精品解析：广东省深圳市光明区实验学校（集团）2024-2025学年下 学期三月素养提升九年级数学试题

深圳市光明区实验学校（集团）2024-2025学年第二学期 三月素养提升九年级数学试题 本试卷共6页，20题，满分100分，考试用时90分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案（作图题除外）；不准使用涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B.   C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 如图，直线与交于点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解平行线分线段成比例定理是解答关键． 根据平行线分线段成比例定理易得到，，进而得到即可求解． 【详解】解：，， ， ． ，， ， ， ． 故选：D． 3. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的性质解答即可． 【详解】∵点，与C关于原点对称，且位似比为， ∴的坐标为 即 故选：A． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的有关知识是解题的关键． 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即， 故选：B． 5. 如图，四边形是内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的内接四边形对角互补得到，根据圆周角定理即可得到的度数． 本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 6. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，不等式的应用，先根据图象确定，再根据阻力和阻力臂的关系得出不等关系，求出解集即可． 【详解】根据题意，得 ， 即， 解得． 故选：D． 7. 一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面，此时反射光线与折射光线夹角恰为，直线为法线，、、三点共线，若水深为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再利用平角定义可得，从而可得，进而可得，再利用对顶角相等可得，从而可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 8. 如图中，，D在上，且，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作交于点F，过点A作交于点G，根据题意证明出，得到，然后由等腰三角形三线合一性质得到，，然后得到，设，则，根据勾股定理和表示出，进而得到，，然后证明出，得到，代入得到，然后在中利用勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作交于点F，过点A作交于点G， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线，用未知数表示出各边． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，提公因式后利用平方差公式因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握概率公式．利用频率估计概率，由概率列方程求解即可． 【详解】解：由大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，可得摸到蓝球的概率为， 解得， 经检验，是原方程的解， 因此的值最可能是． 故答案为：． 11. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴； 故答案为3． 12. 如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，坐标与几何长度之间的转化是解题的关键． 设，则．设，则，求出，根据，求出，再根据直线 的斜率即可求得结果． 【详解】解：设，则． 设，则， ， ∴， ∵， ∴， 那么直线 的比例系数可表示为 或， ∴ 变形得． 又， ∴． 13. 如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点A作交于点E，交于点F，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明，得到，，设的长为，在中，，，，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是长方形，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵，，， ∴， ∴，， 设的长为，则，，， ∴， 在中，，，， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、实数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值的性质、二次根式的性质，进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 则， ． （2）解：原式 ． 15. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会战实况并进行团史学习，现随机抽取部分学生进行知识竞赛并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示）期中计为“较差”，计为“一般”，计为“良好”计为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 根据统计图提供信息回答如下问题： （1） ___________， ___________，并将直方图补充完整； （2）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握达到优秀的人数； （3）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上四人中随机抽取两人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或树状图的方法，求恰好抽取两名女生参加知识竞赛的概率； 【答案】（1），，见解析 （2）192人 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出抽取的总人数，再用“较差”对应的人数除以总人数，可得到y的值，再求出“一般”对应的人数，即可求解； （2）用1200乘以达到优秀的人数所占的百分比，即可求解； （3）根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好抽取两名女生参加知识竞赛的有6种，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： 抽取的总人数为人， ∴， “一般”对应的人数为人， ∴； 补全直方图，如下图： 故答案为：，； 【小问2详解】 解：人， 答：该校学生对团史掌握达到优秀的人数为192人； 【小问3详解】 解：根据题意，画出树状图，如下图： 一共有12种等可能结果，其中恰好抽取两名女生参加知识竞赛的有6种， ∴恰好抽取两名女生参加知识竞赛的概率为． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，利用树状图或列表法求概率，正确读懂统计图和用列表法或树状图法求概率是解题的关键． 16. 图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺；在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心O． （2）在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． （3）在图③中，正方形网格中的圆经过格点A、B，画出该圆的圆心O． （4）如图④，是半圆直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）根据轴对称的性质和平行四边形的性质找出格点、或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得； （3）借助正方形网格，网格中通过特殊点连线可找到弦的垂直平分线的交点，即圆心，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O，，得到和均为圆的直径，点O为该圆的圆心； （4）取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求． 【小问2详解】 解：如图，点即为所求（画出一个即可）． 【小问3详解】 解：如图，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O， 【小问4详解】 解：如图，取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G，则即为所求． 证明：∵直径， , ∴和为的高， ∵三角形的三条高相交于一点， ∴为边上的高． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作三角形边上的高以及找圆的圆心，及轴对称的性质，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质和几何图形的基本特征，并巧妙利用网格或半圆等条件来完成作图． 17. 加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶单价； （2）该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】（1）甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个 （2）最少需要购买甲种分类垃圾桶个 【解析】 【分析】（1）设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，根据“用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列出分式方程，求解即可； （2）设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，根据“用不超过元的资金”列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个， 由题意可知：， 解得， 经检验是所列方程的根且符合题意 （元/个） 答：甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个； 【小问2详解】 解：设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个， 由题意可知：， 解得， 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 18. 如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P． （1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠P＝，AD＝6，求⊙O的半径． 【答案】（1）PC是⊙O的切线，见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可． （2）先利用锐角三角函数求出PD，进而求出AP，再由OC∥AD，推出，由此即可计算． 【详解】解：（1）结论：PC是⊙O的切线． 理由：连接OC．如图1， ∵AC平分∠EAB， ∴∠EAC=∠CAB， 又∵OA=OC， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠EAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∵AD⊥PD， ∴∠OCP=∠D=90°， ∴PC是⊙O的切线． （2）在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=， ∴PD=，AP=10， 设半径为r， ∵OC∥AD， ∴，即， 解得r=， 故半径为． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），喷出水的最大射程为 （2）点B的坐标为 （3） 【解析】 【分析】易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； 设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得的分析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到的分析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置． 【小问1详解】 解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数分析式为：， 当时，， 解得：，舍去， 喷出水的最大射程为． 【小问2详解】 解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，舍去， ， 把代入，得： 解得：，舍去， 点B的坐标为． 【小问3详解】 解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，不合题意，舍去， ， ， 的取值范围是 20. 我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形． （1）定义应用：如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为___________； （2）性质探索：小思同学通过对2倍角三角形的研究，发现： 在中，如果，那么． 下面是小思同学的证明方法： 已知：如图1，在中，，． 求证：． 证明：如图1，延长到，使得，连接． ∴， ∵，∴， ∵，∴， 又∴ ∴∴∴ 根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明： 已知：如图2，在中，． 求证：． （3）性质应用 已知：如图3，在中，，，，则___________； （4）拓展应用 已知：如图4，在中，，，，求的长． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分底角度数是顶角的2倍和顶角的度数是底角的2倍，结合三角形内角和定理，进行求解即可； （2）作平分，交于，易得：，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）根据（2）的结论，进行求解即可； （4）如图，作，交于点，易证是2倍角三角形．得到，证明，推出进而求出的长，设，则，根据，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：如果一个等腰三角形是2倍角三角形， ①底角度数是顶角的2倍，设顶角度数为，则两个底角的度数均为， ∴， 解得：， ∴底角度数为：； ②顶角的度数是底角的2倍，设底角度数为，则：顶角度数为， ∴， 解得：，即：底角度数为：； 综上，底角的度数为：或； 故答案为：或． 【小问2详解】 证明：如图，作平分，交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 即：， ∴， 解得或（舍掉）． 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图，作，交于点， 则， ∴是2倍角三角形． ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， 设，则， ∴ 解得：或 不合题意舍去）， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．理解并掌握2倍角三角形的定义，证明三角形相似，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳市光明区实验学校（集团）2024-2025学年第二学期 三月素养提升九年级数学试题 本试卷共6页，20题，满分100分，考试用时90分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案（作图题除外）；不准使用涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B.   C. D. 2. 如图，直线与交于点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（ ） A. B. C. D. 7. 一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面，此时反射光线与折射光线夹角恰为，直线为法线，、、三点共线，若水深为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图中，，D在上，且，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9 因式分解：______． 10. 不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是______个． 11. 已知a是方程一个根，则代数式的值为______． 12. 如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为____________． 13. 如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点A作交于点E，交于点F，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）解方程：； （2）计算： 15. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会战实况并进行团史学习，现随机抽取部分学生进行知识竞赛并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示）期中计为“较差”，计为“一般”，计为“良好”计为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 根据统计图提供信息回答如下问题： （1） ___________， ___________，并将直方图补充完整； （2）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握达到优秀的人数； （3）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上四人中随机抽取两人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或树状图的方法，求恰好抽取两名女生参加知识竞赛的概率； 16. 图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺；在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心O． （2）在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． （3）在图③中，正方形网格中的圆经过格点A、B，画出该圆的圆心O． （4）如图④，是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高． 17. 加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 18. 如图，已知AB为⊙O直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P． （1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠P＝，AD＝6，求⊙O的半径． 19. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 20. 我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形． （1）定义应用：如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为___________； （2）性质探索：小思同学通过对2倍角三角形的研究，发现： 在中，如果，那么． 下面是小思同学的证明方法： 已知：如图1，在中，，． 求证：． 证明：如图1，延长到，使得，连接． ∴， ∵，∴， ∵，∴， 又∴ ∴∴∴ 根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明： 已知：如图2，在中，． 求证：． （3）性质应用 已知：如图3，中，，，，则___________； （4）拓展应用 已知：如图4，在中，，，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$