专题01 有理数及其运算（期末复习知识清单+11知识+8题型+3易错+3方法清单）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题01 有理数及其运算（11知识&8题型&3易错&3方法清单） 【清单01】正数和负数的定义 正数：______0的数叫作正数. 负数：在正数前面加上“－”号叫作负数 0既不是_____也不是_______. 【清单02】有理数 可以写成_______形式的数称为有理数 有理数的分类（1）按定义（分母是否为1）分类：有理数 （2）按性质分有理数 【清单03】数轴 规定了______、______和_______的直线叫作数轴 【清单04】相反数 只有______不同的两个数是相反数 正数的相反数是一个_______；负数的相反数是_______；0的相反数是______ 的相反数是______ 相反数等于本身的数是_______ 【清单05】绝对值 一般地，数轴上表示数的点与_______的距离叫作数的绝对值，记作 一个正数的绝对值是________；一个负数的绝对值是它的_____；0的绝对值是____ ★ 绝对值等于本身的数是______ 【清单06】有理数加法法则 1.同号两数相加,和取______的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 2.绝对值不相等的_____两数相加，和取____________的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.___________的两个数相加得0. 3.一个数与________相加,仍得这个数. 【清单07】有理数加法运算律 有理数加法交换律：交换两个_________的位置，和不变; 有理数加法结合律：三个数相加，先把__________相加，或者先把__________相加，和不变; . 【清单08】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的_________ 【清单09】有理数乘法法则 两数相乘，同号得___，异号得______，并把__________相乘。 任何数与_____相乘，都得0. 互为倒数的两数相乘等于_______ 【清单10】有理数乘法运算律 乘法交换律：两数相乘，交换________的位置，积不变; 乘法结合律：三个数相乘，先把_________相乘，或者先把________相乘，积相等; 乘法分配律：一个数同____________相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加; . 【清单11】有理数除法 有理数的除法法则:除以一个不为0的数，等于乘这个数的__________。 【清单12】有理数乘方 这种求n个________的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作_______. 正数的奇次幂是个正数，正数的偶次幂是个正数 负数的奇次幂是个负数，负数的偶次幂是个正数 1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1.-1的奇次幂是-1 0的任何正整数次幂都是0 互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数 【清单13】有理数混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1. 先_______，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，__________进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【清单14】科学记数法 科学记数法：把大于10的数记成_____________ ()的形式，其中是整数数位只有一位的数(即)， 是正整数.这种记数方法叫作科学记数法. 【题型一】正负数有关概念 【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）下列一组数：、2.6、、0.72、、3中，负数共有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）对于任何有理数，下列一定为负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·山西·期末）下列说法正确的有______ ① 0是最小的正数； ② 任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③ 大于0的数是正数； ④ 字母既是正数，又是负数． 【变式1-3】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作_______ 【题型二】有理数有关概念 【例2】（24-25七年级上·天津东丽·期末）下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】下列各数，既是分数又是负数的是（　　） A． B． C． D．0 【变式2-2】（25-26七年级上·四川德阳·期末）下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数不是有理数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正有理数、0、负有理数统称为有理数 D．非负整数即为正整数 【变式2-3】（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，，，，0，，，（每两个1之间逐次增加一个0）． 正数集：﹛______…﹜； 非负整数集：﹛______…﹜； 负分数集：﹛______…﹜； 有理数集：﹛______…﹜． 【题型三】数轴 【例3】（25-26七年级上·广东清远·期中）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，B表示的数为4，则两点之间的距离为（    ） A．7 B． C． D．1 【变式3-1】（25-26七年级上·广西南宁·月考）如图，在数轴上被三十六中的吉祥物紫紫所覆盖的数可能是（    ） A． B． C． D．5 【变式3-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）数轴上的点到表示的点的距离是10，那么点表示的数是______ 【变式3-3】（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知有五个有理数，分别是：，，，，0． (1)请把这五个有理数在数轴上表示出来； (2)按照从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 【题型四】相反数 【例4】（24-25七年级上·北京·期末）2的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与0.3 【变式4-2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若代数式和互为相反数，则________ A．3 B． C．5 D． 【题型五】绝对值 【例5】（25-26七年级上·山东青岛·月考）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若，则x的取值范围是 ． 【变式5-2】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，，且，则的值为__________ 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）当 时，有最大值，最大值为 ． 【题型六】有理数比较大小 【例6】（25-26七年级上·广东·期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度 其中液化温度最低的气体是（） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【变式6-1】（25-26七年级上·湖南·期末）比较大小： （用“”“”填空）． 【变式6-2】（24-25七年级上·福建福州·期末），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是___________ 【变式6-3】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是a和b，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____ 【题型七】有理数混合运算 【例7】（25-26七年级上·上海·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖北·期末）计算：(1) (2) (3) ． (4) 【变式7-2】（25-26七年级上·黑龙江·期末）计算： (1)； (2) 【变式7-3】（25-26七年级上·湖南·期末）计算： (1) (2) 【题型八】有理数的简便运算 【例8】（25-26七年级上·浙江台州·期末）计算： (1) (2)； (3)． (4)； (5) 【变式8-1】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算下列各题： (1) (2)； (3)； (4)． (5) ． 【变式8-3】（23-24七年级上·贵州·期末）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式． 解法②：原式． 解法③：原式的倒数．所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法__________是错误的；（填序号） (2)请你选择喜欢的解法计算：． 【题型九】有理数混合运算的应用 【例9】（25-26七年级上·湖南永州·期末）若a，b是有理数，定义一种新运算*：计算的值为 ． 【变式9—1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是_________ 【变式9—2】（25-26七年级上·浙江·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 【变式9—3】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如下，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值 ． 【题型十】有理数的实际应用 【例10】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）武汉市某中学开展“跳蚤市场”爱心义卖活动，小明同学用账本记录了他一天的收支情况如下：（“”表示收入，“”表示支出，单位：元） (1)经过这一天的义卖活动后，小明的收支情况如何？ (2)义卖活动结束后，学校为评估每位学生参与的积极性，设定“经营活跃度”评分规则：经营活跃度所有交易金额的绝对值之和，请计算小明经营活跃度． 【变式10-1】（25-26七年级上·广东潮州·期中）某“环保骑行”小队骑着电动自行车从基地出发，沿一条南北向的公路进行宣传．约定向北为正方向，当天各段骑行的路程（单位：千米）依次记录为： ，，，，，，， 请根据上述信息，解答下列问题： (1)骑行结束后，小队位于基地的哪个方向？与基地相距多少千米？ (2)已知骑行每千米平均耗电度： ①求这次骑行活动总共耗电多少度?（用含的代数式表示） ②当时，计算具体的耗电量． (3)在整个骑行过程中，小队是否曾回到过基地？如果没有，他们最远距离基地多少千米？ 【变式10-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）． 时刻 1 2 3 4 5 6 升降 0.8 0.6 0.5 (1)根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位； (2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？ (3)经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ 【变式10-3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）近几年，全球新能源汽车发展迅猛，尤其是我国新能源汽车的产销量大幅度增加．小亮家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表）．以为标准，超过记为“+”，不足记为“－”，刚好记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)小亮家这7天行驶的路程最多的一天比最少的一天多________千米； (2)求出小亮家新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小亮家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是多少元钱？ 【题型十一】科学记数法 【例11】（22-23七年级上·河北邯郸·期末）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．若一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“32400000”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25七年级上·吉林白城·期末）2024年我国高考考生人数约为1353万，这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）据预测，2024年，中非贸易额达到2956亿美元，同比增长，中国连续16年保持非洲第一大贸易伙伴．将数据“2956亿”用科学记数法表示为___________ 【变式11-3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）据某网站报道一粒废旧纽扣电池可以使600吨水受到污染，某校团委四年来发动全体团员同学共回收废旧纽扣电池3500粒．若这3500粒废旧纽扣电池可以使m吨水受到污染，用科学记数法表示_________ 【题型一】带“非”字的有理数 【例1】（23-24七年级上·广西梧州·期末）在，，，，中，非负数个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列各数：15，，0，．中 (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 【题型二】数轴上的规律问题 【例2】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（ ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【题型三】数轴上的动点问题 【例3】点在数轴的负半轴上且距离原点2个单位长度．将点沿数轴向左平移3个单位长度后得到点，那么点表示的数为（   ） A． B． C．3 D．5 【变式3-1】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【变式3-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【变式3-3】（25-26七年级上·四川内江·月考）如图，数轴上点A表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点A的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点A、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点A的距离与点到点的距离之和为，则称点为点A、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点A、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值． 【题型一】绝对值非负性 ·适用形式： ·求解方法： 【例1】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【变式1—1】（24-25七年级上·重庆永川·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【变式1—2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）若，则的值为 【题型二】相反数、倒数和绝对值的计算 ·适用形式：、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值 ·求解方法： 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）如果、互为相反数，、互为倒数，那么 ． 【变式2—1】（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）若、互为相反数，、互为倒数，则的值是 ． 【题型三】知字母取值范围，判断式子的大小 ·适用形式：已知，求、、等的大小 ·求解方法：赋特值 【例3】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）当时，，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式3—1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如果，则，，的大小关系为 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数及其运算（11知识&8题型&3易错&3方法清单） 【清单01】正数和负数的定义 正数：大于0的数叫作正数. 负数：在正数前面加上“－”号叫作负数 0既不是正数也不是负数. 【清单02】有理数 可以写成分数形式的数称为有理数 有理数的分类（1）按定义（分母是否为1）分类：有理数 （2）按性质分有理数 【清单03】数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 【清单04】相反数 只有符号不同的两个数是相反数 正数的相反数是一个负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0 的相反数是 相反数等于本身的数是0 【清单05】绝对值 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 ★ 绝对值等于本身的数是非负数 【清单06】有理数加法法则 1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0. 3.一个数与0相加,仍得这个数. 【清单07】有理数加法运算律 有理数加法交换律：交换两个加数的位置，和不变; 有理数加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变; . 【清单08】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 【清单09】有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0. 互为倒数的两数相乘等于1 【清单10】有理数乘法运算律 乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变; 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等; 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加; . 【清单11】有理数除法 有理数的除法法则:除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 【清单12】有理数乘方 这种求n个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 正数的奇次幂是个正数，正数的偶次幂是个正数 负数的奇次幂是个负数，负数的偶次幂是个正数 1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1.-1的奇次幂是-1 0的任何正整数次幂都是0 互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数 【清单13】有理数混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【清单14】科学记数法 科学记数法：把大于10的数记成()的形式，其中是整数数位只有一位的数(即)， 是正整数.这种记数方法叫作科学记数法. 【题型一】正负数有关概念 【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）下列一组数：、2.6、、0.72、、3中，负数共有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查负数的定义，根据小于零的数是负数，进行判断即可． 【详解】解：、2.6、、0.72、、3中，、、是负数，共3个； 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）对于任何有理数，下列一定为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了负数的定义和相反数、绝对值化简，掌握负数的定义以及绝对值的性质是解答此题的关键．先将各项化简，然后根据负数小于0进行判断． 解：A、，假设，原式不是负数，故A选项不符合题意； B、，假设，原式不是负数，故B选项不符合题意； C、，当时，原式不是负数，故C选项不符合题意； D、∵，∴一定是负数，故D选项符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·山西·期末）下列说法正确的有______ ① 0是最小的正数； ② 任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③ 大于0的数是正数； ④ 字母既是正数，又是负数． 【答案】②③ 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：0既不是正数也不是负数；故①错误； 任意一个正数，前面加上一个“”号，就是一个负数，故②正确； 大于0的数是正数，故③正确； 字母a既是正数，又是负数是错误的，如果a是正数，就一定不是负数，故④错误． 【变式1-3】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作_______ 【答案】元 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握正负数的意义．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【详解】解：根据题意，收入500元记作元，则支出300元记作元． 【题型二】有理数有关概念 【例2】（24-25七年级上·天津东丽·期末）下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数，掌握有理数和无理数的概念是解题的关键． 根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，据此即可解答． 【详解】解：有理数有：，，，0，共5个． 故选C． 【变式2-1】下列各数，既是分数又是负数的是（　　） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键，根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是分数，但它不是负数，则A不符合题意； 不是分数，但它是负数，则B不符合题意； 既是分数又是负数，则C符合题意； 0不是负数，也不是分数，则D不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（25-26七年级上·四川德阳·期末）下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数不是有理数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正有理数、0、负有理数统称为有理数 D．非负整数即为正整数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义和分类．有理数包括整数和分数，其中分数可化为有限小数或无限循环小数；整数包括正整数、0、负整数；非负整数包括正整数和0．根据这些概念依次判断即可． 【详解】因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，属于有理数， 所以选项A错误； 因为整数包括正整数、0、负整数，选项B遗漏了0， 所以选项B错误； 因为有理数按符号分为正有理数、0、负有理数， 所以选项C正确； 因为非负整数包括正整数和0，选项D忽略了0， 所以选项D错误． 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，，，，0，，，（每两个1之间逐次增加一个0）． 正数集：﹛______…﹜； 非负整数集：﹛______…﹜； 负分数集：﹛______…﹜； 有理数集：﹛______…﹜． 【答案】5，，，；5， 0；，，；5，，，，，0， 【分析】本题考查有理数的分类，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义逐一判断即可． 【详解】解：正数集： 非负整数集： 负分数集：， 有理数： ． 【题型三】数轴 【例3】（25-26七年级上·广东清远·期中）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，B表示的数为4，则两点之间的距离为（    ） A．7 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点的距离，根据数轴上两点的距离公式可得，进而求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，B表示的数为4， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（25-26七年级上·广西南宁·月考）如图，在数轴上被三十六中的吉祥物紫紫所覆盖的数可能是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设在数轴上被覆盖的数是，根据数轴的性质可得，由此即可得． 【详解】解：设在数轴上被覆盖的数是， 由数轴的性质得：， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）数轴上的点到表示的点的距离是10，那么点表示的数是______ 【答案】7或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握绝对值的几何意义是解决本题的关键． 利用绝对值的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点表示，点到点的距离为10， ∴，即． ∴或． ∴或． 故选：C． 【变式3-3】（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知有五个有理数，分别是：，，，，0． (1)请把这五个有理数在数轴上表示出来； (2)按照从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查用数轴表示有理数，并比较有理数的大小，正确的表示出各数，掌握数轴上的数右边比左边的大，是解题的关键． （1）先求绝对值，化简多重符号，然后在数轴上表示出各数即可； （2）根据数轴上的数右边比左边的大，比较大小即可． 【详解】（1）解：，，如图， （2）由图可知：． 【题型四】相反数 【例4】（24-25七年级上·北京·期末）2的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：2的相反数是， 故选：C． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与0.3 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），分别计算各选项中两个数的值，并判断是否满足条件即可． 【详解】解：A、，，两者相等，不互为相反数； B、，，两者相等，不互为相反数； C、，，与互为相反数； D、的相反数是，而，故不互为相反数， 故选：C． 【变式4-2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多重负号的化简，解题的关键是熟练掌握规则：一个数前面的负号表示取相反数；多重负号时，每两个负号相互抵消，但需根据负号的个数判断最终符号，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正．直接计算每个选项即可判断． 【详解】解：A．，故A错误； B． ，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若代数式和互为相反数，则________ A．3 B． C．5 D． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 移项合并得：. 【题型五】绝对值 【例5】（25-26七年级上·山东青岛·月考）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数，正数的绝对值是其本身．由于 ，可确定 的符号，从而化简绝对值表达式． 【详解】解： ， ， ， 又 ， ． 故选： A． 【变式5-1】若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，，且，则的值为__________ 【答案】8或18 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的加法和减法，根据绝对值的定义，a和b各有两种可能值，结合的条件，排除不满足的情况，最后计算的值． 【详解】解：∵，， ∴ ，， 又∵， ∴只有，或，满足， 当，时，； 当，时，， ∴的值为8或18. 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）当 时，有最大值，最大值为 ． 【答案】 1 10 【分析】本题主要考查绝对值的非负性质，由，可得到，进而即可求解． 【详解】由，则， 所以， 故当时，有最大值，最大值为10． 故答案为：1，10． 【题型六】有理数比较大小 【例6】（25-26七年级上·广东·期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度 其中液化温度最低的气体是（） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 通过比较各气体的液化温度数值，找出最小的数，即为液化温度最低的气体． 【详解】解：∵， ∴， ∴液化温度最低的气体是氦气． 故选：A． 【变式6-1】（25-26七年级上·湖南·期末）比较大小： （用“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 将带分数转换为小数后比较两个负数的大小． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：>． 【变式6-2】（24-25七年级上·福建福州·期末），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是___________ 【答案】 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，先在数轴上表示出，，然后根据数轴特点比较大小即可． 【详解】解：，在数轴上的位置，如图所示： 根据数轴可知：. 【变式6-3】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是a和b，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____ 【答案】②③ 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值意义，根据有理数的运算法则判断结果符号.观察数轴上点A，B的位置，得出，，，再对每个结论进行判断. 【详解】解：∵观察数轴上点A，B的位置，得出，，， ∴，，， ∴②③正确. 【题型七】有理数混合运算 【例7】（25-26七年级上·上海·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4)16 (5) (6) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先通分，再根据分数的加减运算法则计算即可； （2）同分母分数相加，再根据整数与分数的加减运算法则计算即可； （3）先确定符号，再把小数变分式，除法变乘法，根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （4）先算括号里，再根据分数的乘除混合运算法则计算即可； （5）先算乘方，绝对值化简，再根据乘法运算法则计算即可； （6）先算括号里的数，再根据分数的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖北·期末）计算：(1) (2) (3) ． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)12 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题关键在于：严格按照有理数混合运算的顺序进行计算，即先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．按照有理数混合运算的顺序进行计算即可． 【详解】解(1)： (2) ． (3) ． 解： ． 【变式7-2】（25-26七年级上·黑龙江·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的加减法则进行计算即可； （2）先算乘方，再进行小括号内的计算，继而算乘除，最后进行加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式7-3】（25-26七年级上·湖南·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算； （1）先计算乘方和小括号里的计算，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型八】有理数的简便运算 【例8】（25-26七年级上·浙江台州·期末）计算： (1) (2)； (3)． (4)； (5) 【答案】(1)4 (2) (3) (4)25 (5) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及有理数乘方逆运算，解题的关键是熟练运用运算律和乘方逆运算法则． （1）利用加法结合律，将同分母的分数结合起来进行计算； （2）利用有理数乘方逆运算的法则进行计算即可． （3）有理数乘方逆运算 （4）利用乘法分配律计算即可； （5）根据乘法分配律进行计算即可； 【详解】(1) 解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ； （5） . 【变式8-1】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算的法则与加法的运算律解答即可； （2）利用有理数的加减混合运算的法则与加法的运算律解答即可； （3）利用有理数的加减混合运算的法则与加法的运算律解答即可； （4）利用有理数的加减混合运算的法则与加法的运算律解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算下列各题： (1) (2)； (3)； (4)． (5) ． 【答案】(1)9 (2)27 (3)11 (4) (5)7 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）将除法运算转化为乘法运算，再根据乘法分配律计算； （2）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）利用乘法分配律进行计算即可得解； （4）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． （5）先将带分数和小数都化成假分数，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：， ， ， ， ． （5）解：原式 ． 【变式8-3】（23-24七年级上·贵州·期末）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式． 解法②：原式． 解法③：原式的倒数．所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法__________是错误的；（填序号） (2)请你选择喜欢的解法计算：． 【答案】(1)① (2) 【知识点】倒数、有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查的是有理数的除法运算，有理数乘法的分配律的应用，熟练掌握运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）由除法没有分配律可判断解法①是错误的；； （2）利用题干解法③计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的，因为除法没有分配律，所以解法①没有计算依据，故错误， 故答案为：①； （2）解：原式的倒数 ， 故． 【题型九】有理数混合运算的应用 【例9】（25-26七年级上·湖南永州·期末）若a，b是有理数，定义一种新运算*：计算的值为 ． 【答案】13 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新运算的规则并代入计算． 根据新运算的定义，将代入公式计算即可． 【详解】解：根据新运算的定义，当时： ， 故答案为：13． 【变式9—1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是________ 【答案】100 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：当输入x的值为，则，， 输入x的值为4，则，， ∴输出的结果是100． 【变式9—2】（25-26七年级上·浙江·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 【答案】4 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了代数式的运算以及周期规律的探究，解题的关键是找出运算结果的周期规律． 按照运算程序依次计算输出结果，找出周期规律，再根据周期计算第2027次输出的结果． 【详解】解：根据运算程序，依次计算输出结果： 第1次输入（非负数），输出， 第2次输入（非负数），输出， 第3次输入（负数），输出， 第4次输入（非负数），输出， 第5次输入（负数），输出， 第6次输入（非负数），输出， 第7次输入（非负数），输出， 第8次输入（负数），输出， 从第3次开始，输出结果以为一个周期循环， 除去前2次的次数：， 一个周期有3个结果，，刚好整除， 说明第2027次输出的结果是周期的最后一个数4． 故答案为：4． 【变式9—3】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如下，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值 ． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查整数的加减运算，牢牢把握“每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等”这个已知条件是解题关键． 先算出最中间格子上的数，再算出右上角格子的数，最后可以得到x的值． 【详解】解：∵， ∴由得最中间格子上的数为， 再由得右上角格子的数为， ∴． 故答案为：． 【题型十】有理数的实际应用 【例10】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）武汉市某中学开展“跳蚤市场”爱心义卖活动，小明同学用账本记录了他一天的收支情况如下：（“”表示收入，“”表示支出，单位：元） (1)经过这一天的义卖活动后，小明的收支情况如何？ (2)义卖活动结束后，学校为评估每位学生参与的积极性，设定“经营活跃度”评分规则：经营活跃度所有交易金额的绝对值之和，请计算小明经营活跃度． 【答案】(1)元 (2) 【知识点】正负数的实际应用、求一个数的绝对值、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减法，关键是根据题意列出正确的算式； （1）将所给的正负数相加即可； （2）利用题目所给的计算方法计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， （元）， ∴小明收入元； （2）解：， ， ∴小明经营的活跃度为：． 【变式10-1】（25-26七年级上·广东潮州·期中）某“环保骑行”小队骑着电动自行车从基地出发，沿一条南北向的公路进行宣传．约定向北为正方向，当天各段骑行的路程（单位：千米）依次记录为： ，，，，，，， 请根据上述信息，解答下列问题： (1)骑行结束后，小队位于基地的哪个方向？与基地相距多少千米？ (2)已知骑行每千米平均耗电度： ①求这次骑行活动总共耗电多少度?（用含的代数式表示） ②当时，计算具体的耗电量． (3)在整个骑行过程中，小队是否曾回到过基地？如果没有，他们最远距离基地多少千米？ 【答案】(1)骑行结束后，小队位于基地南面，距离基地千米 (2)①度． ② (3)小队没有回到过基地，最远距离基地千米． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了数轴及正、负数的实际应用，准确的计算是解题的关键； （1）根据题意，将所记录的数据相加，据此可解决问题． （2）求出骑行的总路程即可解决； （3）依次求出每次离基地的距离即可解决问题． 【详解】（1）解：（千米）， ∴骑行结束后，小队位于基地南面，距离基地千米． （2）解：①骑行总路程为：（千米）， ∴这次骑行总耗电量为：度． ②当时，度． （3）解：计算每一次骑行的路：第一次后：，位于基地北面； 第二次后：，，位于基地北面； 第三次后：，，位于基地北面； 第四次后：，，位于基地北面； 第五次后：，，位于基地北面； 第六次后：，，位于基地北面； 第七次后：，，位于基地北面； 第八次后：，，位于基地南面． ∵计算结果中没有出现， ∴小队没有回到过基地， ∵， ∴最远距离基地千米． 【变式10-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）． 时刻 1 2 3 4 5 6 升降 0.8 0.6 0.5 (1)根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位； (2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？ (3)经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ 【答案】(1)第2个时刻该水库的实际水位是10.6 (2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7 (3)超过 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用原始水位加上表格中1时刻和2时刻的数据进行计算即可； （2）求出每个时刻的水位，进行判断即可； （3）由（2）中结果，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：第2个时刻该水库的实际水位是10.6； （2）的水位为， 第1时刻的水位为， 第2时刻的水位为， 第3时刻的水位为， 第4时刻的水位为， 第5时刻的水位为， 第6时刻的水位为， 答：在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7； （3）由（2）可知，6次水位升降后，实际水位为， ， 故水库的水位超过警戒线． 【变式10-3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）近几年，全球新能源汽车发展迅猛，尤其是我国新能源汽车的产销量大幅度增加．小亮家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表）．以为标准，超过记为“+”，不足记为“－”，刚好记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)小亮家这7天行驶的路程最多的一天比最少的一天多________千米； (2)求出小亮家新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小亮家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是多少元钱？ 【答案】(1)50 (2)400千米 (3)36元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减法的实际应用，理解题意并正确列式是关键． （1）用最大的数减最小的数即可； （2）7天以标准的总路程加上每天超过或不足部分的和； （3）求出的耗电量，再与每度电的价格相乘即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：50； （2）解：（千米）， 答：小亮家新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （3）解：（元）， 答：小亮家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是36元． 【题型十一】科学记数法 【例11】（22-23七年级上·河北邯郸·期末）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．若一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“32400000”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的形式为，其中，为整数．据此将原数32400000转换为科学记数法，即可作答 【详解】解：依题意，， 故选：C． 【变式11-1】（24-25七年级上·吉林白城·期末）2024年我国高考考生人数约为1353万，这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：万． 故选：． 【变式11-2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）据预测，2024年，中非贸易额达到2956亿美元，同比增长，中国连续16年保持非洲第一大贸易伙伴．将数据“2956亿”用科学记数法表示为___________ 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2956亿． 【变式11-3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）据某网站报道一粒废旧纽扣电池可以使600吨水受到污染，某校团委四年来发动全体团员同学共回收废旧纽扣电池3500粒．若这3500粒废旧纽扣电池可以使m吨水受到污染，用科学记数法表示_________ 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；先根据题意求出m的值，再用科学记数法表示出m即可． 【详解】解：由题意得，． 【题型一】带“非”字的有理数 【例1】（23-24七年级上·广西梧州·期末）在，，，，中，非负数个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了非负数的识别，解答本题的难点是正确理解“非负数”的含义．非负数包括正数和零，因此需要判断每个数是否大于或等于零，据此可得答案． 【详解】解：∵ 非负数是指大于或等于0的数， ∴，是非负数； ，不是非负数； ，是非负数； ，是非负数； ，不是非负数。 ∴ 非负数有2、1.5、0，共3个， 故选：C． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列各数：15，，0，．中 (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 【答案】(1)，，， (2) 15，0． (3) ，0． 【分析】本题主要考查了非负有理数的定义是解题的关键． (1) 明确非负有理数的定义，即正有理数和0，据此筛选出符合的数． (2) 明确非负整数的定义，即正整数和0，据此筛选出符合的数 (3) 明确非正整数的定义，即负整数和0，据此筛选出符合的数 【详解】非负有理数:． 非负整数15，0． 非正整数 ，0． 【题型二】数轴上的规律问题 【例2】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 根据题意可得4个数为一组循环，再由圆周上的点与重合，可得圆滚动到2024时，经过了个单位长度，即可求解． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度，则圆每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，即4个数为一组循环， ∵圆周上的点与重合， ∴圆滚动到2024时，经过了个单位长度， ∵， ∴圆周上的与数轴上的重合， 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， ∴翻转次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是． 故选C． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 【答案】1009或1006 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：1009或1006． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 【题型三】数轴上的动点问题 【例3】点在数轴的负半轴上且距离原点2个单位长度．将点沿数轴向左平移3个单位长度后得到点，那么点表示的数为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的位置，熟练掌握数轴上点移动距离的意义是解题的关键． 先根据点A的位置求出点A表示的数，再根据向左平移的规则求出点B表示的数即可． 【详解】解：点A在负半轴上且距离原点2个单位长度， 则点A表示的数为， 将点A向左平移3个单位长度得到点B， 则点B表示的数为 故选：B． 【变式3-1】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 【变式3-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 【变式3-3】（25-26七年级上·四川内江·月考）如图，数轴上点A表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点A的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点A、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点A的距离与点到点的距离之和为，则称点为点A、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点A、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1) (2) (3)点表示的数为或，或 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数是或，进而即可求出的值． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时． 【题型一】绝对值非负性 ·适用形式： ·求解方法： 【例1】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 【变式1—1】（24-25七年级上·重庆永川·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】 与互为相反数， 答案为：． 【变式1—2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）若，则的值为 【答案】16 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了非负数的性质、有理数的乘方运算等知识点，掌握几个非负数的和为0、则每个非负数均为0是解题的关键． 先根据非负数的性质求得a和b的值，然后再计算乘方即可． 【详解】解：∵， 、， ∴ 且 ， ∴，． ∴． 故答案为：16． 【题型二】相反数、倒数和绝对值的计算 ·适用形式：、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值 ·求解方法： 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）如果、互为相反数，、互为倒数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数、倒数、求代数式的值，解答本题的关键是明确相反数和倒数的定义． 根据、互为相反数，、互为倒数，可以得到，，然后即可计算出所求式子的值． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数， ，， ， 故答案为：． 【变式2—1】（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）若、互为相反数，、互为倒数，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据只有符号不同的两个数是相反数得到，根据乘积为1的两个数互为倒数得到，据此利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，x，y互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三】知字母取值范围，判断式子的大小 ·适用形式：已知，求、、等的大小 ·求解方法：赋特值 【例3】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）当时，，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、倒数、乘方的应用 【分析】本题主要考查绝对值，乘方，倒数，负数的大小关系，当时，为负数，需分别分析、、的值的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴是负数， 为的绝对值，恒为正，即， 为负数，且当接近时，，当接近时，趋向负无穷，故， 为的平方，恒为正，且， ∵为负数，和均为正数， ∴故且， 当时，平方后数值更小，即（例如时，）， ∴， 故选：D． 【变式3—1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如果，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的除法运算 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的除法运算，利用特值法假设，再进一步求解即可． 【详解】解：假设， 则，； ∴； ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $