宅家之后，某火锅店老板每天从老家收新鲜的豌豆尖、土豆、白菜，每种蔬菜单独装袋，并配送给小区住户，每种蔬菜配送费用不同，老板不赚取任何利润．第一日豌豆尖配送袋数是土豆配送袋数的两倍，白菜每袋卖价20元，其中配送费用占卖价的，每袋白菜的收菜价比每袋豌豆尖的收菜价少10元，比每袋土豆的收菜价少5元．第二日豌豆尖的配送袋数是第一日的1.5倍，土豆的配送袋数是第一日的3倍，白菜配送袋数与第一日保持一致，三种蔬菜的总配送袋数比第一日多了300袋．第二日豌豆尖的收菜价和卖价保持不变，土豆的收菜价增加了3元，卖价增加了4元，白菜的收菜价不变，卖价上涨了2元，豌豆尖2天的总配送费用是白菜2天总配送费用的，第一日白菜的总销售额与第一日三种蔬菜总销售额之比为，则第二日18袋豌豆尖的总配送费用比1袋土豆的配送费用多 元．（每袋蔬菜卖价每袋蔬菜收菜价每袋蔬菜配送费用） 【答案】69 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程的应用：设第一日土豆配送袋，则豌豆尖配送袋，第二日豌豆尖配送袋，土豆配送袋，根据三种蔬菜的总配送袋数比第一日多了300袋，列出方程求出的值，设第一日白菜配送袋，第一日每袋土豆的配送费为元，每袋豌豆尖配送费为元，根据豌豆尖2天的总配送费用是白菜2天总配送费用的，第一日白菜的总销售额与第一日三种蔬菜总销售额之比为，分别列出二元一次方程，三元一次方程，求出的数量关系，进一步求得答案即可． 【详解】解：设第一日土豆配送袋，则豌豆尖配送袋，第二日豌豆尖配送袋，土豆配送袋，由题意，得：， 解得：， ∴第一日土豆配送袋，则豌豆尖配送袋，第二日豌豆尖配送袋，土豆配送袋， 设第一日白菜配送袋，第一日每袋土豆的配送费为元，每袋豌豆尖配送费为元， 由题意，得：白菜每袋卖价20元，配送费为元， ∴第一日白菜每袋的收菜价为元，每袋土豆的收菜价为元，每袋豌豆尖的收菜价为元， ∴第一日每袋土豆的卖价为元，每袋豌豆尖的卖价为元， ∵第二日豌豆尖的收菜价和卖价保持不变，白菜的收菜价不变，卖价上涨了2元， ∴豌豆尖每袋的配送费不变，白菜每袋的卖价为元，配送费为每袋元， 由题意，得：， ∴， ∵第一日白菜的总销售额与第一日三种蔬菜总销售额之比为 ∴， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∵第二天土豆的收菜价增加了3元，卖价增加了4元， ∴每袋的配送费比第一日多了1元，为元， ∴（元）； 故答案为：69． 37．【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】 （1）小明游玩行走速度为 米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟． 【答案】 60 45 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． （1）设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，求出的值，再利用路程除以时间求出速度即可； （2）根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”求出，进而求出路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为，利用路程除以速度再加上停留时间求出游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间，即可． 【详解】解：（1）由图象可知：小明游玩行走的时间为（分钟）， 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴小明游玩行走的速度为（米/分钟）； 故答案为：60． （2）由题意，得：小亮游玩行走的时间为（分钟）；由于游玩行走速度恒定，则小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所用时间为（分钟）， ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少（分钟）； 故答案为：45． 38．小明自主创业，在网络平台上经营一家水果店，销售的盒装水果共有草莓、蜜瓜、香梨三种，价格依次为40元盒、50元/盒、80元/盒，为增加销量，小明对这三种水果进行优惠促销，其促销海报如下： 优惠促销 •单笔订单总价超过100元时，超过100元的部分打5折． •每笔订单限购3盒水果，种类不限． 根据平台规定，每笔订单支付成功后，小明会得到支付款的作为货款． （1）顾客一笔订单购买了草莓、蜜瓜、香梨各一盒，小明收到的货款是 元； （2）若小明在两笔订单中共售出原价220元的水果，则他收到的货款最少是 元． 【答案】 【分析】（1）根据小志收到的货款=（100+超出100元的部分×0.5）×80%，即可得出结论； （2）设两次共售出盒草莓，盒蜜瓜，盒香梨，根据总价=单价×数量以及“每笔订单限购3盒水果”即可得出关于的三元一次方程，结合均为非负整数，即可得出的可能值，再分各种出售方式求出小志收到的货款，比较后即可得出结论． 【详解】（1）（元）． 故答案为：． （2）设两次共售出盒草莓，盒蜜瓜，盒香梨， 依题意，得：， 解得： ，，均为非负整数， ，， 当，，时，两次共售出1盒草莓，2盒蜜瓜，1盒香梨，分以下几种情况考虑： ①一笔订单售出1盒草莓，2盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒香梨，此时小明收到的货款是（元）； ②一笔订单售出1盒草莓，1盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒香梨，1盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）； ③一笔订单售出1盒草莓，另一笔订单售出1盒香梨，2盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）； ④一笔订单售出1盒草莓，1盒香梨，另一笔订单售出2盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）； ⑤一笔订单售出1盒草莓，1盒香梨，1盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）； 当，，时，两次共售出3盒草莓，2盒蜜瓜，分以下几种情况考虑： ①一笔订单售出3盒草莓，另一笔订单售出2盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）； ②一笔订单售出2盒草莓，另一笔订单售出2盒蜜瓜，1盒草莓，此时小明收到的货款是（元）； ③一笔订单售出2盒草莓，1盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒蜜瓜，1盒草莓，此时小明收到的货款是（元）； 综上所述，小明收到的货款最少是元． 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用类问题以及三元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据促销方案，求出小志收到的货款；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程． 39．为促进春节消费，某黄金首饰店决定在假期开展一次“力度空前”的促销活动．活动方案如下：在收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次抽奖机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、30元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为4180元，第三时段返现金额比第一时段多600元，则第二时段返现金额为 元． 【答案】2100 【分析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为，，，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，，．根据题意得到关于a，b，c方程组，根据a，b，c均为正整数，求解即可． 【详解】解：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为，，，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，，2c．由题意得：， 即， ∵a，b，c均是正整数，根据可得： 或或， 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，符合题意； ∴第二时段返现金额为：（元）． 故答案为：2100． 【点睛】本题主要考查了求方程组的正整数解，根据题意得到方程组，求出方程组的整数解是解题关键．解题时注意题目中隐含条件a，b，c均为正整数． 40．2022 年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩因其友好可爱、憨态可掬的形象备受大家的喜爱 ．某商家抓住商机，购进一批冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩敦公仔销售 ．钥匙扣的进价最低，购进数量是挎包与公仔数量之和的 2 倍；公仔的进价最高， 购进数量占挎包数量的，商家将这三种商品的进价标签混在一起，若随机抽出 2 个标签，求出进价和再乘以钥匙扣的数量，为 24000 元；若随机抽出 2 个标签，求出进价和再乘以挎包的数量，为 33000 元；若随机抽出 2 个标签，求出进价和再乘以公仔的数量，为 12000 元．老板将冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩墩公仔分别提价 100%、50%、50% 标价．实际销售时，为了促销，公仔的售价打八折，并且买一个公仔送 2 个钥匙扣，买一个挎包送 1 个钥匙扣，全部售完后，商家的利润率为 ． 【答案】12.5% 【分析】首先设购买挎包的数量为a个，冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩敦公仔的进价每个分别为x元、y元、z元，列方程组，解关于x、y、z的方程组，然后分别求出总售价和总进价，得出利润率． 【详解】解：设购买挎包的数量为a个，则冰墩敦公仔 个，冰墩墩钥匙扣个 个， 设冰墩墩钥匙扣、冰墩墩挎包、冰墩敦公仔的进价每个分别为x元、y元、z元，（x＜y＜z）， 根据三次抽签知，任意两个进价之和分别为 元、 、 元， 结合x＜y＜z， 故只有 ， 解得 故总售价为： 80%（1+50%） +（1+50%） +（1+100%） =12000+9000+6000=27000（元）， 总进价为（元）， 故利润率为： ， 故答案为12.5%． 【点睛】本题考查列方程组解决实际问题，解决问题的关键是找出满足题意的等量关系列方程组，注意根据x、y、z大小结合和的大小确定对应关系． 41．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 【答案】任务1：A，B，C三种型号木板的面积分别是；任务2：一共可以做18个木箱，木箱的总体积；任务3：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，二元一次方程组和三元一次方程组的应用： 任务1：根据图形分别求出三种型号的木板的长和宽，进行计算即可； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：任务1：由图可知，型木板的宽为，型木板的宽和木板的长均为，由图1可知，木板的宽与型木板的宽相同，均为，由图丙可知，型木板的长型木板的宽，由图乙可知，型木板的长等于型木板的长， ∴型木板的面积为： 型木板的面积为： 型木板的面积为：； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 由图1可知，制作一个木盒需要2张，2张和1张， ∴，解得：， ∴共制作型木板，张， ∴共能制作木盒18个， 木箱的总体积为：； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 又原来有20张型木板，故共张型木板， 由题意，得： ∴， 解得：，（均为正整数）， ∵， ∴ ∴当时，，， 即：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时．（答案不唯一） 42．小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 【答案】(1)1500； (2)第二批能制成祛湿茶151包 (3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）根据每包祛湿茶需要茯苓进行求解即可；再根据每包祛湿茶需要陈皮、白扁豆求出一共需要陈皮、白扁豆的重量，进而求出对应的比值即可； （2）设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，根据剩余的白扁豆比陈皮多且所用原料陈皮与白扁豆的质量比为列出方程组求解即可； （3）设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，根据两次的利润列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴购入茯苓的质量为； ， ∴这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为； （2）解：设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第二批能制成祛湿茶151包； （3）解：设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元， 由题意得， 解得， ∴， ∴， 答：两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元． 试卷第2页，共37页 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$