2026年中考数学尺规作图专题

2026年中考数学尺规作图专题 一、解答题 1．如图，中，． (1)用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的长． 2．如图，在一张铁皮上有一个的图案，经测量，，．在铁皮上剪下一个圆，使的三个顶点正好在这个圆上． (1)利用尺规作图找出这个圆的圆心，并画出这个圆； (2)求剪下的的半径．（参考数据：） 3．如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点M． (2)求证：． 4．如图，，是的两条弦，，连接． (1)利用尺规作图法在上求作一点，使得点到，的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，，，，请你判定四边形的形状并说明理由． 5．如图，在四边形中，，点是对角线的中点． (1)尺规作图：在线段上确定点，使得； (2)在（1）的条件下，连接并延长交于，连接、，求证：四边形是菱形． 6．如图，是矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求线段的长． 7．如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)尺规作图：在半圆上确定一点P，使得（不写作法，只保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，，若，求的度数． 8．如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 9．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作（圆心在上，的长为半径），且与所在的直线都相切．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若与的切点为，，求的长． 10．如图，四边形是平行四边形． (1)求作菱形，使点E，F分别在边和边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)过点作，垂足为点G，若，，求（1）中菱形的面积． 11．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于，与x轴、y轴分别相交于点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)点P是线段上一个动点， ①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数 的图象于点Q（保留作图痕迹，不写画法）； ②当时，求点Q的坐标． 12．如图，是的直径，过点作的切线，切点为，点为直径上方上一点，连接并延长交直线于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的平行线交于，连接，求证：是的切线． 13．如图，在中，，是的外角的平分线． (1)在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：四边形是矩形． 14．如图，四边形中，，，于点． (1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明． 15．如图，在直角三角形中，． (1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 16．如图，在中，，为斜边上的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在下方作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在射线上有一点E，满足，连接，求证：四边形是菱形． 17．已知如图所示． (1)用尺规作图法在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的作图下，若，求的长度． 18．如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． (1)过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 19．如图，与相切于点，且经过的中点． (1)利用无刻度的直尺和圆规过点作出的另外一条切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 20．已知直线与相切于点D． (1)如图1，是的直径，延长与直线交于点A，过点B作，垂足为C，交于点F，连接．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题：______，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分） (2)如图2，点P是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点Q，使得与相切（不写作法，保留作图痕迹）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学尺规作图专题》参考答案 1．(1)见详解 (2) 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：在中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴． 2．(1)图见解析 (2)剪下的的半径约为 【分析】（1）作的线段垂直平分线，交于点，再以点为圆心、长为半径画圆；则点和即为所求； （2）作的直径，连接．先求出的度数，再在中，解直角三角形即可． 【详解】（1）解：作的线段垂直平分线，交于点，再以点为圆心、长为半径画圆；则点和即为所求． （2）解：如图，作的直径，连接． 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴剪下的的半径为． 3．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题干要求作图即可； （2）由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由平行线的性质可得，从而即可得出，由圆内接四边形的性质可得，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：尺规作图如下： 步骤一：以点C为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点E，交线段（或射线）于点F； 步骤二：以点B为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点G（使得，即点G在射线上且等于步骤一中的半径）； 步骤三：以点G为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤二中所作的圆弧于点H（取与点E位于直线相反侧的交点）； 步骤四：过点B和点H作直线，则直线即为所求的过点B且平行于的直线，交的延长线于点M． 原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以． （2）证明：∵为等边三角形， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵在和中， ， ， ． 4．(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）过圆心作弦的垂线，交圆于一点即可； （2）根据圆周角定理得出，判定是等边三角形，得出，同理得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：， ， 由（1）可知，， ， 是等边三角形， ， 同理可得， ， 四边形是菱形． 5．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的垂直平分线，点M即为的垂直平分线与的交点； （2）证明得到，用对角线互相平分的四边形是平行四边形和对角线互相垂直的平行四边形是菱形，依次证明四边形是平行四边形和菱形即可． 【详解】（1）解：如图1所示，点即为所作的点； （2）解：， ． 是对角线的垂直平分线， ， 在和中 ． ． 又． 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形． 6．(1)见详解； (2)． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧即可完成作图； （2）根据线段垂直平分线的性质得，设，则，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图； （2）连接，如图， 为的中垂线， ， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ， ， ． 7．(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接，过点作交于点，点即为所求； （2）先求得，再利用圆周角定理求解即可. 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴． 8．(1)图见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据平行线的性质，得到，进而得到，等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，得到点到的距离相等，都等于的长，进而得到圆心在的角平分线上，作的角平分线交于点，再以为圆心，的长为半径画圆即可； （2）求出半径的长，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：连接，则，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 10．(1)见详解 (2)20 【分析】（1）以为圆心，以为半径画弧，交于点F；以为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，四边形即为所求． （2）根据，可求得，再用勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【详解】（1）解：如图所示：四边形即为所求． 理由：由作法可知：， 中，，即， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； （2）解： ，， ， ， ， 中，， ， ． 11．(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）将代入求出，再将点坐标代入，求出k即可； （2）①根据同位角相等，两直线平行，作即可； ②求出点B的坐标，设点，其中，则点，由，列式计算，求出t值，继而求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：依题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：①如图所示，即为所求； ②对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∵点P在线段上， ∴设点P的坐标为，其中， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， ∵点Q在反比例函数的图象上， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， 整理得：，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，， ∴点Q的坐标为． 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作图作出即可； （2）连接，由切线的性质求得，证明，再利用证明得到，据此即可证明是的切线． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）证明：连接， ∵是的切线， ∴， 由作图知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的切线． 13．(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的尺规作图与性质以及矩形的判定，同时考查了尺规作图的基本操作能力．关键是熟练运用等腰三角形的三线合一和等边对等角性质，结合三角形外角性质证得直线平行，通过平行四边形的判定完成矩形判定的过渡，尺规作图则需掌握角平分线的基本作法，将作图与几何性质结合起来． （1）先利用尺规作角平分线的方法作出的平分线，再通过尺规截取等长线段的方法在相关边上确定点． （2）先由得出，结合三角形外角性质，推出内错角相等，进而证得，再结合，根据一组对边平行且相等证出四边形是平行四边形，又由等腰三角形三线合一得出，即，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，完成证明． 【详解】（1）解：如图，①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧交于点； ③作射线交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则点，即为所求． （2）证明：∵， ∴． ∵是的外角的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 由作图可知平分， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 14．(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—作角平分线，角平分线的性质、平行线的性质、菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． (1)利用基本作图作角平分线即可； (2)由平分，则，再根据平行线的性质得，故有，然后利用菱形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图，的角平分线即为； 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别与，相交，再以两交点分别为圆心，大于这两个交点的距离的一半作弧线，相交于一点，连接点与此交点并延长，分别交于点，交于点即可； （2）解：四边形是菱形，证明如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 15．(1)图见解析； (2)的面积为． 【分析】（1）以点为圆心，小于长为半径画弧交、，再分别以该弧与、的交点为圆心画弧，连接点与两弧交点并延长交边于点，再以点为圆心，为半径作； （2）由特殊角的三角函数值可得，结合角平分线的定义、等角对等边、解直角三角形的相关计算求出、，即可求出的面积． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：，， ， 是的平分线， ， ，， 的面积为． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的作法、圆的作法、角平分线的定义、等角对等边、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状、解直角三角形的相关计算，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交、于两点，以的交点为圆心、以与交点间的距离为半径画弧，两弧交点即为，连接，即可得到． （2）由直角三角形斜边中线定理得，进而可得．由作图知，则，可证，又，结合，进而可证四边形是平行四边形，再由，可证四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：，为斜边上的中线． ， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题以直角三角形为载体，融合了尺规作图、直角三角形斜边中线性质、平行线判定与菱形判定，核心是通过等角转化推导线段平行，结合线段相等关系先证平行四边形，再由邻边相等得菱形，体现了几何证明中“转化思想”与“判定定理综合应用”的思路． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）如图所示，点即为所求． （2），， ， ，即， 解得． 18．(1)画图见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作即可：作射线，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于两点，以该两交点为圆心，大于两交点线段长的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该交点作射线交的延长线于点即可； （2）证明即可，已知公共角，由直径所对的圆周角为直角得到，是的切线得到，根据同角的余角相等，再结合，等边对等角得到，等量代换证明即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的切线． （2）证明：是的直径， ， ． 是的切线， ，即， ． ， ， ． 又， ， ， ． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查过圆外一点作圆的切线，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，三角形全等的判定与性质及弧长公式． （1）根据题意得，以点C为圆心，为半径画圆交于点两点，由与相切于点，则，根据直径所对圆周角为得，即可解答； （2）解直角三角形求出，进而求出，根据切线的性质证明，推出，    求出，再利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求作的切线； （2）解：与相切于点， ， 点为的中点， ，     ，    ， ，        与相切于点， ． 在和中，， ， ，     ； ． 20． (1) (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）问题：求的半径；利用相似三角形的判定和性质构建方程求解； （2）连接，，作的角平分线交直线l于点Q，作直线即可． 【详解】（1）解：提出问题：圆O的半径是多少? 解：连接， ∵直线与圆相切于点D， ∴， ∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 设半径为则，， ∴， 解得； （2）解：如图，直线即为所求． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $