2026年中考数学二轮专题复习之填空题复习——12：《二次函数及应用》　

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 12.二次函数及应用 本课时是中考数学二轮复习代数模块的核心攻坚内容，是全国中考数学填空题的高频必考点，固定考查 1-2 题，分值 3-5 分。它既是对一次函数、一元二次方程知识的综合延伸，也是破解中考代数几何综合压轴题的核心基础。二轮复习中，本课时的核心目标是突破 “基础题零失误、中档题稳拿分、压轴题能破分”，解决填空题无选项提示、易漏解、易算错的核心痛点，全面强化学生数形结合、代数几何转化的核心能力。 一、题型特点 考点分层明确，贴合二轮复习梯度基础题聚焦二次函数核心定义、三种解析式（一般式、顶点式、交点式）求解、图象与系数 a/b/c 的关系、对称轴与增减性，适配全员保底得分；中档题高频考查抛物线与坐标轴交点、对称性应用、与一次函数结合的面积计算、角度倍分问题；压轴题深度融合动点轨迹、图形面积平分、线段最值、等腰 / 直角三角形存在性，无选项辅助排除，对学生逻辑完整性、计算精准度要求极高，是填空题的核心拉分点。 数形结合为核心载体，几何融合度极高超 80% 的题目以抛物线图象为依托，融合三角形、四边形、相似、勾股定理等几何考点，需学生实现 “代数解析式→图象特征→几何关系→代数方程” 的双向转化，完全贴合中考 “代数几何综合” 的命题趋势。 多解陷阱密集，区分度极强填空题无选项提示，是中考多解问题的核心命题载体，高频设置 “点在线段上 / 线段延长线上”“对称轴左右两侧对称点”“等腰三角形腰与底分类”“直角三角形直角顶点分类” 等双解 / 多解陷阱，学生极易出现漏解，是本课时失分的重灾区。 考法创新多元，贴合新课标要求除传统考点外，高频出现面积平分、尺规作图结合、实际生活中的最值应用（如利润最大、高度最值）等创新考法，注重考查学生知识迁移、实际问题建模的能力，符合新课标对数学核心素养的考查要求。 二、答题要点 先守定义边界，杜绝基础失分求解参数类题目，第一步先锁定二次函数核心前提：二次项次数为 2、二次项系数不为 0，再结合开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点等条件，锁定参数的取值范围，提前排除无效解。 数形结合优先，画图破题所有题目先绘制抛物线草图，标注核心要素：对称轴、顶点坐标、与 x/y 轴的交点、开口方向，快速定位几何关系；将角度倍分、线段相等、面积等几何问题，转化为等腰三角形、全等 / 相似、中线 / 高线等基础几何模型，再通过坐标、距离公式列方程求解。 分类讨论前置，杜绝漏解遇到动点问题、存在性问题、无图几何综合题，先拆分所有可能的位置情况，再逐一列方程求解，求解完成后必须验证结果是否符合题干的取值范围、点的位置限制，剔除无效解。 巧用性质简化运算，提升效率优先用抛物线的对称性简化坐标求解；用顶点式解决最值、对称轴相关问题；用交点式解决与 x 轴交点相关问题；用韦达定理简化根与系数的相关计算，避免复杂运算导致的失误。 规范答题格式，保证精准度填空题答案必须化为最简形式，分数不约分、根式不化简、多解答案书写不全均会失分；多解问题答案之间用 “和”“或” 规范连接，坐标形式书写标准，避免格式失分。 三、避坑指南 概念类坑：忽略核心前提求解参数时，遗漏 “二次项系数不为 0” 的硬性要求；忽略开口方向对增减性、最值的影响；混淆顶点式的对称轴符号，如 y=a (x-h)²+k 的对称轴为 x=h，极易误写为 x=-h。 逻辑类坑：多解问题漏解仅考虑点在线段上的情况，忽略线段延长线上的有效解；等腰三角形存在性问题，未按 “顶角顶点” 分类讨论；直角三角形存在性问题，遗漏不同直角顶点的情况，导致答案不全。 计算类坑：符号与运算失误两点距离公式、直线解析式求解、韦达定理应用中，频繁出现符号错误；平方、开方、分式化简运算失误；对称轴公式、顶点坐标公式记忆错误，导致全盘计算出错。 审题类坑：遗漏题干限制条件忽略题干中 “自变量取值范围”“点在某一象限”“线段 / 射线 / 直线” 的限制，求解出不符合题意的无效解；看错题干中的 “最大值 / 最小值”“向上 / 向下平移” 等关键表述，答非所问。 转化类坑：几何代数转化断层无法将角度倍分、面积相等、垂直 / 平行等几何条件，转化为对应的代数等量关系；无法利用抛物线的性质搭建几何模型，导致解题思路完全断层。 本课时二轮复习的核心逻辑是“抓基础、建模型、练规范、破易错”。二次函数填空题的核心失分点，不在于知识点难度，而在于 “无选项提示下的逻辑不完整、计算不精准、审题不细致”。二轮复习中，需以 “核心考点分层突破” 为核心：基础题聚焦定义、图象性质的零失误训练，杜绝概念性失分；中档题强化数形结合、几何代数转化的模型化训练，让学生形成 “见题识模型” 的解题思维；压轴题重点突破分类讨论、多解问题的专项训练，让学生养成 “先分类、再求解、后验证” 的标准化解题流程。同时，必须针对学生高频易错的 “漏解、符号错误、忽略前提条件” 等问题，通过错题复盘、限时训练，强化学生的审题习惯与计算精准度。最终让学生不仅能掌握二次函数的核心知识，更能破解填空题的专属失分痛点，实现本课时的全分数段突破，同时为中考代数几何综合压轴题打下坚实的基础。 四、真题练习 1.（24-25·达州模拟）二次函数的图象开口向下，则 -2 ． 【答案】 【解析】 直接利用二次函数的定义以及其性质得出的值． 【解答】 解：二次函数的图象的开口向下， ，且， 解得：． 故答案为：． 2.（24-25·四川模拟）无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则________3___________． 【答案】 【解析】 由题意可知，首先把点代入二次函数解析式，代入得出，关于，的等式进一步整理得出答案即可． 【解答】 解：由题意得，当时，， 可得：， 是二次函数上的点， ， ， 所以3 故答案为：3  3.（24-25·山东模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在抛物线上，点在直线上，若，则点的坐标是__________和________． 【答案】 和 【解析】 先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【解答】 解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ， 根据点坐标，有 所以点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 因为：，， 有 解得：， 所以点的坐标为: 当在的延长线上时， 在中，， 如图延长至，取， 则有为等腰三角形，， 又 则为符合题意的点， 的横坐标：，纵坐标为； 综上点的坐标为：或， 故答案为：或  4.（24-25·山东模拟）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为____________． 【答案】 【解析】 本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【解答】 解：把，，代入得， ， 解得， ，故正确； ，，， ， 当时，， ， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为， 又， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， 与时函数值相等，等于， 当时，的取值范围为，故错误； ， 点，关于对称轴对称， ，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：．  5.（23-24·江苏中考）二次函数的图象过点，，，，其中为常数，则的值为     ． 【答案】 【解析】 把的坐标代入，求出，然后把的坐标代入可得出的关系，即可求解． 【解答】 解：把，，代入，得， 解得， ， 把代入，得， ， ． 6.（23-24·四川中考）若二次函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为_____①③④_______．（少选得分，错选得分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 【答案】 ①③④ 【解析】 本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意； 【解答】 解：二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称． ， ，故①符合题意； ， ， ， ， 当时，取最小值，故②不符合题意； ， 对称轴为直线， ， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ， 对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ， ， ， 当时，满足， ， ， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故答案为：①③④．  7.（22-23·浙江中考）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则    或    ． 【答案】 或 【解析】 根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，用待定系数法求解析式即可求解． 【解答】 由，当时，， ，四边形是矩形， ①当抛物线经过时，将点，的坐标代入， 解得； ②当抛物线经过点时，将点,的坐标代入， , 解得 综上所述，或  8.（24-25云南模拟）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是____（答案不唯一）_______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【解答】 解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 9.（24-25·山东模拟）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为______8________． 【答案】 【解析】 本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【解答】 解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ， 令，得， 解得：，， 为， 故答案为：． 10.（24-25·甘肃模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为_____4_______． 【答案】 【解析】 本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【解答】 解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， 抛物线， 令，得， 解得或， ， ； 故答案为：． 11.（22-23·吉林中考）年月日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口、的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点处相遇，此时相遇点距地面米，喷水口、距地面均为米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面      19    米． 【答案】 【解析】 根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【解答】 解：由题意可知，，，， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为， 令，解得， 故答案为．  12.（24-25·广东中考）将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为 ____________________． 【答案】 【解析】 根据二次函数图象的平移变换规律即可得． 【解答】 解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为， 故答案为：．  13. （22-23·黑龙江中考）将抛物线向下平移个单位长度，再向右平 移 或 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 【答案】 或或 【解析】 先求出抛物线向下平移个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度． 【解答】 解：抛物线向下平移个单位长度后的解析式为，令，则， 解得，， 抛物线与的交点坐标为和， 将抛物线向右平移个单位或个单位后，新抛物线经过原点． 故答案为：或． 14.（24-25·湖北模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是  ，    ． 【答案】 ， 【解析】 先将点代入求出关系式，由正方形的性质可知点的纵坐标是，即可求出点的横坐标，可得答案． 【解答】 将点代入，得， 解得， 抛物线的关系式为． 四边形是正方形， ， 点的纵坐标是． 当时，， 解得或（舍）， 点的横坐标是． 四边形是正方形， ， 点的坐标是． 故答案为：． 15.（24-25·黑龙江模拟）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数的图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④若和均在该函数的图象上，且，则． 其中正确的结论有      ②③     ．（填序号） 【答案】 ②③ 【解析】 根据二次函数图象与系数的关系可得，再由对称轴为直线可得，即可判断①；根据对称性求出二次函数的图象经过点，即可判断②③；根据二次函数的增减性即可判断④． 【解答】 解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴，， 二次函数对称轴为对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 二次函数的图象经过点， 二次函数的图象经过点，即二次函数与轴有两个不同的交点， ，故②正确； 当时，， ，故③正确； 二次函数开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 和均在该函数的图象上，且， ，故④错误  16.（24-25·重庆模拟）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中结论正确的是     ②④        ． 【答案】 ②④ 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：图象开口向下 图象与轴交点在正半轴 ，①不正确； 时， ，②正确； 时， ，③不正确； 过点 由得 即 依题得， ，④正确．  17.（24-25·黑龙江模拟）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号为  ①②③  ． 【答案】 ①②③ 【解析】 由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可． 【解答】 解：抛物线与轴有两个交点，， 故①正确； 由图象可知，，， 对称轴直线， ， ， 故②正确； 对称轴时， ， 当时，， ， ， 故③正确； 与图象知，图象与轴的一个交点在和之间， 对称轴， 图象与轴的另一个交点在和之间， 时，， ， 故④错误； 故答案为：①②③． 18.（24-25·陕西模拟）如图，抛物线交轴分别于点，，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③当是等边三角形时，；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中，正确结论的序号为 ①②④    ． 【答案】 ①②④ 【解析】 利用待定系数法，二次函数的性质，等边直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程的关系一一判断即可． 【解答】 解：把，，代入得到，消去得到， 故①正确； ， 又， ，即， 故②正确； 如图，设对称轴与轴相交于点， ，， ， 是等边三角形，， ，，， ，， ， 设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， ， 故③错误； 方程有四个根， 方程有两个根，有两个根， 设方程有两个根为，有两个根为， ，， ． 故④正确． 故此题答案为：①②④． 19.（24-25·四川模拟）若二次函数 图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则______-4________；若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为，______-3________． 【答案】 , 【解析】 先求出二次函数的顶点坐标，再把求得的顶点坐标代入一次函数解析式求得；根据函数与轴两个交点间的距离为，列出的方程求得，再求出二次函数的顶点坐标，再将其顶点坐标代入一次函数解析式中求得，再代入计算即可． 【解答】 解：， 其顶点坐标为， 是的伴随函数， 在一次函数的图象上， ， ； 设函数与轴两个交点的横坐标分别为，，则，， ， 函数与轴两个交点间的距离为， ， 解得，， 函数为：， 其顶点坐标为， 是的伴随函数， ， ， ． 故答案为：；． 20.（24-25·江苏模拟）如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点．下列说法:①；②；③；④若是抛物线上两点,则．其中说法正确的是_____①②④____________ 【答案】 ①②④ 【解析】 根据抛物线的开口方向可判断的正负，根据抛物线与轴的交点可判断的正负，根据抛物线的对称轴并结合可判断的正负，进而可判断①；根据抛物线的对称轴公式可判断②；先根据抛物线的对称轴判断当时的正负，进一步即可判断③；根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点是，再根据抛物线的性质即可判断④，进而可得答案． 【解答】 解：二次函数的图象开口向上，， 二次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴，， 二次函数图象的对称轴是直线，， ， ，故①正确； 由①知：，，故②正确； 二次函数图象的对称轴为直线，且过点， 抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 当时，把代入，得，故③错误； 二次函数图象的对称轴为， 点关于对称轴的对称点是， 由题意知当时，随的增大而增大，，，故④正确． 综上，说法正确的是：①②④． 故答案为：①②④． 21.（22-23·四川中考）定义：若，满足，且（为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则  -7 ； （2）若双曲线存在“和谐点”，则的取值范围  ． 【答案】 【解析】 （1）根据题意得出，消去得到，解方程即可求得； （2）根据题意得出，①-②得，整理得，由，得出，理得，由，得出． 【解答】 （1）解：是“和谐点”， ， 消去得到， 解得或， ， ； 故答案为：； （2）双曲线存在“和谐点”， ， ①-②得， ， ， ， 整理得， ， ． 故答案为：．  22.（24-25·湖北模拟）二次函数的最大值等于 9 ． 【答案】 【解析】 依据题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数的开口向下，结合解析式可以得解． 【解答】 解：二次函数的表达式为， 当时，二次函数取得最大值． 故答案为：． 23.（22-23·上海中考）在中，点在边上，点在延长线上，且，如果过点，过点，若与有公共点，那么半径的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【解答】 解：由题意画出图形如下：连接， 过点，且， 的半径为， 过点，它的半径为，且， ， ， ，， 在边上，点在延长线上， ， 与有公共点， ，即 不等式①可化为， 解方程得：或， 画出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，当时，， 即不等式①的解集为， 同理可得：不等式②的解集为或， 则不等式组的解集为， 又， 半径的取值范围是， 故答案为：． 24.（24-25·山东中考）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为______5________． 【答案】 【解析】 本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【解答】 解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故答案为∶5 25.（24-25·广东模拟）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点在和之间（不含端点），则下列结论： ①当时，； ②当的面积为时，； ③当为直角三角形时，在内存在唯一点，使得的值最小，最小值的平方为． 其中正确的结论是           ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 ②③ 【解析】 根据条件可求抛物线与轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③． 【解答】 解：抛物线经过点，顶点为，对称轴， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 由图象可得：当时，； ①错，不符合题意； 抛物线与轴的另一交点坐标为， 设抛物线为， 当时，，当时，， ，， 如图所示，过点作平行于轴的直线，过点作，过点作， ， 设直线的解析式为， 把，代入得：解得：， 直线的解析式为， 当是，， ， ， ， 解得：，故②正确； 点是抛物线与轴的交点， 当时，， ， 为直角三角形， 当时， ， ，，， ，整理得：， 解得：或（舍） ， 当时， ， ，整理得： 解得：或（舍） ， 当时， ， ，无解； 以点为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示， 则，为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 当时， ， 当时， ， 的值最小，最小值的平方为，故③正确； 故答案为：②③． 26.（24-25·重庆模拟）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）的度数是____________； （2）若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点，则的长的最大值是______4______． 【答案】 度 【解析】 （1）先分别求解，，的坐标，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得答案. 【解答】 （1）解：二次函数， 当时，则， 解得：，， ，， 当时，则， ， ， ； （2）设直线为， ，解得：， 直线为， ，设，则， ， 当时，的最大值为：； 故答案为：； 27.（24-25·广东模拟）如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为      ． 【答案】 【解析】 在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点，根据点在抛物线的对称轴上，，求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据相似三角形的判定与性质，证明，得出，结合图形与坐标，求出、，利用证明，证明，得出，求出、，根据图形与坐标，求出点的坐标，结合点的坐标，求出直线的解析式，结合抛物线的解析式，求出点的坐标即可． 【解答】 解：如图，在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点， ， 抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、， 当时，， ， 解得：，， 当时，， ，，， ，，， ， 设直线解析式为，则， 解得：， 直线解析式为， 点在抛物线的对称轴上，， 点的横坐标，点的横坐标点的横坐标， 点的横坐标， 当时，， ， 设直线解析式为，则， 解得：， 直线解析式为，当时，， ， ，， 直线解析式为，当时，， 点也在线段上， ， ， ， ， ， 解得：，， ，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 解得：，， ，， ， 点的纵坐标，横坐标， ， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 点是直线与抛物线的交点， 令，整理得， 因式分解得：， 解得：，（为点的横坐标）， 点的横坐标，纵坐标， 点的坐标为． 28.（22-23·江苏中考）二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为  或或 ． 【答案】 或或 【解析】 由题意可得，，，，所以直线解析式为，与轴于，因为，所以，则点必在内部．根据题意可分为两大部分：当分成两个三角形时，直线必过三角形个顶点，平分面积，则过点的直线必为中线；当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，则必有“”型相似，且相似比为．再画出图形分别求解即可． 【解答】 解：令，解得或， ，， 令，则， ， 直线解析式为，与轴于， ， ， 点必在内部． 一、当分成两个三角形时，直线必过三角形个顶点，平分面积，则过点的直线必为中线； ①如图，直线过中点， ，， 直线的解析式为， 中点坐标为， 代入直线求得，不成立； ②如图，直线过中点， 直线解析式为， 将中点坐标代入直线求得； ③如图，直线过中点，中点坐标为， 直线与轴平行，不成立； 二、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行， 必有“”型相似， 平分面积， 相似比为． ④如图，直线， ， ， 解得； ⑤如图，直线， ， ， ， ， 不成立； ⑤如图，直线， ，， ，，， ， 解得． 故答案为：或或．  29.（24-25·新疆月考）已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．连接，则的最大面积为      ． 【答案】 【解析】 先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可． 【解答】 解：，，， 将，代入得， ， 解得， ， 当时，，即； 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 设，， ， ， ，开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为： 30.（22-23·四川中考）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点在与之间（不含端点），则下列结论：①当时，；②当的面积为时，；③当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为．其中正确的结论是 ①② ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 ①② 【解析】 ①根据抛物线的对称性可得：抛物线与轴的另一个交点坐标为，再结合抛物线的性质可判断结论①； ②将，代入，可得，，得出，抛物线的顶点为，设抛物线对称轴交轴于，利用，建立方程求解即可判断②； ③根据为直角三角形，利用勾股定理求得，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点，作轴于点，可得和是等边三角形，即，由于，可得当点，点，点，点共线时，值最小，最小值为，设，列方程组，求解即可求得、，再利用，即可判断③． 【解答】 解：①抛物线经过点，顶点为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线的开口向上， 当时，；故①正确． ②将，代入，得， 解得：， ， 抛物线的顶点为， 设抛物线对称轴交轴于，如图， 则， ，，， ， ， ， ， ， ；故②正确． ③，，， ，，， 若，则， 即， 解得：，或（舍去）； 若，则， 即， 解得：，或（舍去）； 若，则， 即， 整理得：（无解）； 点在与之间（不含端点）， ， ， ， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点，作轴于点， ，，， 和是等边三角形， ，， ， 当点，点，点，点共线时，值最小，最小值为， 此时， 设， 则，，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， ， 故③错误； 故答案为：①②． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 12.二次函数及应用 本课时是中考数学二轮复习代数模块的核心攻坚内容，是全国中考数学填空题的高频必考点，固定考查 1-2 题，分值 3-5 分。它既是对一次函数、一元二次方程知识的综合延伸，也是破解中考代数几何综合压轴题的核心基础。二轮复习中，本课时的核心目标是突破 “基础题零失误、中档题稳拿分、压轴题能破分”，解决填空题无选项提示、易漏解、易算错的核心痛点，全面强化学生数形结合、代数几何转化的核心能力。 一、题型特点 考点分层明确，贴合二轮复习梯度基础题聚焦二次函数核心定义、三种解析式（一般式、顶点式、交点式）求解、图象与系数 a/b/c 的关系、对称轴与增减性，适配全员保底得分；中档题高频考查抛物线与坐标轴交点、对称性应用、与一次函数结合的面积计算、角度倍分问题；压轴题深度融合动点轨迹、图形面积平分、线段最值、等腰 / 直角三角形存在性，无选项辅助排除，对学生逻辑完整性、计算精准度要求极高，是填空题的核心拉分点。 数形结合为核心载体，几何融合度极高超 80% 的题目以抛物线图象为依托，融合三角形、四边形、相似、勾股定理等几何考点，需学生实现 “代数解析式→图象特征→几何关系→代数方程” 的双向转化，完全贴合中考 “代数几何综合” 的命题趋势。 多解陷阱密集，区分度极强填空题无选项提示，是中考多解问题的核心命题载体，高频设置 “点在线段上 / 线段延长线上”“对称轴左右两侧对称点”“等腰三角形腰与底分类”“直角三角形直角顶点分类” 等双解 / 多解陷阱，学生极易出现漏解，是本课时失分的重灾区。 考法创新多元，贴合新课标要求除传统考点外，高频出现面积平分、尺规作图结合、实际生活中的最值应用（如利润最大、高度最值）等创新考法，注重考查学生知识迁移、实际问题建模的能力，符合新课标对数学核心素养的考查要求。 二、答题要点 先守定义边界，杜绝基础失分求解参数类题目，第一步先锁定二次函数核心前提：二次项次数为 2、二次项系数不为 0，再结合开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点等条件，锁定参数的取值范围，提前排除无效解。 数形结合优先，画图破题所有题目先绘制抛物线草图，标注核心要素：对称轴、顶点坐标、与 x/y 轴的交点、开口方向，快速定位几何关系；将角度倍分、线段相等、面积等几何问题，转化为等腰三角形、全等 / 相似、中线 / 高线等基础几何模型，再通过坐标、距离公式列方程求解。 分类讨论前置，杜绝漏解遇到动点问题、存在性问题、无图几何综合题，先拆分所有可能的位置情况，再逐一列方程求解，求解完成后必须验证结果是否符合题干的取值范围、点的位置限制，剔除无效解。 巧用性质简化运算，提升效率优先用抛物线的对称性简化坐标求解；用顶点式解决最值、对称轴相关问题；用交点式解决与 x 轴交点相关问题；用韦达定理简化根与系数的相关计算，避免复杂运算导致的失误。 规范答题格式，保证精准度填空题答案必须化为最简形式，分数不约分、根式不化简、多解答案书写不全均会失分；多解问题答案之间用 “和”“或” 规范连接，坐标形式书写标准，避免格式失分。 三、避坑指南 概念类坑：忽略核心前提求解参数时，遗漏 “二次项系数不为 0” 的硬性要求；忽略开口方向对增减性、最值的影响；混淆顶点式的对称轴符号，如 y=a (x-h)²+k 的对称轴为 x=h，极易误写为 x=-h。 逻辑类坑：多解问题漏解仅考虑点在线段上的情况，忽略线段延长线上的有效解；等腰三角形存在性问题，未按 “顶角顶点” 分类讨论；直角三角形存在性问题，遗漏不同直角顶点的情况，导致答案不全。 计算类坑：符号与运算失误两点距离公式、直线解析式求解、韦达定理应用中，频繁出现符号错误；平方、开方、分式化简运算失误；对称轴公式、顶点坐标公式记忆错误，导致全盘计算出错。 审题类坑：遗漏题干限制条件忽略题干中 “自变量取值范围”“点在某一象限”“线段 / 射线 / 直线” 的限制，求解出不符合题意的无效解；看错题干中的 “最大值 / 最小值”“向上 / 向下平移” 等关键表述，答非所问。 转化类坑：几何代数转化断层无法将角度倍分、面积相等、垂直 / 平行等几何条件，转化为对应的代数等量关系；无法利用抛物线的性质搭建几何模型，导致解题思路完全断层。 本课时二轮复习的核心逻辑是“抓基础、建模型、练规范、破易错”。二次函数填空题的核心失分点，不在于知识点难度，而在于 “无选项提示下的逻辑不完整、计算不精准、审题不细致”。二轮复习中，需以 “核心考点分层突破” 为核心：基础题聚焦定义、图象性质的零失误训练，杜绝概念性失分；中档题强化数形结合、几何代数转化的模型化训练，让学生形成 “见题识模型” 的解题思维；压轴题重点突破分类讨论、多解问题的专项训练，让学生养成 “先分类、再求解、后验证” 的标准化解题流程。同时，必须针对学生高频易错的 “漏解、符号错误、忽略前提条件” 等问题，通过错题复盘、限时训练，强化学生的审题习惯与计算精准度。最终让学生不仅能掌握二次函数的核心知识，更能破解填空题的专属失分痛点，实现本课时的全分数段突破，同时为中考代数几何综合压轴题打下坚实的基础。 四、真题练习 1.（24-25·达州模拟）二次函数的图象开口向下，则  ． 2.（24-25·四川模拟）无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则_______________． 3.（24-25·山东模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在抛物线上，点在直线上，若，则点的坐标是________________． 4.（24-25·山东模拟）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为___________． 5.（23-24·江苏中考）二次函数的图象过点，，，，其中为常数，则的值为    ． 6.（23-24·四川中考）若二次函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为__________．（少选得分，错选得分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 7.（22-23·浙江中考）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则       ． 8.（24-25云南模拟）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是__________．（写出一个即可） 9.（24-25·山东模拟）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 10.（24-25·甘肃模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为________． 11.（22-23·吉林中考）年月日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口、的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点处相遇，此时相遇点距地面米，喷水口、距地面均为米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面      米． 12.（24-25·广东中考）将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为 _________________． 13.（22-23·黑龙江中考）将抛物线向下平移个单位长度，再向右平 移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 14.（24-25·湖北模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是     ． 15.（24-25·黑龙江模拟）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数的图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④若和均在该函数的图象上，且，则． 其中正确的结论有          ．（填序号） 16.（24-25·重庆模拟）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中结论正确的是           ． 17.（24-25·黑龙江模拟）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号为    ． 18.（24-25·陕西模拟）如图，抛物线交轴分别于点，，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③当是等边三角形时，；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中，正确结论的序号为     ． 19.（24-25·四川模拟）若二次函数 图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则___________；若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为，_________． 20.（24-25·江苏模拟）如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点．下列说法:①；②；③；④若是抛物线上两点,则．其中说法正确的是_______________ 21.（22-23·四川中考）定义：若，满足，且（为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则  ； （2）若双曲线存在“和谐点”，则的取值范围  ． 22.（24-25·湖北模拟）二次函数的最大值等于  ． 23.（22-23·上海中考）在中，点在边上，点在延长线上，且，如果过点，过点，若与有公共点，那么半径的取值范围是 ． 24.（24-25·山东中考）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为___________． 25.（24-25·广东模拟）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点在和之间（不含端点），则下列结论： ①当时，； ②当的面积为时，； ③当为直角三角形时，在内存在唯一点，使得的值最小，最小值的平方为． 其中正确的结论是           ．（填写所有正确结论的序号） 26.（24-25·重庆模拟）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）的度数是__________； （2）若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点，则的长的最大值是________． 27.（24-25·广东模拟）如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为      ． 28.（22-23·江苏中考）二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为  ． 29.（24-25·新疆月考）已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．连接，则的最大面积为      ． 30.（22-23·四川中考）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点在与之间（不含端点），则下列结论：①当时，；②当的面积为时，；③当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $