专题利用导数研究函数的单调性、极值、最值讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题 利用导数研究函数单调性、极值、最值 题型1 求单调区间 题型2 讨论单调性 题型3 已知单调性求参数 题型4 求极值 题型5 已知极值求参数 题型6 极值点个数 题型7 求最值 【基础知识】 1．利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数f(x)的定义域； ②求导函数f′(x)； ③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)； ②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集； ③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集． 2．利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程f′(x)＝0； ③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化； 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值； ②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【易错剖析】 易错点1　函数的单调区间理解不准确 【1】　对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可． 易错点2　判断函数的奇偶性时忽略定义域 【2】　一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数． 易错点3　不清楚导数与极值的关系 【3】　(1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号． (2)已知极值点求参数要进行检验． 易错点4　混淆“切点”致误 【4】　注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点． 易错点5　导数与单调性的关系理解不准确 【5】　(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件． (2)对可导函数f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)内的任何子区间上都不恒为零．若求单调区间，可用充分条件．若由单调性求参数，可用充要条件．即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则容易漏解． 【6】求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型例题】 【例1】（2019·全国Ⅲ卷）已知函数f (x)＝2x3－ax2＋b.讨论f (x)的单调性． 【例2】（2024·全国一卷）已知函数 若，且，求的最小值； 【例3】已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函数h(x)＝f (x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f (x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围． 【例4】若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________． 混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间” 【例5】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【例6】设函数． (1)求的极大值点与极小值点； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【强化训练】 1.已知，那么单调递增区间__________；单调递减区间__________. 2（重庆高考真题）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　D　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 3．（2023·新课标1卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 4．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 5.已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ） A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－ 6.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B. C．(0,1) D．(0，＋∞) 7．多选题（2023·新课标2卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 8.已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数. (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 利用导数研究函数单调性、极值、最值 题型1 求单调区间 题型2 讨论单调性 题型3 已知单调性求参数 题型4 求极值 题型5 已知极值求参数 题型6 极值点个数 题型7 求最值 【基础知识】 1．利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数f(x)的定义域； ②求导函数f′(x)； ③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)； ②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集； ③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集． 2．利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程f′(x)＝0； ③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化； 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值； ②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【易错剖析】 易错点1　函数的单调区间理解不准确 【1】　对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可． 易错点2　判断函数的奇偶性时忽略定义域 【2】　一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数． 易错点3　不清楚导数与极值的关系 【3】　(1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号． (2)已知极值点求参数要进行检验． 易错点4　混淆“切点”致误 【4】　注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点． 易错点5　导数与单调性的关系理解不准确 【5】　(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件． (2)对可导函数f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)内的任何子区间上都不恒为零．若求单调区间，可用充分条件．若由单调性求参数，可用充要条件．即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则容易漏解． 【6】求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型例题】 【例1】（2019·全国Ⅲ卷）已知函数f (x)＝2x3－ax2＋b.讨论f (x)的单调性． 解：f ′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)． 令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝. ①若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f ′(x)>0；当x∈时，f ′(x)<0. 故f (x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减． ②若a＝0，则f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增． ③若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈时，f ′(x)<0. 故f (x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 【例2】（2024·全国一卷）已知函数 若，且，求的最小值； 【解析】求出后根据可求的最小值； 【详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为. 【例3】已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函数h(x)＝f (x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f (x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围． 【解析】(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2. 因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2＜0有解，即a＞－有解．设G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可．而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1，所以a＞－1. 又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞)． (2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立． 由(1)知G(x)＝－，所以a≥G(x)max.而G(x)＝－1. 因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－. 又因为a≠0，所以a的取值范围是∪(0，＋∞)． 【例4】若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________． 【答案】(－3，－1)∪(1,3)【解析】f′(x)＝3x2－12，由f′(x)>0，得函数的单调递增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f′(x)<0，得函数的单调递减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3. 混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间” 【例5】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 解：函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a＝(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a>0时，当x∈时，f′(x)>0， 当x∈时，f′(x)<0， 故函数在x＝处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. 【例6】设函数． (1)求的极大值点与极小值点； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)极小值点为，极大值点为；(2)，. 【解析】(1)(令，解得：或， 则变化情况如下表： 极小值 极大值 的极小值点为，极大值点为； （2）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增； 又，，， ，. 【强化训练】 1.已知，那么单调递增区间__________；单调递减区间__________. 【答案】 【解析】因为,故. 令可得,即.又为增函数,故当时,,单调递减；当时, ,单调递增.故答案为：(1) ；(2) 2（重庆高考真题）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　D　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【答案】D 【解析】由函数的图象可知，f ′(－2)＝0，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，并且当x＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x＜1，f ′(x)＜0，函数f(x)有极大值f(－2)． 又当1＜x＜2时，f ′(x)＜0，当x＞2时，f ′(x)＞0，故函数f(x)有极小值f(2)． 故选D． 3．（2023·新课标1卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 4．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是 5.已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ） A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－ 【答案】A 【解析】由题可知： 所以 即 可得或 当时，可知 令，所以或 令，所以 函数在递增，在递减 所以可知函数在处取极小值，故不符合题意 所以，所以 6.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B. C．(0,1) D．(0，＋∞) 【答案】B 【解析】因为f(x)＝x(ln x－ax)，所以f′(x)＝ln x－2ax＋1.由题可知f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝.令g(x)＝，则g′(x)＝，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又因为当x从右边趋近于0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，所以只需0<2a<1，即0<a<. 7．多选题（2023·新课标2卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 8.已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数. (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 解　(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f(x)max＝f(1)＝－1. ∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈. ①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数， ∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意. ②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－； 令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－<x≤e. 从而f(x)在上为增函数，在上为减函数， ∴f(x)max＝f＝－1＋ln. 令－1＋ln＝－3，得ln＝－2， 即a＝－e2. ∵－e2<－，∴a＝－e2为所求. 故实数a的值为－e2. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $