重难点专题02 整式的乘法（专项训练，14重难题型）数学新教材北师大版七年级下册

重难点专题 整式的乘法 重难点一、单项式的乘法 利用公式，单项式相乘，分别将系数相乘，相同字母相乘，按照同底数幂相乘法则。 1．计算： ． 2．计算： ． 3．计算： ． 4．定义新运算：，则的运算结果为 5．计算： (1)． (2)． (3)． 重难点二、利用单项式的乘法求参数 根据单项式乘积的结果，对比等式两边同类项的系数和指数，列方程求解未知参数。 6．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．若，则 ． 9．若，求的值． 10．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 重难点三、单项式与多项式的乘法 单项式乘以多项式的每一项（注意符号），再将所得的积相加，即为单项式乘多项式的法则。 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为______； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为______（用含的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 重难点四、单项式与多项式乘法中的实际应用问题 根据题意列出包含单项式乘多项式的算式，化简后代入数值计算。 15．一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 16．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 17．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 18．重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 19．8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 重难点五、单项式乘多项式的无关问题 化简整式后，令所含特定字母的系数为零，则整式的值与该字母无关。 20．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 21．关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 22．已知中不含项，求a的值． 23．已知的展开式中不含项，求的值． 重难点六、多项式的乘法运算 用一个多项式的每一项，乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，注意合并同类项。 24．计算： (1)； (2) 25．一个长方体的长、宽、高分别为，，，它的体积等于 ． 26．探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 27．计算： (1)； (2)． 重难点七、（x p）（x q）型多项式乘法 可直接套用公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq。 28．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 29．计算：． 30．已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 31．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 32．计算： (1)． (2)． (3)． 33．已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 重难点八、多项式与多项式相乘与图形面积 将图形的面积表示为多项式相乘的形式，或通过多项式乘法运算来推导或验证面积公式。核心，以面积为等量构造等式。 34．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 36．五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 37．阅读理解：如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． 若选取1号卡片1张、2号卡片1张、3号卡片2张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为：； 知识应用：（1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为 ； （2）填空：小明想拼出一个面积为的长方形，需选取1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； （3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原卡片不重叠无缝隙），画出你的拼法设计； 拓展迁移： （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长． 重难点九、多项式乘法中的错解复原问题 根据错误的运算过程和结果，逆向推导出被污染或看错的项，再重新进行正确计算。 38．已知是多项式，在计算时，小海同学把错看成了，结果得x，那么的正确结果为 ． 39．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．这道整式乘法的正确结果是 ． 40．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 41．小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)求a，b的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 重难点十、多项式乘多项式中的实际应用 根据实际问题背景（如面积、体积、销售利润等）建立多项式乘法模型，化简后求解。 42．某超市新进一批进货价为30元/个的玩具，超市经理将该玩具的销售价定为40元/个进行销售，平均每月能售出60个．根据当地市场调研，发现当销售单价每上涨1元时，其销售量就将减少6个．设该玩具每个的销售价上涨a元． (1)试用含a的代数式填空． ①涨价后，每个玩具的销售价为______元． ②涨价后，每个玩具的利润为______元． ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为______个． (2)如果超市销售该玩具，要想销售利润平均每月达到500元，经理甲说“在原销售价40元/个的基础上再上涨5元，可以完成任务”，经理乙说“在原销售价的基础上提高也可以”，试判断经理甲与经理乙的说法是否正确，并说明理由． 43．书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 44．甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的增收机会．如图，长方形为某村的一块甜菜种植基地，其中，．若该甜菜种植基地扩大为长方形，其中点B在上，点D在上，，，则长方形的面积比长方形的面积增加了 ． 45．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 重难点十一、由多项式乘法求字母参数 将多项式乘积展开并合并同类项，利用“对应项系数相等”建立关于参数的方程（组）求解。 46．已知，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 47．已知，则a的值为 ． 48．已知，则 ． 49．阅读下面例题及其解的过程： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为． 所以． 所以． 所以，解得 所以另一个因式为，m的值为． 按照以上方法解答下列问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 50．小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时的值称为多项式的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________； (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式的另一个零点； (3)小亮继续研究，及等，发现在轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“系多项式”，则________，________，________． 重难点十二、多项式乘法中的无关型问题 将含字母的整式化简后，无关项合并同类项后，令系数和为零，则整式的值与该字母取值无关。 51．若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 52．已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 53．已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 54．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 55．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 重难点十三、多项式乘法中的规律问题 通过计算特例（如 n=1,2,3）展开式，观察系数、指数或项数的规律，并用含 n 的代数式表示。一般要列出相关项之后再观察结果，找到规律。 56．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（   ） A． B． C． D． 57．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如图所示．根据材料，则展开后含x项的系数为（   ） 杨辉三角 1 1    1 1    2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 … …… A．720 B． C．360 D． 58．阅读以下内容：，，，根据这一规律填空： （1） ； （2）计算： ． 59．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 60．① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 重难点十四、整式乘法中的自定义问题 关键在于理解题目定义的新运算规则，严格按照规则将定义式转化为常规的整式运算（如多项式乘法）再进行计算。 61．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 62．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 63．对定义一种新运算：．如：．计算： ． 64．如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 65．定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 66．按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 试卷第2页，共46页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 整式的乘法 重难点一、单项式的乘法 利用公式，单项式相乘，分别将系数相乘，相同字母相乘，按照同底数幂相乘法则。 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘法，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：原式． 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式，正确掌握单项式乘单项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的法则即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题是单项式的乘法运算，需分别计算系数和字母部分，并应用有理数乘法法则和同底数幂相乘的法则 【详解】解：， 故答案为． 4．定义新运算：，则的运算结果为 【答案】/ 【分析】本题考查整式的运算，根据新运算的定义，将 和 分别替换为 和 ，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：由定义 ，得 ， 故答案为 ． 5．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）（3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘单项式，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 重难点二、利用单项式的乘法求参数 根据单项式乘积的结果，对比等式两边同类项的系数和指数，列方程求解未知参数。 6．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 7．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 8．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 9．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，单项式乘以单项式，幂的乘方的逆运算，把所求式子可变形为，进一步可变形，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 10．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 重难点三、单项式与多项式的乘法 单项式乘以多项式的每一项（注意符号），再将所得的积相加，即为单项式乘多项式的法则。 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式、同底数幂的乘法、合并同类项，幂的乘方和单项式乘以单项式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式和零指数幂，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案； （2）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 14．阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为______； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为______（用含的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，列代数式，多项式乘以多项式的计算，单项式乘以多项式的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意可得另一个两位数的十位数字为，个位数字为，则可表示出另一个两位数，再根据题意列式求解即可； （3）根据（2）所求，把等式左右两边分别去括号和合并同类项即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得，另一个两位数的十位数字为，个位数字为， ∴另一个两位数为， ∴； （3）证明： ， ， ∴． 重难点四、单项式与多项式乘法中的实际应用问题 根据题意列出包含单项式乘多项式的算式，化简后代入数值计算。 15．一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的定义是关键．根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】∵长方形的面积=长×宽， ∴面积， ， ． 故选D． 16．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 17．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 18．重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【答案】(1) (2)该几何体的表面积为． 【分析】本题考查列代数式，整式乘法的应用，整式加减的应用，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式列出代数式即可； （2）根据长方体的表面积公式列式化简，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：该几何体的体积为； （2）解： ∵， ∴． 答：该几何体的表面积为． 19．8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【答案】(1) (2)87 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积为： ； （2）解：当，时， 板的总面积为： ． 重难点五、单项式乘多项式的无关问题 化简整式后，令所含特定字母的系数为零，则整式的值与该字母无关。 20．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 21．关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 22．已知中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 23．已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 重难点六、多项式的乘法运算 用一个多项式的每一项，乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，注意合并同类项。 24．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式法则计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．一个长方体的长、宽、高分别为，，，它的体积等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘多项式在图形中的应用，解答本题的关键在于熟练掌握单项式乘多项式的运算法则．根据长方体的体积等于长、宽、高之积列出式子，计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方体的长、宽、高分别为，，， ∴长方体的体积为： ， ． 故答案为：． 26．探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【答案】（1） （2） （3） （4）① ；② ； 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、探索规律题等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． （1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （2）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （3）根据（1）（2）归纳总结得到一般性规律即可； （4）利用（3）得出的公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）由（1）（2）可归纳出：． （4）① ； ②中间应补上：， ； ． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可； （2）根据多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 重难点七、（x p）（x q）型多项式乘法 可直接套用公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq。 28．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 【详解】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 29．计算：． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式和去括号，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式法则计算，然后合并同类项即可求解． 【详解】解：原式 ． 30．已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . 故选：C． 31．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 32．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用多项式乘多项式的法则即可解答； （2）先提取第二个多项式中的负号，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，最后去括号即可解答； （3）先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 33．已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，根据题意设，然后展开后比较求解即可． 【详解】解：∵时，关于x的多项式能被整除， ∴设 ∴ ∴， ∴， ∴． 重难点八、多项式与多项式相乘与图形面积 将图形的面积表示为多项式相乘的形式，或通过多项式乘法运算来推导或验证面积公式。核心，以面积为等量构造等式。 34．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题． 求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可． 【详解】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：， A．； B．； C．； D．； 故选A． 35．如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的应用；根据题意有，根据可表示为或或三种形式，则可得到长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为，进而可作出判断． 【详解】解：取出1张型卡片，12张型卡片，其面积和为； 而可表示为或或三种形式， 对应地，长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为， 此时，，， 则可以取13张或8张或7张B型卡片； 当取6张B型卡片时，其面积为，所取三种卡片不能拼成一个长方形． 故选：A． 36．五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 用含，，的代数式表示左上角与右下角的阴影部分的面积，从而得到，因为当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，所以可推得前的系数值为0，则问题可解． 【详解】解：由题意有，，， ． 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ， ． 故选：A． 37．阅读理解：如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． 若选取1号卡片1张、2号卡片1张、3号卡片2张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为：； 知识应用：（1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为 ； （2）填空：小明想拼出一个面积为的长方形，需选取1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； （3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原卡片不重叠无缝隙），画出你的拼法设计； 拓展迁移： （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长． 【答案】（1）；（2）4；3；8；（3）见解析；（4）2号卡片的边长为4 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为x，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】解：（1）拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． （2）1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片4张，2号卡片3张，3号卡片8张， 故答案为：4，3，8； （3）∵拼成的图形是正方形（按原卡片进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：， ∵， ∴最大正方形的边长为， 画图如下： （4）设长方形的长为x，则宽为． 由题意：， ， ∴， ∴， ∴，即2号卡片的边长为4． 重难点九、多项式乘法中的错解复原问题 根据错误的运算过程和结果，逆向推导出被污染或看错的项，再重新进行正确计算。 38．已知是多项式，在计算时，小海同学把错看成了，结果得x，那么的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘除，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题目的已知可知，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 39．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．这道整式乘法的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算以及对错误计算的逆向推导能力，解决本题的关键在于根据错误的计算结果求出未知参数． 通过比较抄错符号后的多项式展开式与给定错误结果的系数，求出的值，再代入正确表达式计算正确结果即可． 【详解】解：嘉淇抄错后计算的是，展开得， 即常数项，解得， 验证一次项系数，符合错误结果． 正确表达式为， 故答案为：． 40．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据嘉淇抄错符号后计算的多项式展开，比较所得结果与给定错误结果的系数，可求出的值，再代入原式计算正确结果． 【详解】解：（1）嘉淇抄错符号后计算的是， 展开得： 给定错误结果为，比较常数项： 解得： 验证一次项系数：当时，，与错误结果一次项系数一致， 故． （2）正确原式为，代入： 故答案为（1）5；（2）． 41．小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)求a，b的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法． （1）根据题意可知，，分别计算，，得到，，相减求出，进而可求出； （2）由（1）知，，即，计算即可． 【详解】（1）解：∵小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为， ∴ ， 即， ∴①，， ∵小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为， ∴ ， 即， ∴②，即， ，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴ ． 重难点十、多项式乘多项式中的实际应用 根据实际问题背景（如面积、体积、销售利润等）建立多项式乘法模型，化简后求解。 42．某超市新进一批进货价为30元/个的玩具，超市经理将该玩具的销售价定为40元/个进行销售，平均每月能售出60个．根据当地市场调研，发现当销售单价每上涨1元时，其销售量就将减少6个．设该玩具每个的销售价上涨a元． (1)试用含a的代数式填空． ①涨价后，每个玩具的销售价为______元． ②涨价后，每个玩具的利润为______元． ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为______个． (2)如果超市销售该玩具，要想销售利润平均每月达到500元，经理甲说“在原销售价40元/个的基础上再上涨5元，可以完成任务”，经理乙说“在原销售价的基础上提高也可以”，试判断经理甲与经理乙的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)①，②，③； (2)故经理甲的说法不正确，经理乙的说法正确，理由见详解． 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）已知玩具的原销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨a元，根据利润为涨价后的价格减去进货价，计算求解即可； （2）根据总利润为单个利润与销售量的乘积，列出月销售利润的方程为元，分别计算甲经理上涨5元和乙经理提价后的月销售利润，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：原来玩具得销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨a元， 则①涨价后，每个玩具的销售价为：元， ②涨价后，每个玩具的利润为：元， ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为：个， 故答案为：①，②，③； （2）经理甲的说法不正确，经理乙的说法正确，理由如下： 根据题意可得，超市该玩具的月销售利润为元， 当时，（元），， 当时，（元），， 故经理甲的说法不正确，经理乙的说法正确． 43．书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 44．甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的增收机会．如图，长方形为某村的一块甜菜种植基地，其中，．若该甜菜种植基地扩大为长方形，其中点B在上，点D在上，，，则长方形的面积比长方形的面积增加了 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，理解题意是解题的关键． 根据长方形的面积公式，分别计算长方形和的面积，二者再作差即可求解． 【详解】解：长方形的面积 ， 长方形的面积 ， ， ∴长方形的面积比长方形的面积增加了． 故答案为：． 45．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米 (2)完成绿化共需要15040元 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）用长方形的面积减去四个小正方形的面积，求解即可； （2）把，，代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，即可得出结果． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：当，时，， （元）； 答：完成绿化共需要15040元． 重难点十一、由多项式乘法求字母参数 将多项式乘积展开并合并同类项，利用“对应项系数相等”建立关于参数的方程（组）求解。 46．已知，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 展开左边多项式，与右边比较各项系数，进而求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 47．已知，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的计算是解题的关键，通过多项式乘法展开左边表达式，与右边表达式比较对应项系数，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：2． 48．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查“整式的乘法”及负整数指数幂，正确展开左边多项式是解题关键． 通过展开左边多项式，比较等式两边对应项的系数，求出 A 和 B 的值，再计算 即可． 【详解】展开左边多项式： ， 与右边 比较系数，得 ，， 则 ． 故答案为：． 49．阅读下面例题及其解的过程： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为． 所以． 所以． 所以，解得 所以另一个因式为，m的值为． 按照以上方法解答下列问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为，的值为15 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的应用，解题的关键是理解题意，准确进行计算． 设另一个因式为，根据题目中给出的方法进行计算即可． 【详解】解：设另一个因式为， 得， 则 ． 解得：，． ∴另一个因式为，的值为15． 50．小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时的值称为多项式的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________； (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式的另一个零点； (3)小亮继续研究，及等，发现在轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，，1 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，正确进行计算是解题的关键． （1）根据题意，令，解方程得出x的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式B，得，然后解关于a的值，再把a的值代入B，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：令， 或， 或； ∴此多项式的零点为或； （2）解：把代入，得， ， 把代入，得， 令， ． （3）解：， 解得或； 的两个零点分别是或7， 根据“3-系多项式”的定义，有， ，把代入，得． ， ，， ，． 故答案为：． 重难点十二、多项式乘法中的无关型问题 将含字母的整式化简后，无关项合并同类项后，令系数和为零，则整式的值与该字母取值无关。 51．若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 52．已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 53．已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法． 先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 54．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 55．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查阅读理解，整式的加减运算，单项式乘多项式的应用，涉及代数式的值与x的取值无关问题解法，读懂题意，理解方法是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）先计算，再由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）设，由图可知，，可得：，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可得：，进而可得结论． 【详解】解：（1）， ∵关于x的代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， （2）∵ ， ， ∴， ∵的值与x无关， ∴， 解得：； （3）设，由图可知，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴取值与x无关， ∴， ∴． 重难点十三、多项式乘法中的规律问题 通过计算特例（如 n=1,2,3）展开式，观察系数、指数或项数的规律，并用含 n 的代数式表示。一般要列出相关项之后再观察结果，找到规律。 56．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据展开式的规律，发现每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1，依此规律解答即可． 本题考查了规律的探索，熟练掌握规律的发现是解题的关键． 【详解】解：由题意发现： 中，每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1， 故的第二项为， 故含项的系数是． 故选：D． 57．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如图所示．根据材料，则展开后含x项的系数为（   ） 杨辉三角 1 1    1 1    2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 … …… A．720 B． C．360 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类，整式乘法的规律探索，找到变化规律是解题的关键． 根据题中规律得出杨辉三角的第6行的每一项分别为：，则可得，再得出展开后含x的项为第4项，进而计算即可． 【详解】解：由题意可得杨辉三角的第6行的每一项分别为：， ∴， 在不考虑系数的情况下， ∴展开后含x的项为第4项， 此时系数为． 故选：B． 58．阅读以下内容：，，，根据这一规律填空： （1） ； （2）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据给定的等式规律，，其中为多项式中最高次项的指数，直接应用此规律； （2）令，利用规律将求和部分化简，再计算表达式值． 【详解】解：（1）由规律可知，， 此处，故， 故答案为：； （2）根据规律，， 即， 故原式， 故答案为：． 59．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 60．① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 【答案】(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 重难点十四、整式乘法中的自定义问题 关键在于理解题目定义的新运算规则，严格按照规则将定义式转化为常规的整式运算（如多项式乘法）再进行计算。 61．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了新运算的定义及一元一次方程求解，单项式乘以多项式，根据新运算的定义，将方程转化为关于x的一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 62．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 63．对定义一种新运算：．如：．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 64．如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母、、代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故答案为：． 65．定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 66．按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 【答案】(1)， (2)① (3) 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是理解流程图． （1）根据流程图列式即可． （2）分别计算每个选项中等式左右两边式子，再比较即可． （3）先计算出与，即可解答． 【详解】（1）解：根据流程图可得；， 故答案为：，． （2）解：，，即，故①正确；      ， ， 故，②错误； ，，故③错误；      ， ， ，故④错误； 故答案为：①． （3）解：， ， 若与相等， 则． 试卷第2页，共46页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $