精品解析：2026年山东省泰安市九年级数学阶段性学习检测题

初四数学阶段性学习检测题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．试题答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示几何体的主视图是图中的（　　） A. B. C. D. 3. 在人工智能技术飞速发展的当下，各类智能应用如雨后春笋般涌现．作为一款备受瞩目的工具，自年月日上线以来，便凭借其强大的功能和出色的表现，迅速在用户群体中收获极高人气．截至月日，其累计下载量已经突破亿次．若用科学记数法来表示亿，以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6. “以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片上(如图)，分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为（ ） A. B. C. D. 7. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正五边形 的边长为 ，以为边作等边，以A为圆心，长度 为半径画，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I取值范围是 10. 已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案） 11. 分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y=_______． 12. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标为_______． 13. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 15. 如图，矩形中，，点E、F分别边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答： （1）计算：． （2）先化简，再求值：其中a从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值； 17. 按教育部年月最新政策《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，中小学生每天在校综合体育活动时间不低于．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：组：；组：；组：；组：．请根据上述信息解答下列问题： （1）本次调查的人数是______人； （2）请根据题中的信息补全频数分布直方图； （3）组对应扇形的圆心角为______°； （4）现从组里体育成绩优异的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加校级体育节活动，每名同学被选中的可能性相等，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 18. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹． （2）理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形． （3）综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形． 19. 如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． （1）若修建斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号） 20. 固态电池是当下电池研发的新热点，中国某公司研发一种新固态电池，在实验室反复测试电池耗电与充电的稳定性，电池耗电过程中显示的剩余电量与耗电时间x（小时）的关系为一次函数，测试部分数据如下表： 耗电时间x（小时） 0 16 20 28 …… 显示的剩余电量 100 60 50 30 …… （1）根据上表，求显示的剩余电量与耗电时间x（小时）的函数关系式： （2）下图呈现了该电池的剩余电量与耗电时间x（小时）的函数关系：段对应电池满电状态下的第一次耗电实验；随后对该电池进行30分钟充电，对应图段；充电完成后进行第二次耗电实验，对应图段； ①依据图像信息：充电30分钟后显示的剩余电量为________； ②当该电池显示剩余电量值为60时，求两次耗电实验过程中对应时间x（小时）？ 21. 如图，是⊙的直径，是的中点，连接并延长到点，使，是的中点，连接并延长交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若交于点，连接，且，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如…都是“平衡点”． （1）直接写出函数图象上“平衡点”坐标_______． （2）若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求m的取值范围． （3）设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，点B在点C的左侧，且，求m，n的值． 23. 综合与探究 问题情境：如图，在矩形纸片中，是上的一点，连接，将矩形纸片沿着折叠，使得点的对应点落在边上．延长，交的延长线于点，连接． 猜想验证：（）试判断四边形的形状，并说明理由． 尝试应用：（）若，求长． 拓展延伸：（）如图，四边形为正方形，，，，分别为的中点，连接是边上的一点，连接，将沿着折叠，使点的对应点落在或上，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学阶段性学习检测题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．试题答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算各选项结果，判断符号，找出结果为负数的选项即可 【详解】A．，结果为正数，故本选项不符合题意； B．，结果为正数，故本选项不符合题意； C．， ，结果为负数，故本选项符合题意； D．，结果为正数，故本选项不符合题意； 2. 如图所示几何体的主视图是图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 找到从正面所得到的图形即可． 【详解】解∶从正面可看到，可得图形 故选∶D． 3. 在人工智能技术飞速发展的当下，各类智能应用如雨后春笋般涌现．作为一款备受瞩目的工具，自年月日上线以来，便凭借其强大的功能和出色的表现，迅速在用户群体中收获极高人气．截至月日，其累计下载量已经突破亿次．若用科学记数法来表示亿，以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】亿． 故选：C． 4. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算法则，合并同类项的运算法则，逐个进行判断，即可进行解答． 【详解】解：（1），故（1）不正确，同学判断正确； （2），不是同类项，不能相加减，故（2）不正确，同学判断正确； （3），故（3）不正确，同学判断正确； （4），故（4）不正确，同学判断错误； （5），故（5）不正确，同学判断正确； 综上：同学判断正确的有（1）（2）（3）（5），共4个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减． 6. “以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片上(如图)，分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定四个历史事件发生在新中国成立以后的事件，再通过列表法列出所有抽取两张卡片的等可能结果，最后计算符合条件的结果数占总结果数的比例． 【详解】解：设鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝分别用、、、表示，其中新中国成立以后的事件为（土地运动）、（抗美援朝）． 列表如下： 由表可知，总共有种等可能的结果．其中，所抽取卡片中的事件都发生在新中国成立以后的结果有：、，共种． ∴． 7. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解图示，正确列式是关键． 根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，由图形结合列式即可． 【详解】解：每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，且， ∴横轴方向，， 纵轴方向，， ∴方程组为， 故选：B ． 8. 如图，正五边形 的边长为 ，以为边作等边，以A为圆心，长度 为半径画，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，正多边形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正五边形的性质可得，再由等边三角形的性质可得，从而得到，再由扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：在正五边形中，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：B． 9. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 10. 已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数顶点坐标和经过点，利用顶点式求出参数关系，再结合m的范围确定a的范围，最后逐一判断各结论． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴当时，， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确； ∴对称轴为直线，即， ∴， 设二次函数为，代入点， 得， ∴． 代入点得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，值随值的增大而增大，故②错误； ∵，即， ∴， ∴，故结论④正确； 由对称性可得函数与x轴交于和， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当时，，故③错误． 综上，正确结论有①④共2个． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案） 11. 分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y=_______． 【答案】﹣2y（x﹣4）2 【解析】 【详解】试题分析：根据提取公因式以及完全平方公式即可求出：原式=﹣2y（x2﹣8x+16）=﹣2y（x﹣4）2 故答案为﹣2y（x﹣4）2 考点：因式分解 12. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到对应点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移规律“右加左减”原则计算即可． 【详解】解：将点向右平移个单位长度，平移后纵坐标不变，横坐标加上，所得对应点的坐标为，即． 13. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形，设点坐标，代入中计算求解，然后求出，，，的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形， 联立，得，解得：， ∴， ∴， 设，则有 解得或（舍去） ∴ 设，则有 解得或（舍去） ∴ 同理可得 ∴ ∴ 当时，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标规律探究，反比例函数与几何综合．解题的关键与难点在于求解的坐标，推导一般性规律． 15. 如图，矩形中，，点E、F分别边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ， ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故答案为：4． 三、解答题（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答： （1）计算：． （2）先化简，再求值：其中a从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值； 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，代入特殊三角函数值，再进行乘法和加减运算即可； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，取一个使分式有意义的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； ∵，， ∴且， ∴当时，原式． 17. 按教育部年月最新政策《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，中小学生每天在校综合体育活动时间不低于．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：组：；组：；组：；组：．请根据上述信息解答下列问题： （1）本次调查的人数是______人； （2）请根据题中的信息补全频数分布直方图； （3）组对应扇形的圆心角为______°； （4）现从组里体育成绩优异的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加校级体育节活动，每名同学被选中的可能性相等，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）400 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（）根据组的人数和百分比即可求出总人数； （）根据总人数和条形统计图即可求出组人数并补全； （）先算出组所占的百分比，再求出对应的圆心角； （）因为要计算从甲、乙、丙、丁四人中选甲和乙两名同学的概率，先通过列表列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙的结果数，最后用后者除以前者得到概率． 【小问1详解】 解：∵由图可知：组有人，占， ∴总人数为（人）； 【小问2详解】 解：组的人数为：（人）， 补全直方图如下： 【小问3详解】 解：组所占的百分比为， ∴组所对的圆心角为 【小问4详解】 解：列表法： 从甲、乙、丙、丁四人中选甲和乙两名同学，所有可能的组合为： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （甲，乙） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丙，丁） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 共有种可能，其中恰好选中甲和乙的组合只有种， 所以概率． 18. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹． （2）理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形． （3）综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）尺规作图找出AC的中点D，连结BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形． （2）利用“友好三角形”的定义得出，△ABC与△DEF为“友好三角形”． （3）过点B作BH⊥AE，垂足为H，先证明△ABH≌△ACD，则CD=HB．，依据三角形的面积公式可知S△ABE=S△CDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可． 【详解】（1）如图1所示，△ABD和△BCD是偏等积三角形； （2）如图2所示，△ABC和△DEF是偏等积三角形； （3）如图3所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H． ∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°， ∴∠HAC+∠DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°． ∴∠BAH=∠DAC． 在△ABH和△ACD中 ∵， ∴△ABH≌△ACD（AAS）， ∴BH=CD， ∵S△ABE=BH•AE，S△ACD=AD•CD， ∵AE=AD，CD=BH， ∴S△ABE=S△ACD， 又由图知，这两个三角形不全等， ∴△ACD与△ABE为偏等积三角形． 【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解并掌握偏等积三角形的概念，熟练掌握中垂线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点． 19. 如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． （1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】（1） 米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数求出所需长度是解题关键． （1）由题意可得，米，，利用锐角三角函数，分别求出米，米，再得出，进而得到米，即可求出平台的长； （2）在中，利用锐角三角函数，求出米，米，进而得出米，证明四边形是矩形，得到米，米，进而得出米，再利用锐角三角函数，求出米，即可求出建筑物的高度． 【小问1详解】 解：米，为中点， 米， 由题意可知，，， ， 在中，米，， 米，米， 斜坡的坡角为，即， ， 米， 米； 【小问2详解】 解：在中，米，， 米，米， 米， 米， 由（1）可知，米，米， 米， ，，， ， 四边形是矩形， 米，米， 米， 在中，，米， 米， 米． 20. 固态电池是当下电池研发的新热点，中国某公司研发一种新固态电池，在实验室反复测试电池耗电与充电的稳定性，电池耗电过程中显示的剩余电量与耗电时间x（小时）的关系为一次函数，测试部分数据如下表： 耗电时间x（小时） 0 16 20 28 …… 显示的剩余电量 100 60 50 30 …… （1）根据上表，求显示的剩余电量与耗电时间x（小时）的函数关系式： （2）下图呈现了该电池的剩余电量与耗电时间x（小时）的函数关系：段对应电池满电状态下的第一次耗电实验；随后对该电池进行30分钟充电，对应图段；充电完成后进行第二次耗电实验，对应图段； ①依据图像信息：充电30分钟后显示的剩余电量为________； ②当该电池显示剩余电量的值为60时，求两次耗电实验过程中对应时间x（小时）？ 【答案】（1） （2）①；②两次耗电过程中电量为时对应的时间分别为16小时和28.5小时 【解析】 【分析】（1）设一次函数，代入表格中两组值，解方程组求得函数关系式； （2）①代入求出第一次耗电至24小时时剩余电量，由图像得第二次耗电总时长，结合恒定耗电速率求出总耗电量，用第二次耗电结束电量加总耗电量，得充电后电量； ②第一次耗电：将代入（1）函数式求；第二次耗电：设同斜率一次函数，代入已知点求参数，再将代入求即可． 小问1详解】 解：设显示的剩余电量与耗电时间x的函数关系式为， 由表格数据，当时，， 当时，， 代入得： 解得： 剩余电量与耗电时间x的函数关系式为； 小问2详解】 ①由图可知，当时，， 即第一次耗电至24小时时剩余电量为， 已知充电时间为30分钟后进入第二次耗电阶段，段从开始，至时电量为， 由于耗电速率恒定（每小时），段总耗时24小时， 总耗电量为：， 故充电后初始电量为：， 即充电30分钟后显示剩余电量为； ②第一段耗电：当时， 解得：， 则即第一次耗电时，小时剩余电量为； 第二段耗电：设函数为， 代入得：， 解得： 令，则， ， 综上，两次耗电过程中电量为时对应的时间分别为16小时和28.5小时． 【点睛】本题考查一次函数实际应用，关键是确定函数表达式，结合场景分析分段函数，利用恒定耗电速率建立关系，从表格、图像提取数据求解． 21. 如图，是⊙的直径，是的中点，连接并延长到点，使，是的中点，连接并延长交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若交于点，连接，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先通过弧中点的性质结合垂径定理的推论得到，再利用三角形中位线定理证明，进而推出，结合切线的判定定理完成证明； （2）先根据已知半径求出的长度，通过全等三角形得到的长度，再用勾股定理求出的长度，最后利用直径所对圆周角为直角的性质，结合三角形等面积法求出的长度． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵是的直径，点是的中点， ∴，， 根据垂径定理得， 在中，，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， 又∵是的半径 ，∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵是⊙的切线，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，由勾股定理得， ∵是的直径， ∴，即， 由三角形面积公式得， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如…都是“平衡点”． （1）直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． （2）若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求m的取值范围． （3）设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，点B在点C的左侧，且，求m，n的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）联立和得：，则①，将代入得：②，得到，再分类求解即可． （3）求出点B、C的坐标分别为：、，由，即可求解． 【小问1详解】 解：令得：或1， 故“平衡点”坐标为或； 【小问2详解】 解：联立和得：，即， 则①， 将代入得：②， 联立①②并解得：，， 则， 该函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，， 当时，则函数在时取得最小值，在时，取得最大值1， 即， 则； 当时， 抛物线在时取得最大值1，在或m处取得最小值， 即，即， 当时，和关于对称，故也成立， 综上所述：； 【小问3详解】 解：令，则，则， 即，则，即点； 令， 解得：或， 即点B、C的坐标分别为：、， ∵，则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故． 23. 综合与探究 问题情境：如图，在矩形纸片中，是上的一点，连接，将矩形纸片沿着折叠，使得点的对应点落在边上．延长，交的延长线于点，连接． 猜想验证：（）试判断四边形的形状，并说明理由． 尝试应用：（）若，求的长． 拓展延伸：（）如图，四边形为正方形，，，，分别为的中点，连接是边上的一点，连接，将沿着折叠，使点的对应点落在或上，请直接写出的值． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（）利用矩形和折叠的性质先证明四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由可得，即得，进而得到，再根据得，进而即可求解； （）分点落在上和点落在上两种情况，分别画出图形，利用折叠和锐角三角函数解答即可求解． 【详解】解：（）四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （）由折叠的性质得，，， ∵四边形是矩形， ， ， ∴， ∴， ， 在中，， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， 解得； （）①如图，当点落在上时， 同理（）可得， 设，则， ， ； ②如图，当点落在上时， 由折叠的性质可得， ， ∴， ∴， ， ∴， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，锐角三角函数，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $