精品解析：广东惠州市第一中学2026届高三下学期3月阶段考试数学试题

惠州一中2026届高三（下）3月阶段考试 数 学 考试时长： 120 分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得，即， 而，所以. 2. 已知复数是实数，则（ ） A. 0 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，根据是实数求出的值 【详解】因为是实数，所以. 故选：B 3. 养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速．如图为某小型养鸡场2017—2023年每年养鸡数量（单位：百只）的统计图： 则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是（ ） A. 45 B. 60 C. 80 D. 85 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】将样本数据从小到大排列为44，45，60，60，80，85，110． 因为，所以第60百分位数是第5个数，即80， 故选：C 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据差角公式可得，即可利用同角关系求解.` 【详解】由得，解得， 故，结合，故 由于，故， 故选：A 5. 函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域排除B；由是奇函数排除C；由排除D，从而得出答案. 【详解】由，得，则的定义域是，排除B； 由， 得， 所以函数是奇函数，排除C； ，排除D. 故选：A． 6. 的展开式中的常数项是（ ） A. 352 B. C. 1120 D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 7. 传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3） A. 105 B. 107 C. 1012 D. 1015 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可. 【详解】64个格子放满麦粒共需， 麦子大约20000粒，1吨麦子大约粒， ， 故选：C. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可以看作点与点连线的斜率，点在圆上，点在直线上，作出图像，利用数形结合即可得解. 【详解】，可以看作点与点连线的斜率，点在圆上，点在直线上，结合图形分析可得，当过点作圆的切线，此时两条切线的斜率分别是的最大值和最小值.圆心与点所在直线的夹角均为，两条切线的倾斜角分别为，，故所求直线的斜率的范围为． 故选D. 【点睛】本题考查了数形结合思想解决求范围问题，经问题转化为直线与圆位置关系问题是解题的关键，属于难题. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ） A. 的面积为 B. C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接求的面积可判定A，连接交于G，根据条件证平面即可判定B，判定的夹角是否为直角可判定C，利用棱锥的体积公式可判定D. 【详解】 对于A，易知，故A正确； 对于B，连接交于G，根据正方形的性质易知， 所以有， 又平面，所以平面， 平面，所以，故B正确； 对于C，由上可知为平面与平面的夹角， 易知，则不垂直，故C错误； 对于D，由题意可知两两垂直， 则，故D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为 C. 当时， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】写出圆的方程，利用给定点求出，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可逐个选项判断． 【详解】抛物线的焦点为，圆方程为， 对于A，由点在圆上，得，而，则，A正确； 抛物线的焦点为， 设直线方程为， 由对称性不妨令点在第一象限， 由，得，则， 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，由选项B得点，直线斜率，即， 则，而，因此，C正确； 对于D，， 又 ，且圆的弦， 因此不一定小于，D错误． 11. 已知数列满足，定义：集合，使得，并记该集合的元素个数为，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在数列，其中有一项能使得且 D. 若任取数列的两项，恰好是元素的概率大于，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由集合新定义，结合等差、等比数列性质及古典概率概率计算公式，逐个判断即可. 【详解】A项：，则，故错误； B项：，则，故正确； C项：如，则，即且，故正确； D项：注意到，由于， 所以至多存在一个使得，且， 对于其余的和中，至多只有一个属于，且， 则至少需剔除（）个元素， 所以， 又，解得，故正确． 故选：BCD 三、填空题（本大题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得， 所以，故． 13. 已知函数()满足：．若函数在区间上单调，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】可利用辅助角公式将化为的形式，结合最大值点的性质求出，确定的表达式，因为，结合正弦型函数的对称性，进而求出的表达式，最后计算. 【详解】因为，由辅助角公式得， 其中，因为，则， 则，所以，易知以为对称中心， 根据题意函数在区间上单调，且， 则， 所以. 14. 已知四面体中，，，空间中的动点满足，则动点的轨迹截四面体所得截面的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥放入长方体中，根据对角线长度计算长宽高，再利用坐标计算点的轨迹，从而得出截面为平行四边形，再利用向量计算夹角，最后利用三角形的面积公式计算. 【详解】由于三棱锥对棱相等，把它放到长方体中，如图， 设长方体的长宽高分别为， 则有， 以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设点，因， 所以 ，解得. 则所求截面为四面体的四条棱的中点连成的四边形， 因为，所以四边形为平行四边形， 因为，， 所以， 所以， 因为， 所以平行四边形的面积为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）正弦定理边化角，结合辅助角公式即可求解； （2）由（1）知，结合，求出，利用三角形面积公式及正弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，,故，即，解得， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以，， 即，， 所以，所以或， 又， 所以，，或， 所以的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． （1）当时，求证：平面； （2）已知平面平面，当二面角的大小为时，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理证明； （2）法1，由题易得平面，，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解；法2，作于点于点，即得，运算得解. 【小问1详解】 由条件得，是的中点，取的中点，连接，，（如图1）， 则， 在菱形中，为的中点，所以， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 由为的中点，则， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （方法一）底面菱形，，所以为正三角形，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图2）， 则， 设，其中，则， ， 设平面的法向量为，所以， 即，取，可得， 又平面即平面的法向量为， 由二面角的大小为，则， 即，化简得， 又，所以，即. （方法二）作于点于点，连（如图3）， 依题意，平面， 故平面，从而，故， 设，则， 而，故， 又，故，解得，即. 17. 已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. （1）求的方程； （2）若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 【答案】（1）选择条件①和③和选择条件②和③时，的方程，选择条件①和②时，C存在且不唯一 （2）或 【解析】 【分析】（1）选择条件①和③：根据双曲线的离心率公式和两点间距离公式进行求解即可； 选择条件②和③：根据双曲线的渐近线方程和两点间距离公式进行求解即可； 选择条件①和②：根据双曲线的离心率公式和双曲线的渐近线方程进行求解判断即可. （2）方法一：根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式进行求解即可； 方法二：设出直线方程与双曲线联立，利用三角形面积公式，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 选择条件①和③： 因为C的离心率为2，点A到C的右焦点的距离为1，所以 解得 又因为，所以， 所以C的方程为. 选择条件②和③： 因为C的渐近线方程为，点A到C的右焦点的距离为1， 所以由 可得 所以C的方程为. 选择条件①和②： 因为的离心率为2， 所以， 所以的渐近线方程为， 由①能推出②，所以C存在但是不唯一，不符合题意； 综上所述：选择条件①和③和选择条件②和③时，的方程，选择条件①和②时，C存在且不唯一. 【小问2详解】 由（1）知，点A坐标为， 又由可得直线的方程为，且. 设点M到直线的距离为d， 因为面积为3，所以，所以. 设过点M且与直线平行的直线为n：. 则n与直线的距离为，故， 解得或， 所以直线n方程为或， 直线与直线关于原点中心对称， 与双曲线左支有两个交点，不合题意，舍去. 由得或 故点M坐标为或， 当M坐标为时，点，所以直线的方程为， 当M坐标为时，点，直线的方程为， 所以直线的方程为或. （方法二）由（1）知，点A坐标为，且点在C上. 当直线斜率不存在时，，面积为3，直线的方程为，符合题意. 当直线斜率存在时，设其方程为. 由得， 设， 则，， 故， 又因为A到直线的距离， 故面积. 所以，解得，或， 因为该双曲线的渐近线方程为， 所以，， 因此此时直线不与双曲线的右支相交， 因为， 所以此时直线与双曲线的右支相交， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 18. 由个小正方形构成的长方形网格有行和列，每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止． （1）第一行中的个小球颜色互不相同，其余行都由这个小球以不同的顺序组成，如果要使任意两行的顺序都不相同，求的最大值； （2）长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为，放黑球的概率为． （ⅰ）若，记在每列都有黑球的条件下，含白球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望； （ⅱ）设事件“不是每一列都有黑球”，求，并证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用全排列知识解决. （2）（ⅰ）确定的取值，再根据条件概率的概率公式逐一求解，最后利用期望公式即可； （ⅱ）利用对立事件求出，再记“每行都至少有一个白球”为事件，求出，根据可证明. 【小问1详解】 将个颜色互不相同的小球全排列，共有种排法， 故的最大值为. 【小问2详解】 （ⅰ）的所有可能取值为， 记“含白球的行数为”为事件，记“每列都有黑球”为事件， 则， ， 故的分布列为 数学期望为. （ⅱ）因为每一列都至少有一个黑球的概率为， 则不是每一列都有黑球的概率为， 记“每行都至少有一个白球”为事件，所以， 因为，所以，即， 故. 19. 已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）设． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增. （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性和函数导数之间的关系，求出函数导数，根据参数的范围，判断导函数的正负，进而判断函数单调区间； （2）（i）根据函数单调性，构造不等式，再对参数的范围进行分类讨论，进而通过不等式说明命题成立即可； （ii）通过不等式，以及累加法和错位相减求和法，证明不等式即可. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为，对函数求导得 情形一：当时，令，解得 ，单调递减，，单调递增； 情形二：当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知：当时， 得到， 整理可得 ① 情形一：当中有一个大于或等于1， 此时显然成立； 情形二：当时， 由①式可知，令， 则有，再代入①式可得， 同理可得，则有， 综上所述：. （ⅱ）由（1）的结论可知：，变形为②， 令，代入②式得：， 则有 ， 当时，有 ， 于是 . 【点睛】本题考查了利用导数求含参函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，考查了分类讨论思想及放缩思想，有一定的难度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中2026届高三（下）3月阶段考试 数 学 考试时长： 120 分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知复数是实数，则（ ） A. 0 B. －1 C. 2 D. －2 3. 养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速．如图为某小型养鸡场2017—2023年每年养鸡数量（单位：百只）的统计图： 则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是（ ） A. 45 B. 60 C. 80 D. 85 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 6. 展开式中的常数项是（ ） A. 352 B. C. 1120 D. 7. 传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3） A. 105 B. 107 C. 1012 D. 1015 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ） A. 的面积为 B. C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为 10. 已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为 C. 当时， D. 11. 已知数列满足，定义：集合，使得，并记该集合的元素个数为，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在数列，其中有一项能使得且 D. 若任取数列的两项，恰好是元素的概率大于，则 三、填空题（本大题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______． 13. 已知函数()满足：．若函数在区间上单调，且，则______． 14. 已知四面体中，，，空间中的动点满足，则动点的轨迹截四面体所得截面的面积为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． （1）当时，求证：平面； （2）已知平面平面，当二面角的大小为时，求． 17. 已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. （1）求方程； （2）若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 18. 由个小正方形构成的长方形网格有行和列，每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止． （1）第一行中的个小球颜色互不相同，其余行都由这个小球以不同的顺序组成，如果要使任意两行的顺序都不相同，求的最大值； （2）长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为，放黑球的概率为． （ⅰ）若，记在每列都有黑球的条件下，含白球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望； （ⅱ）设事件“不是每一列都有黑球”，求，并证明：． 19. 已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）设． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $