21.2.2《平行四边形的判定》　课件　2025-2026学年人教版八年级数学下册

平行四边形的判定 1．平行四边形的定义是什么？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 1．平行四边形的定义是什么？（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 2 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 平行四边形的性质 边 角 对角线 2．平行四边形的性质有哪些？填写下表． 平行四边形的对角相等 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角线互相平分 2．平行四边形的性质有哪些？填写下表． 平行四边形的对边相等. 平行四边形的对角相等. 平行四边形的对角线互相平分. 3．根据以前研究几何图形的一般思路，我们接下来应该研究什么？（平行四边形的判定） 设计意图：通过对已有知识与经验的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形判定的问题． 3 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 平行四边形的性质 平行四边形的判定 边 平行四边形 的对边相等 猜想1： 角 平行四边形 的对角相等 猜想2： 对角线 平行四边形的对 角线互相平分 猜想3： 1．说出平行四边形的性质定理的逆命题，填写下表： 两组对边分别相等的 四边形是平行四边形 两组对角分别相等的 四边形是平行四边形 对角线互相平分的四 边形是平行四边形 1．回顾以前我们学过的勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质与判定定理、平行线的性质与判定等，它们都是互逆定理，我们是否也可以尝试从平行四边形的性质定理的逆命题出发研究其判定定理呢？把你的猜想填入下表： 猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2．原命题成立，逆命题一定成立吗？ 不一定，猜想是否正确必须经过证明才能确定． 3．证明你的猜想． 2．原命题成立，逆命题一定成立吗？（不一定，猜想是否正确必须经过证明才能确定） 3．证明你的猜想． 教师指导学生根据命题画出几何图形，写出已知和求证．证明过程采用学生独立思考，教师引导，把证明平行四边形的问题逐步转化为证明线平行——角相等——三角形全等的问题．猜想1和猜想2，可以由学生口述完成证明；猜想3，小组合作，采用不同的方法写出书面证明过程． 5 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 分析：现在能证明四边形是平行四边形的方法是什么？ B D A C 定义 6 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 在四边形ABCD中， ∵ AB=CD，AD=BC（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． B D A C 平行四边形判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．Z 归纳小结：经过证明，这三个命题成立，可以作为平行四边形的判定定理． 判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 在四边形ABCD中， ∵AB＝CD，AD＝BC（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 7 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 平行四边形判定定理 2 ： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 在四边形ABCD中， ∵ ∠A= ∠C， ∠B= ∠D（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）． B D A C 判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 在四边形ABCD中， ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）． 8 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 4．猜想3的证明： 已知：在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵OA=OC，OB=OD， ∠AOD=∠COB， ∴△AOD≌△COB． ∴∠OAD=∠OCB． ∴AD∥BC．同理AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． B D A C O 4．猜想3的证明： 已知：在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB． ∴∠OAD＝∠OCB． ∴AD∥BC． 同理AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 9 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 平行四边形判定定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O． ∵ OA= OC， OB=OD（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． B D A C O 判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O． ∵OA＝OC，OB＝OD（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 平行四边形的定义也是它的一个判定方法，所以，我们已经有四种判定平行四边形的方法了． 设计意图：从平行四边形性质定理的逆命题出发，先形成猜想，再利用几何图形的定义进行证明猜想的成立，从而得出平行四边形的三个判定定理． 10 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【例】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 分析：要证四边形是平行四边形， 看已知条件给的信息是对边、对角， 还是对角线，然后进一步分析利用 哪个途径证明更方便．本题很明显 是对角线条件比较突出，因此用判 定定理3证明比较简便． 【例】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形 分析：要证四边形是平行四边形， 看已知条件给的信息是对边、对角， 还是对角线，然后进一步分析利用 哪个途径证明更方便．本题很明显 是对角线条件比较突出，因此用判 定定理3证明比较简便． 11 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【例】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO． ∵AE=CF， ∴AO－AE=CO－CF，即EO=FO． 又BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形． 【例】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO． ∵AE=CF， ∴AO－AE=CO－CF，即EO=FO． 又BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形． 12 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 提问：本题还有其他证法吗？ 可以从定义、几个判定定理分别考虑． 提问：本题还有其他证法吗？ 可以从定义、几个判定定理分别考虑． 13 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时这个四边形是平行四边形？ 我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时这个四边形是平行四边形？ 14 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例说明． 小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形． 小组讨论探讨． 问题1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例说明． 小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形． 15 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题2：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 如下图，这个四边形EFGH满足一组对边EF=HG，但它不是平行四边形. E F H G 问题2：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 如下图，这个四边形EFGH满足一组对边EF＝HG，但它不是平行四边形． 16 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题3：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个命题成立吗？ 请将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明． 已知：如图，在四边形ABCD中， AB∥CD，AB=CD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． B D A C 问题3：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个命题成立吗？ 请将上述命题改写成已知和求证，并画出图形，然后思考如何证明． 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 17 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：连接AC． ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2． 又∵AB=CD，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA． ∴BC=DA． ∴四边形ABCD是平行四边形． A C D B 2 1 证明：连接AC． ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2． 又∵AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA． ∴BC＝DA． ∴四边形ABCD是平行四边形． 教师鼓励学生尝试用其他方法进行证明． 此命题经过证明是真命题，可以作为平行四边形的又一个判定定理． 18 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 判定定理4： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 在四边形ABCD中， ∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） B D A C 判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 在四边形ABCD中， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 设计意图：再次经历猜想、证明等数学活动，得出平行四边形的满足一组对边条件的判定定理． 19 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　如图，在□ABCD中，E，F分别是AB ， CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，EB∥FD． 又∵EB= AB，FD= CD， ∴EB=FD． ∴四边形EBFD是平行四边形． 你还有其他证法吗？ A E F B D C 如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形． 此题的证明方法很多，鼓励学生灵活运用平行四边形的判定方法． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，EB∥FD． 又∵EB＝ AB，FD＝ CD， ∴EB＝FD． ∴四边形EBFD是平行四边形． 设计意图：给学生提供演练的机会，灵活运用平行四边形的判定方法解决问题． 20 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 判定一个四边形是平行四边形的方法： 平行四边形的判定 边 角 对角线 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 总结判定一个四边形是平行四边形的方法： 边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，掌握平行四边形的五种判定方法． 21 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　1．已知：如图，□ABCD中，E ， F分别是AD ， BC的中点，求证：BE=DF． 布置作业 A E F B D C 布置作业 1．已知：如图，□ABCD中，E ， F分别是AD ， BC的中点，求证：BE=DF． 22 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　2．已知：如图，□ABCD中，E ， F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F． 　　求证：四边形BEDF是平行四边形． F E D C B A 2．已知：如图，□ABCD中，E ， F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F． 　　求证：四边形BEDF是平行四边形． 23 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 谢谢观看 $