精品解析：甘肃武威市凉州区武威第二十中学2025-2026学年八年级下学期3月阶段检测

2025-2026学年第二学期八年级数学3月学情检测 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义要求被开方数非负，分式的分母不能为0，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式要有意义，需满足所有二次根式的被开方数非负，且分母不为0， ∴可得不等式组 化简得 ∴两个不等式解集的公共部分为． 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式． 对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． 综上，答案选C． 3. 已知实数p，q在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴判断p、q的正负性以及、的正负性，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子即可． 【详解】由数轴可知，p在原点左侧，q在原点右侧， ∴，， ∵点p离原点的距离比点q离原点的距离远，即， 对于：∵p是负数，q是正数， ∴， 对于：∵p是负数，q是正数，且， 根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号， ∴， ∴原式． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的乘方、乘除、加减运算法则，计算各选项即可判断正确结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，，该选项不符合题意． 5. 在边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】剩余部分面积等于正方形面积减去长方形面积，利用正方形、长方形面积公式结合完全平方公式，二次根式的运算法则计算即可． 【详解】∵ 剩余部分面积 = 正方形面积 - 长方形面积 正方形边长为 ∴ 正方形面积 ∵ 长方形长为，宽为 ∴ 长方形面积 ∴ 剩余部分面积． 6. 若最简二次根式与能够合并，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据能合并的最简二次根式是同类二次根式，且同类二次根式被开方数相同，求出m的值，再代入式子化简计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并，且， ∴根据同类二次根式的定义，得， 解得， 将代入所求式子，得：． 7. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴与无理数的几何意义，解题的关键是利用勾股定理计算出线段长度，结合数轴确定点表示的实数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和； 由勾股定理得，斜边长为； 数轴上点在原点右侧，且到原点的距离为， 则点表示的实数为； 故选：A． 8. 如图，在中，，，，，平分交于，于，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再证明得到，所以，设，则，然后在中利用勾股定理得到，从而解方程得到的长． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即． 9. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 10. 据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（ ） A. 三角形内角和定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 勾股定理 D. 直角三角形两锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义的条件为：被开方数是非负数，据此列不等式得， 移项得， 故答案为：． 12. 已知，，则______． 【答案】25 【解析】 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值，最后代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 13. 若，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式对多项式进行变形，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入中， 原式． 14. 实数x，y满足，则的平方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，求出x的值，代入求出y的值，再计算，最后求解的平方根即可． 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数非负， ∴， 解得， 将代入，得： ， ∴， ∴的平方根为． 15. 若一个等腰三角形的两条边长，满足，则这个三角形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意，求得，，分情况讨论①当为等腰三角形的腰时，②当为等腰三角形的腰时，再利用三角形三边关系进行验证，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长分别为：，，， ∵，， ∴， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长分别为：，，， ∵， ∴满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 16. 如图所示，一个长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移________m． 【答案】## 【解析】 【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两个直角三角形水平方向的直角边即可． 【详解】解：由题意可得， 在中，根据勾股定理知，， 在中，根据勾股定理知，， 所以． 17. 已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，，且 ∴，，， 解得，，． ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， ∴的面积为． 18. 如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘方，零次幂，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出乘方，绝对值，零次幂，再运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘除法，最后运算减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，实数a、b在数轴上的位置，化简． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴可得，，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图可知，，，则， 原式 ． 21. 如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 【答案】，的面积为48 【解析】 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”求出，进而根据勾股定理即可求出，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，是的高， ∴，， ∴在中，， ∴． 22. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】（1）2 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∴． 23. 甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． （1）甲同学所做的点表示的数是_______； （2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】（1） （2） 点表示的数是． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如下图所示，在中，，，， ， 24. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． （1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1） 解：为从村庄到河边最近的路． 证明：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为从村庄到河边最近的路； （2）1690米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明，得解，即可得到为从村庄到河边最近的路； （2）设米，得到米，米，根据勾股定理列出方程，，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设米， ∵， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， 解得， ∴的长为1690米． 25. 【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则___________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图①，在中，，求的面积． 【答案】（1）； （2）由勾股定理，得， ， 故， 解得． 类比应用：24 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）设，由表示出； （2）分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于x的方程，求出方程的解得到的值； 类比应用：过点作交的延长线于点，利用勾股定理解得，即可求出的面积． 【详解】（1）解：设， 故答案为：． （2）略 类比应用： 如图，过点作交的延长线于点， 则， 即， 解得， 所以， 所以． 26. 下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． …第一步 …第二步 ．…第三步 任务： （1）原式中的二次根式：，，，，，是最简二次根式的是_____________； （2）从第_____________步开始出错，错误的原因是_____________________________； （3）请写出正确的计算过程． 【答案】（1）， （2）一；去括号时，括号内的第二项没有改变符号 （3） 原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）根据去括号法则分析即可； （3）根据去括号的依据解答即可． 【小问1详解】 解： ，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 故答案为：一；去括号时，括号内的第二项没有改变符号； 【小问3详解】 略 27. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：_________，_________，_________； （2）已知：，求的值． （3）计算：． 【答案】（1），， （2）36 （3）2025 【解析】 【分析】（1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； ； 【小问2详解】 解： ； ； ∴ ； 【小问3详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学3月学情检测 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数p，q在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分图形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若最简二次根式与能够合并，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，平分交于，于，则为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）． A. B. C. D. 10. 据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（ ） A. 三角形内角和定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 勾股定理 D. 直角三角形两锐角互余 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是____． 12. 已知，，则______． 13. 若，则的值为 _____． 14. 实数x，y满足，则的平方根为______． 15. 若一个等腰三角形的两条边长，满足，则这个三角形的周长为________． 16. 如图所示，一个长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移________m． 17. 已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 18. 如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，实数a、b在数轴上的位置，化简． 21. 如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 22. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 23. 甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． （1）甲同学所做的点表示的数是_______； （2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 24. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． （1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 25. 【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则___________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图①，在中，，求的面积． 26. 下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． …第一步 …第二步 ．…第三步 任务： （1）原式中的二次根式：，，，，，是最简二次根式的是_____________； （2）从第_____________步开始出错，错误的原因是_____________________________； （3）请写出正确的计算过程． 27. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：_________，_________，_________； （2）已知：，求的值． （3）计算：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $