精品解析：2026年春季江苏省无锡市天一实验学校九年级数学作业检查试题

初三数学作业检查 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A B. C. 米可智能 D. 通义千问 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A： ，正确，符合题意； 选项B：，运算错误，不符合题意； 选项C： ，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，无法合并，运算错误，不符合题意． 4. 杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：清明时节雨纷纷，是随机事件， 故选：D． 5. 若一组数据3，4，5，，6，7的众数是6，则中位数是（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数的概念，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据众数概念推出，再根据中位数的概念求解，即可解题． 【详解】解：一组数据3，4，5，，6，7的众数是6， ， 则中位数， 故选：B． 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 内角和为 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项分析求解，即可解题． 【详解】解：矩形的对角线相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为 菱形的四条边都相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为 则矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每 株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由这批椽的数量，可得出每株椽的价钱为文，结合单价总价数量，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，且这批椽的数量为株， 每株椽的价钱为文． 根据题意得：． 故选：B． 9. 如图，已知顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题意可得，进而列方程求出，再根据反比例函数系数的几何意义求解即可． 【详解】解：设， ， ，， ， ，， ， 解得：， 顶点在函数的图象上， ， ． 10. 当，且时，称点与点为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（ ） A. 反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B. 二次函数的图象上没有“反射点” C. 若关于x的一次函数是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D. 若关于x的二次函数是“镜像函数”，则实数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，根据新定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； A、∵， 当点在反比例函数上时，则， ∵， ∴； ∴点的反射点，必定在反比例函数图象上， ∴反比例函数的图象上存在无数对“反射点”；原说法正确，不符合题意； B、对于，若点是反射点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故二次函数函数的图象上没有“反射点”； 原说法正确，不符合题意； C、∵是“镜像函数”， ∴图象上存在反射点与，即在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴一次函数图象与坐标轴的交点坐标为， ∴这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为；原说法正确，不符合题意； D、∵二次函数是“镜像函数”，则图象上存在反射点与， ∴，， ∴， ∴， ∴或， 当时，即，则不符合题意； ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时，不符合题意； 故；原说法错误，符合题意； 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 港珠澳大桥是中国最长，规模最大的跨海大桥，全长55000米．将55000用科学记数法表示应为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，根据科学记数法的表示形式（n为整数）即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】关于轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：点与点关于轴对称， ． 13. 写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式：_________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数图象经过第二、四象限可得，由此即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】先写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 15. 一个圆锥的侧面积为，底面圆半径为2，则该圆锥的母线长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设该圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面积公式得到方程，然后解方程即可求解． 【详解】 解：设该圆锥的母线长为l， 根据题意得：， 解得l=3， 即该圆锥的母线长是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 16. 已知正多边形的一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和内角综合，正多边形一个外角的度数和一个内角的度数之和为180度，再结合题意建立方程组求出一个外角的度数，再根据外角和为360度即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形一个内角度数为x，一个外角度数为y， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的一个外角的度数为， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：9． 17. 一辆轿车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，轿车恰巧出现故障，货车继续驶往甲地，轿车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系如图．货车的速度为______，轿车出发______时两车相距． 【答案】 ①. 60 ②. 或 【解析】 【分析】由图象可知，甲、乙两地的距离为，轿车和货车一起行驶了3小时相遇，则速度和为，再根据小时，轿车出现故障，货车继续驶往甲地，求出货车的速度．两车相距需分两种情况讨论：①在轿车出现故障前；②在轿车出现故障后． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两地的距离为， 则轿车和货车的速度和， 由图象可知，小时，轿车出现故障，货车继续驶往甲地， 则货车的速度， ①轿车出现故障前两车相距，则； ②在轿车出现故障后两车相距，货车独自行驶了， 则轿车和货车共同行驶了，行驶时间为， 即行驶总时间为， 综上可知，轿车出发或时两车相距． 18. 如图，已知，，，，点为的中点，则点与点之间的最小距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，则是的中位线，得到，连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点，证明四边形是菱形，过点作的延长线于点，在中，求出，，从而得出，则，进而求得的最小值，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 点为的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 过点作的延长线于点， ， 在中，，， ， ， ， 的最小值为， 即点与点之间的最小距离为． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 19. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂和算术平方根，再计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 20. 化简：，并从，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， 由题意得，，， 则，， ， 当时，原式． 21. 如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． （1）证明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到的度数，再由三角形外角的性质可得的度数，最后由可得答案． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有4种， 所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为． 23. 某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生人数为______人，并在图1中补全条形统计图； （2）请写出图2中研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是______； （3）若该校七年级共有1200名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数． 【答案】（1）100，见解析； （2） （3）人． 【解析】 【分析】（1）根据最喜欢去B地研学的学生人数和所占百分比求出调查的学生人数，进而求出最喜欢去A地研学的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用乘最喜欢去D地研学的学生人数占比求解即可； （3）用七年级学生人数乘以最喜欢去C地研学的学生人数占比求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 最喜欢去A地研学的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：， 即研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数为人． 24. 如图，以的边上的一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，． （1）求证：是的切线； （2）已知圆的半径，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线的判定、勾股定理、正弦函数等几何知识点及其应用问题，解题的关键是作辅助线，灵活运用切线的判定是关键． （1）连接，证明，得到，即可证明结论； （2）根据题意得到，设，则，根据勾股定理列出等式，解得，根据即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， 设，则， ， 是的切线， 中，， 即， 解得， ， ． 25. 如图，在中，是边上一点，点关于的对称点落在边上． 【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与； 【推理与计算】（2）以为圆心，为半径作，若点恰好落在上，且，，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）尺规作出的平分线交于点D，交于点即为所求； （2）根据题意证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，满足条件的与． （2）， ， 对称 的半径． 【点睛】此题考查了尺规作角平分线，相似三角形的性质和判定，等边对等角，圆的基础性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 26. 根据收集的素材，探索完成任务． 如何设计摇椅椅背有坐垫长度？ 素材一 某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，为焊接点，且与平行，支架、所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心．设计方案中，要求两点离地面高度均为5厘米，两点之间距离为70厘米． 素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度； （2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E点在竖直方向上至少高出12厘米． 任务一 计算底座半径 根据素材求底座半径． 任务二 探究摇摆规律 计算图3中点距离地面的高度． 任务三 设计椅背、坐垫长度 求椅背的长度范围． 【答案】任务一：半径为125厘米；任务二：点B距离地面的高度为厘米；任务三： 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理解三角形及解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 任务一、过点A作垂直于地面于点H，根据矩形的性质及勾股定理求解即可； 任务二、过点B作垂直地面，设厘米，则厘米，利用勾股定理即可得出结果； 任务三、过点F作，过点E作，利用余弦函数得出厘米，厘米，结合题意求解即可． 【详解】解：任务一、如图所示，过点A作垂直于地面于点H， 根据题意得，四边形为矩形，厘米， ∵A，B两点之间距离为70厘米， ∴厘米， 设厘米，则厘米， ∵， ∴， 解得：， ∴半径为125厘米； 任务二、过点B作垂直地面，如图所示： ∴四边形为矩形， 设厘米，则厘米， 根据题意得，即， 解得：， ∴点B距离地面的高度为厘米； 任务三、过点F作，过点E作，如图所示： ， ， ， 设厘米，则厘米， ∵椅背长度小于坐垫长度， ∴，即， 在中，厘米， 在中，厘米， ∵F点比E点在竖直方向上至少高出12厘米， ∴， 解得：， ∴； 27. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当线段最短时，求点的坐标； （3）当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【答案】（1） （2）点P的坐标为； （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 28. 如图，在四边形中，，是的中点，，的延长线交于点，在线段上取点、（点在、之间），使得．当点从点匀速运动到点处时，点恰好从点匀速运动到点处．设，，已知，当时，与重合． （1）求、的长； （2）若， ①连，当是以为腰的等腰三角形时，求的值； ②将绕点顺时针旋转得线段，当点落在四边形的内部时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）①或；②； 【解析】 【分析】（1）求出时，则，求出时，则，再结合已知条件得到，即可求出的长； （2）①连接，过点作于点，过点作于点，由勾股定理逆定理推出，利用三角形面积求出，根据的余弦值，求出，利用直角三角形的性质，得出，，再结合等腰三角形的定义分两种情况列方程求解即可； ②分两种情况讨论：当点落在边上时，过点作于点，交于点；当点落在边上时，过点作于点，利用全等三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点与点重合，点与点重合，此时， ， 当时，点与点重合，点与点重合，此时， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由（1）可知，，， ， ， 是直角三角形，且， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， 在中，，， 在中，，， ， 在中，， 是以为腰的等腰三角形， 或， 当时，则， ， 解得：； 当时，则， ， 解得：（舍），， 综上可知，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或； ②如图，当点落在边上时，过点作于点，交于点， 由①得，，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如图，当点落在边上时，过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当点落在四边形的内部时，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学作业检查 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 5. 若一组数据3，4，5，，6，7的众数是6，则中位数是（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 内角和为 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 7. 如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每 株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 10. 当，且时，称点与点为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（ ） A. 反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B. 二次函数的图象上没有“反射点” C. 若关于x的一次函数是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D. 若关于x的二次函数是“镜像函数”，则实数 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 港珠澳大桥是中国最长，规模最大的跨海大桥，全长55000米．将55000用科学记数法表示应为_________． 12. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为______． 13. 写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式：_________ 14. 命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 15. 一个圆锥的侧面积为，底面圆半径为2，则该圆锥的母线长为______． 16. 已知正多边形的一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是______． 17. 一辆轿车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，轿车恰巧出现故障，货车继续驶往甲地，轿车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系如图．货车的速度为______，轿车出发______时两车相距． 18. 如图，已知，，，，点为的中点，则点与点之间的最小距离为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 19. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 化简：，并从，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值． 21. 如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． （1）证明：； （2）若，，求的度数． 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 23. 某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查学生人数为______人，并在图1中补全条形统计图； （2）请写出图2中研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是______； （3）若该校七年级共有1200名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数． 24. 如图，以的边上的一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，． （1）求证：是切线； （2）已知圆的半径，，求的值． 25. 如图，在中，是边上一点，点关于对称点落在边上． 【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与； 【推理与计算】（2）以为圆心，为半径作，若点恰好落在上，且，，求的半径． 26. 根据收集的素材，探索完成任务． 如何设计摇椅椅背有坐垫长度？ 素材一 某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，为焊接点，且与平行，支架、所在直线交于圆弧形底座所在圆圆心．设计方案中，要求两点离地面高度均为5厘米，两点之间距离为70厘米． 素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度； （2）安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E点在竖直方向上至少高出12厘米． 任务一 计算底座半径 根据素材求底座半径． 任务二 探究摇摆规律 计算图3中点距离地面的高度． 任务三 设计椅背、坐垫长度 求椅背的长度范围． 27. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当线段最短时，求点的坐标； （3）当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 28. 如图，在四边形中，，是的中点，，的延长线交于点，在线段上取点、（点在、之间），使得．当点从点匀速运动到点处时，点恰好从点匀速运动到点处．设，，已知，当时，与重合． （1）求、的长； （2）若， ①连，当是以为腰的等腰三角形时，求的值； ②将绕点顺时针旋转得线段，当点落在四边形的内部时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $