10.1 二元一次方程组的概念&10.2 消元解二元次方程组--【无敌战卷】2025-2026学年七年级下册数学跟踪课时卷（人教版·新教材）

第十章二元一次方程组 10.1二元一次方程组的概念 一、选择题 1.下列方程中，是二元一次方程的是 A.xy+3=0 B.x+y2=0 C.x+6=0 D.x-4y=0 x=3, 2.如果 是关于x,y的二元一次方程mx十7=4y的一个解，那么m的值为 y=2 A吉 c n-号 3.下列各方程组中，属于二元一次方程组的是 ( 3x+2y=7, 2x+y=1, |y=2x, 5+y=1 A. B. C. D.x32 (xy=5 x+z=2 3x+4y=2 x+2y=3 4.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只燕， 共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只 x两，燕每只y两，则可列出方程组为 () 5x+6y=16, 5x+6y=16, 6.x+5y=16, 6x+5y=16, A. B. C. D. 5x+y=6y+x (4x+y=5y+x 6x+y=5y+x 5x+y=4y+x 二、填空题 5.若(k十1)x十5y1=一3是关于x,y的二元一次方程，则k的值为 x=2, 6.若 y=-1 是二元一次方程m.x十ny=一2的一个解，则2m一n一6的值是 |x-(m-1)y=5, 7.若 z Iml+(n-3)zy=3 是关于x,y的二元一次方程组，则m”= 8.若关于x,y的方程组 x十y=a, x=5, (x-2)+y+3=a, 的解 则方程组 的解为 3x+5y=by=6, 3(x-2)+5(y+3)=b 三、解答题 9.已知甲种物品每个重4kg,乙种物品每个重7kg,现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重 76 kg. (1)列出关于x,y的二元一次方程 数学七年级 (2)若x=12,则y= (3)若乙种物品有8个，则甲种物品有个. /ax+5y=15, x=一3， 10.解方程组 时，小卢由于看错了系数a,结果得到的解为 小龙由于看错 2x-by=-1 y=-1, x=5, 了系数b,结果得到的解为求a+b的值. y=4, 11.定义：若点P(m,n)满足2m一n=1,则称点P为二元一次方程2x一y=1的坐标点. (1)若点A(3,a)为方程2x一y=1的坐标点，则a= (2)若B(b十c,b+5)为方程2x一y=1的坐标点，且b,c为正整数，求b,c的值. 12.定义：若有序数对(x,y)满足二元一次方程ax十by=c(a,b为不等于0的常数)，则称(x,y)为 二元一次方程ax十by=c的数对解.例如：有序数对（一1,3）满足3x一y=一6，则称（一1,3）为 3x一y=一6的数对解. (1)下列有序数对是二元一次方程2x十y=4的数对解的是 .(填序号) ①(9，-3，②(-1,6)，③1,2). (2)若有序数对(p十q,p十5)为方程2x一y=1的一个数对解，且p,q为正整数，求p,q 的值 3 下：人教版) 10.2消元—解二元一次方程组 10.2.1代人消元法 一、选择题 x+n=6, 1.由方程组 可得出x与y的关系式是 y-3=n A.x+y=9 B.x+y=3 C.x+y=-3 D.x十y=-9 5 2.方程组 3x一y=2'的解是 x+6y=4 x=2, x=1, x=-1, 11 x A. 1 1 C 1 21 y=-4 y=2 y=-2 y=4 a b 3.对于任意有理数a,b,d,我们规定 =ad一bc,已知x,y同时满足 =5 c d 5y =1,则满足条件的一组x和y的值是 -3x A.=2, |x=-2, |x=-2, x=2, B. C. D. y=-3 y=3 y=-3 y=3 4.如图，足球的表面是由32块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比 白色皮块数的一半多2块，则白色皮块的块数是 () A.18 B.20 C.22 D.24 第4题 二、填空题 5.若实数m,n满足|m-n-5|十(2m十n一4)2=0，则3m十n= 6.已知●+◇=30，●十●+●+◇+◇=72.那么◇= 7.已知关于x,y的方程组 2x+5y=-6,bx+ay=-80, bx-ay=2 和 3x-5y=16 方程组有相同的解，那么(a十b)22 的值为 8.《九章算术》第八卷方程第十问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太 半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱 的一半，那么甲共有钱50文；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文.甲、乙各 带了多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 3 数学七年级 三、选择题 x十1=y+1 9.解方程组： 2 3 2(x-y)=8-3y. 10.已知m是一个非零常数，且关于x,y的方程组 2x一m=y,有解，求二的值。 5x+2y=4m 11.先阅读材料，然后解方程组. 材料：解方程组 x+y=4,① 时，先将(x+y)看作一个整体，将①整体代入人②，得3×4+ 3(x+y)+y=14② y=14,解得)=2.把y=2代人①，得x=2,所以区=2， 这种解法称为“整体代入法”，请用这 y=2, 2x-y-1=0,① 种方法解方程组 4(2x-y)-y=6.② 5x+6y=1,① 12.定义：在解方程组 时，我们可以先①+②，得x+y=1,再②一①，得x一y=9, 6x+5y=10② x十y=1, 最后重新组成方程组 这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮 x-y=9, 换对称解法. |7x+8y=14, (1)用轮换对称解法解方程组 解得 8x+7y=1, (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为32c,小红所搭的“小树”高度为 31cm,设每块A型积木的高为xcm,每块B型积木的高为ycm,求x与y的值（用轮换 对称解法求解) B B ® B A A A 因 赛强小性量 第12题 下：人教版) 10.2.2加减消元法 一、选择题 x+2y=1, 1.已知关于x,y的二元一次方程组 则x一y的值为 2x+y=4, A.-2 B.2 C.-3 D.3 4x+3y=2,① 2.用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中消元正确的是 2x-5y=7② A.①×5+② B.①+②×3 C.①-②×2 D.①+②×2 x+my=3,① 3.在解关于x,y的二元一次方程组 时，若①一②可直接消去未知数y,则m和n 2x-ny=-6② 满足的条件是 () A.m=n B.mn=1 C.m+n=0 D.m+n=1 |6x+5y=-5,① 4.小杰在用“加减消元法”解二元一次方程组 时，利用①十②×a消去y,则a的 3x-y=7② 值是 ( A.-2 B.2 C.-5 D.5 二、填空题 5.已知关于x,y的二元一次方程组 十2)=m'的解满足x-y=3,则m的值为 2x+y=4 6.定义运算“★”，规定x★y=ax2+by,其中a,b为常数，且1★2=5,2★1=6，则2★3= 7.“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组 @1x十by=61‘的解是下=3则方程组 a2x+b2y=c2 y=2, 13a1(x十1)-2b1y=5c1'的解为 3a2(x+1)-2b2y=5c2 8.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次 可以运货26吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨 三、解答题 2x+3y=9, 9.解方程组： 2x+y=1. 数学七年级 10.解方程组： x-3y=1, 2x+3y=5. x+1_y+1 11.解方程组：231 2(x-y)=8-3y. 12.规定：形如关于x,y的方程mx十ky=b与kx十my=b的两个方程互为共轭二元一次方程， 其中k≠；由这两个方程组成的方程组 (mx+ky=b, 叫作共轭方程组. kx+my=b (1)方程6x+y=2的共轭二元一次方程是 (2)若关于x,y的方程组 z+(1-a)y=b十2：为共轭方程组，则a一 (2a-1)x+y=4-b ,b= (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 4x+5y=9,① 解共轭方程组 时，可以采用下面的解法： 5.x+4y=9② ②+①，得9x+9y=18,即x+y=2③. ③×4，得4x+4y=8④. ①一④，得y=1.将y=1代入③，得x=1. 所以原方程组的解是 x=1,① y=1.② 用上述方法求共轭方程组 2023x+2024y=8094:的解. 2024x+2023y=8094 下：人教版)动，经过x秒后，M点表示的数为4x一9√2，N点表示的数为7√2一3x,即OM=|4x一9√2|，ON= |7√2-3x|.,原点O恰为线段MN的三等分点，.OM=2ON或2OM=ON且点O在线段MN上，即 M.N表示的数异号当OM=20N时则有4x-92=2引72-3x,解得x-或x=5,经检 验.x=23,2不符合题意，金去，正三52符合题意；当20M=0N时，则有242-921=72-3x1,解 10 得x-气成红-2经橙验-2 11 5不符合题意，舍去，-1符合愿意，综上所述，当：-5 2 或工=12时，原点O恰为线段MN的三等分点. 5 (3)根据题意，因为M,N,F三点中点M的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：①当∠FMN= 90时，点M与点E重合，此时=14E,解得4=72，②当∠MFN=90时，：∠FEN=90,EF EN=2√2，∴.∠FNE=45°，.∠EFM=45°.，∠FEM=90°，∴.∠FME=45°=∠EFM,∴.EM=EF= 2√2，∴.4t=12√2，解得t=3√2；③如图，连接FN,'EFGH是长方形，∴.∠FEN=90°.EF=EN= 22,d∠ENM=45或135，∠FNM≠90.综上所述，存在这样的t,t的值为或3② R.G F G 、, AMD 0 M5V2 N H 第22题 第十章二元一次方程组 10.1二元一次方程组的概念 -、1.D2.A3.C4.B x=7, 二、5.16.-87.-18. y=3 三、9.解：(1)4x+7y=76 (2)4【解析：当x=12时，48+7y=76,解得y=4.】 (3)5【解析：当y=8时，4x十56=76，解得x=5,即甲种物品有5个.】 10.解：根据题意，将x=一3，y=一1代入2x-by=-1,得-6十b=一1，即b=5.将x=5,y=4代入ax十 5y=15,得5a+20=15,即a=-1,.a十b=4. 11.解：(1)5【解析：将点A(3,a)代入方程2x-y=1,得2×3-a=1,解得a=5.】 b=2,b=4, (2)由题意得2(b十c)-(b+5)=1,b十2c=6.:b,c为正整数，.或 c=2c=1. 7 数学七年级 12.解：(1)②③ 【解答：将（分，-3）代入2x十y=4得，2×号-3=-2≠4，故①不是二元一次方程2x十 y=4的数对解；将（一1,6）代入2x十y=4得，2×（一1）+6=4，故②是二元一次方程2x+y=4的数对 解；将(1,2)代入2x十y=4得，2×1十2=4，故③是二元一次方程2x十y=4的数对解.综上所述，是二元 一次方程2x+y=4的数对解的是②③.】 (2),有序数对(p+q,p+5)为方程2x-y=1的一个数对解，∴.2(p十q)-(p+5)=1,整理得p+2q= p=4,p=2, 6.p,q为正整数， 或{ q=1q=2. 10.2消元一解二元一次方程组 10.2.1代人消元法 -、1.A2.B3.A4.B 1 z+2y=50, 二、5.76.187.18. 2 x+y=50 3x-2y=-1, 三、9.解：将原方程组化简整理得 2x+y=8,② 将①+②×2，得3x十4x=-1+16,7x=15,解得x=只把 15 x9代人@，得2×号+y=8,解得y-9原方程的解 15 x7 6 y=7 |2x-m=y,① 10.解： 由①得，m=2x-y③，将③代入②，得x=2y,乙=2. 5x+2y=4m,② y 2x-y-1=0,① 11.解： 整理①，得2x-y=1③.将③整体代入②，得4×1一y=6,解得y=一2.把y= 4(2x-y)-y=6,② -2代入③，得2x十2-1，解得工=一弓∴原方程组的解为 x=- 2 y=-2. x=-6, 7x+8y=14,① 12.解：(1) 【解析： 将①+②，得15x+15y=15.两边同时除以15，得x+y=1③.将 y=7 8x+7y=1,② ①-②，得-x十y=13④.将③+④，得2y=14,解得y=7.把y=7代入③，得x+7=1,解得x=-6, x=一6， 原方程组的解为 】 y=7. 3x+4y=32,① (2)由题意得 将①+②，得7x十7y=63.两边同时除以7，得x十y=9③.将②一①，得 4x+3y=31,② x-y=-1④.将③+④，得2x=8,解得x=4.将x=4代入③，得4十y=9,解得y=5..x=4,y=5. 6 下：人教版) 10.2.2加减消元法 -、1.D2.C3.C4.D x=4, 二、5.16.107. 8.24 y=-5 2x+3y=9,① -@，得2y=8y=4将y=4代人②中，得x=一号 x= 三、9.解： 21 2x+y=1,② y=4 x-3y=1,① 10.解： 2x+3y=5.② 0+②，得3x=6,解得x=2.把x=2代入①，得2-3y=1,解得y=号原方程组 x=2, 的解为 1 y=3 3x-2y=-1,① 11.解：将原方程组化简整理得 ①+②×2，得3x+4x=二1+16,7x=15,解得x-号.把 2x+y=8.② 15 2-5代人@，得2×5+y=8,解得y-25原方程的解为 15 26 7， 26 y= 71 12.解：(1)x+6y=2 1【解析：由题意可得1-a=2a-16十2=4-6，解得a=号6=1.】 2023.x+2024y=8094,① (3) ①+②，得4047x+4047y=16188,即x+y=4③.③×2023，得 2024x+2023y=8094,② x=2, 2023x十2023y=8092④.①-④，得y=2.把y=2代入③，得x=2.. y=2. 10.3实际问题与二元一次方程组 、1.C2.D3.C4.A5.B6.C7.D8.D 二、9.2310.1211.0.612.513.3,1 三、14.解：设甲种商品的成本是x元，乙种商品的成本是y元.根据题意列二元一次方程组可得 x+y=200, 把x=200-y代入第二个方程，得y=70.将x=70 (1+30%)x90%+(1+20%)y90%-200=27.7. 7 数学七年级 x=130, 代入第一个方程，得x=130.所以 答：甲种商品的成本是130元，乙种商品的成本价是70元. y=70. 17a+(20-17)b+0.8×20=83, a=3.2, 15.解：(1)根据题意得 解得 答：u值为3.2，b值为4.2. 17a+(25-17)b+0.8×25=108, b=4.2. (2)根据题意得3.2×17+4.2×(30-17)+6×(32-30)+0.8×32=54.4+54.6+12+25.6=146.6（元）. 答：6月份小王家应交水费146.6元 16,解：1①(100-x-）10【解析：要买100只鸡，且小鸡每三只值-文钱，“买了(100-x-y)只 3 小鸡，买小鸡花了100一2-卫文钱.】 3 ②3x+5y+100-x-卫=100 3 x=4y+2, (2)设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有(100一x一y)只，根据题意得 解 13z+5y+100-x-y=100 3 (x=18, 得 ∴.100一x-y=78.答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只. y=4, (3)根据题意得3x+5y+1007y-10,化简得x=25-7y.当)y=0时，x=25,100-x-y=75;当 3 y=4时，x=18,100-x-y=78;当y=8时，x=11,100-x-y=81;当y=12时，x=4,100-x-y= 84;当y=16时，x=一3，舍去.故除了问题(2)中的解之外，有以下四组答案，写出其中任意两组即可， ①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只：③公鸡有8只，母 鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只. 20a+15b=585,a=18, 17.解：(1)设每只哪吒手办的进价为a元，每只敖丙手办的进价为b元， 答：每 50a+50b=1650,b=15. 只敖丙手办进价为15元，每只哪吒手办进价为18元. (2)设每只哪吒手办的售价为x元，每只敖丙手办的售价为y元.根据题意可得6x十4y=250,即3x十 2y=125,.15x十10y=5(3x十2y)=5×125=625.答：周二的销售额记录不正确，正确的销售额为 625元. 18.(1)5【解析：根据题意，得(520-100-4×20)÷68=340÷68=5（张），即他用了5张B型“优惠券”.】 x十y=5, (2)设他使用了A型x张，B型y张.根据题意列二元一次方程组可得 解得 100x+68y=404, x=2, 答：他使用了A型2张，B型3张. y=3. (3)设小温使用A型a张，B型b张，C型c张.根据题意可得三种情形：①若小温使用了A,B型优惠券， 则根据题意列二元一次方程有100a十68b=504,化简为25a十17b=126.,a,b都为整数，且a≤15，b≤ 下：人教版)