精品解析：广西防城港市防城区那梭中学2021-2022学年九年级上学期期末模拟考试数学试题

广西防城港市防城区那梭中学2021-2022学年九年级上学期期末模拟考试数学试题 （范围：九年级数学上册全书 满分120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（　　） A. ﹣5 B. 2 C. 2或﹣5 D. 2或5 3. 下列关于图形旋转的特征说法不正确的是（ ） A. 对应线段相等 B. 对应角相等 C. 图形的形状不变 D. 图形的大小改变了 4. 抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（　　） A. x＝2 B. x＝1 C. D. x＝﹣1 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（　　） A. 必然事件发生的概率是1 B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 8. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. π D. 2π 9. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形网格中，△绕某一点旋转某一角度得到△，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 11. 如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）． A. AB⊥CD B. ∠AOB=4∠ACD C. D. PO=PD 12. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若(﹣5，y1)、(，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有(　　)个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线y＝﹣x2开口向_____． 14. 将绕点A逆时针旋转，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则的度数为____________． 15. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 16. 如图，已知四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠1=130°，则∠CDE=______度. 17. 如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）． 18. 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，求P点的坐标为___________. 三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）． （1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标； （2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）． 21. 某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 22. 在一个口袋中只装有4个白球和6个红球．它们除颜色外完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是______； （2）事件“从口袋中随机摸出一个球是黑球”发生的概率是______； （3）现从口袋中随机取走若干个红球，并放入相同数量的白球．充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是．求取走了多少个红球？ 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长． 24. 某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？ （3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为． （1）当点′恰好落在EF边上时，求旋转角的值； （2）如图2，G为BC的中点，且0°＜＜90°，求证：； （3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由． 26. 如图，抛物线与轴交于两点、与轴交于点，这条抛物线的顶点为． （1）求这条抛物线的解析式； （2）为线段上一点，过点向轴引垂线，垂足为．若点在线段上运动（点不与点B、M重合），设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； （3）在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西防城港市防城区那梭中学2021-2022学年九年级上学期期末模拟考试数学试题 （范围：九年级数学上册全书 满分120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（　　） A. ﹣5 B. 2 C. 2或﹣5 D. 2或5 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵x（x﹣5）＝2（x﹣5）， ∴x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0， 则（x﹣5）（x﹣2）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝5，x2＝2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 下列关于图形旋转的特征说法不正确的是（ ） A. 对应线段相等 B. 对应角相等 C. 图形的形状不变 D. 图形的大小改变了 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角进行判断即可． 【详解】解：A．旋转前后两图形全等，则对应线段相等，故选项Ａ说法正确，不符合题意； B．旋转前后两图形全等，则对应角相等，故选项B说法正确，不符合题意； C．旋转前后两图形全等，则图形的形状不变，故选项C说法正确，不符合题意； D．旋转前后两图形全等，则图形的形状大小不变，故选项D说法错误，符合题意． 4. 抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（　　） A. x＝2 B. x＝1 C. D. x＝﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式表达式即可解答． 【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线y＝2x2﹣4x+l的对称轴是直线x＝1． 故选B． 【点睛】本题主要是对一般形式中对称轴的求法．是一道基础题，需要同学们细心认真审题，对考点熟练掌握应用，达到举一反三的程度，深化理解知识点. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先算出，再判断该方程根的情况，据此即可作答． 【详解】解：， 则方程没有实数根． 6. 如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标得出函数的对称轴为，根据对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，得出抛物线与x轴另一个交点的横坐标的取值范围，即可得出的正数解的范围． 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴对称轴为， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是， ∴右侧交点横坐标的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的对称轴找出图象与x轴右侧交点横坐标的取值范围，是解题的关键． 7. 下列说法错误的是（　　） A. 必然事件发生的概率是1 B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 【答案】C 【解析】 【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1 【详解】A、必然事件发生的概率是1，正确； B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C、概率很小的事件也有可能发生，故错误； D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选C． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0. 8. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. π D. 2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题． 【详解】∵∠BCD=30°， ∴∠BOD=60°， ∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2， ∴阴影部分的面积是：， 故选B． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 9. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 故选：D． 10. 如图，在正方形网格中，△绕某一点旋转某一角度得到△，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心． 【详解】解：如图， △绕某点旋转一定的角度，得到△， 连接、、， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 三条线段的垂直平分线正好都过， 即旋转中心是． 故选：． 11. 如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）． A. AB⊥CD B. ∠AOB=4∠ACD C. D. PO=PD 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理及圆周角定理可直接解答． 【详解】解：∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径， ∴AB⊥CD，， ∵OA=OB，即△AOB是等腰三角形， ∴∠AOB=2∠AOP． ∵∠AOP=2∠ACD， ∴∠AOB=2∠AOP=2×2∠ACD=4∠ACD． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理和圆周角定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 12. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若(﹣5，y1)、(，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有(　　)个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝﹣1时，y＜0，则得到a﹣2a+c＜0，则可对③进行判断；通过点(﹣5，y1)和点(，y2)离对称轴的远近对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①正确； ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝2a， ∴a﹣2a+c＜0，即﹣a+c＜0，所以③正确； ∵点(﹣5，y1)离对称轴要比点(，y2)离对称轴要远， ∴y1＞y2，所以④正确． 故答案为D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，灵活运用二次函数解析式和图像是解答本题的关键．. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线y＝﹣x2开口向_____． 【答案】下 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式可确定其开口方向． 【详解】解：抛物线y＝﹣x2的中a=-1＜0，所以开口向下. 故答案为：下 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向由二次项系数的正负决定是解题的关键． 14. 将绕点A逆时针旋转，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质，等边对等角求角度是解题的关键． 由旋转的性质可知，，，则，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∵点B，C，D恰好在同一直线上， ∴， 故答案为：． 15. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点P（m-1，5）与点Q（3，2-n）关于原点对称， ∴m-1=-3，2-n=-5， 解得：m=-2，n=7， 则m+n=-2+7=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 16. 如图，已知四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠1=130°，则∠CDE=______度. 【答案】65 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得到∠A=∠1=65°，然后根据圆内接四边形的性质即可得到∠CDE的度数． 【详解】∵∠A=∠1=×130°=65°， ∴∠CDE=∠A=65°. 故答案为65. 【点睛】此题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题关键在于掌握圆周角定理. 17. 如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【详解】过D点作DF⊥AB于点F． ∵AD=2，AB=4，∠A=30°， ∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2． ∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积 =. 故答案为：. 18. 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，求P点的坐标为___________. 【答案】（-3，0） 【解析】 【详解】连接AQ,AP, 根据切线的性质定理,得AQ⊥PQ, 要使PQ最小,只需AP最小, 则根据垂线段最短,则作AP⊥x轴于P,即为所求作的点P, 此时P点的坐标为(－3,0),故答案为: (－3,0). 三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程运用直接开平方法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）． （1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标； （2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）． 【答案】（1）如图，点A1的坐标（6，1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转图形的作法，画出△A1B1C1； （2）根据弧长公式可求点B旋转到点B1所经过的路径长． 【详解】解：（1）如图： ∴点A1的坐标（6，1） （2）点B旋转到点B1所经过的路径长==. 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式． 21. 某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】（1）10%；（2）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x， 根据题意得，200(1﹣x)2＝162， 解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）200(1﹣5%)(1﹣15%)＝161.5＜162 ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 22. 在一个口袋中只装有4个白球和6个红球．它们除颜色外完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是______； （2）事件“从口袋中随机摸出一个球是黑球”发生的概率是______； （3）现从口袋中随机取走若干个红球，并放入相同数量的白球．充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是．求取走了多少个红球？ 【答案】（1） （2）0 （3）4个 【解析】 【分析】本题考查了概率的实际应用．掌握概率的求法是解题的关键． （1）直接利用概率公式解答即可； （2）根据口袋中没有黑球，即可解答； （3）设取走了x个红球，则放入白球的数量也为x个，利用概率公式，列出方程，解答即可． 【小问1详解】 解：事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵口袋中没有黑球， ∴事件“从口袋中随机摸出一个球是黑球”发生的概率是0； 故答案为：0． 【小问3详解】 解：设取走了x个红球，则放入白球的数量也为x个，根据题意得： ， 解得：， 答：取走了4个红球． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长． 【答案】（1）见解析；（2）DF= 【解析】 【分析】（1）可证得BD是⊙O的直径，∠BCE=∠BDE，则∠BDE+∠FDE=90°，结论得证； （2）先求出AC长，再求DE长，在Rt△BCD中求出BD长，在Rt△BED中求出BE长，证得△FDE∽△DBE，由比例线段可求出DF长． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE， ∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠BDE+∠FDE＝90°， 即∠BDF＝90°， ∴DF⊥BD， 又∵BD是⊙O的直径， ∴DF是⊙O的切线． （2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝2×4＝8， ∴， ∵点D是AC的中点， ∴， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°， ∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°， ∴， 在Rt△BCD中， ， 在Rt△BED中，， ∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE， ∴∠FDE＝∠DBE， ∵∠DEF＝∠BED＝90°， ∴△FDE∽△DBE， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题． 24. 某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？ （3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元；（3）当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元． 【解析】 【分析】（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以20，再把80加上就是平均月销售量； （2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可； （3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的x值及最大利润． 【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20× ∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60） （2）由题意得： （x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800 解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去） 答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元． （3）设每月获得的利润为w元，由题意得： w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450 ＝﹣2（x﹣65）2+2000 ∵﹣2＜0 ∴当x≤65时，w随x的增大而增大 ∵30≤x≤60 ∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950 答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元． 【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性． 25. 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为． （1）当点′恰好落在EF边上时，求旋转角的值； （2）如图2，G为BC的中点，且0°＜＜90°，求证：； （3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）∠α=30°（2）见解析（3）旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与∠DCD′全等 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得CE=CH=1，即可得出结论； （2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，则∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D； （3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°． 【详解】解：（1）∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′， ∴CE=CH=1， ∴△CEH为等腰直角三角形， ∴∠ECH=45°， ∴∠α=30°； （2）证明：∵G为BC中点 ∴CG=1 ∴CG=CE ∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′ ∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG ∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α 在△GCD′和△E′CD中 ∵CD′=CD，∠GCD=∠DCE′，CG=CE′ ∴△GCD′≌△E′CD（SAS） ∴GD′=E′D； （3）解：能． 理由如下： ∵四边形ABCD为正方形 ∴CB=CD ∵CD′=CD′ ∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=（360°-90°）÷2=135° 当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°，则α=360°﹣90°÷2=315° 即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等． 26. 如图，抛物线与轴交于两点、与轴交于点，这条抛物线的顶点为． （1）求这条抛物线的解析式； （2）为线段上一点，过点向轴引垂线，垂足为．若点在线段上运动（点不与点B、M重合），设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； （3）在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）在线段BM上存在点N，使为等腰三角形，点N的坐标为：． 【解析】 【分析】（1）把，代入，求出，的值，即可求出二次函数的解析式． （2）由于四边形不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形和直角梯形两部分进行计算．先求出直线的解析式，然后将代入直线的解析式中即可求出的长，然后根据梯形的面积计算公式即可求出梯形的面积．然后根据四边形的面积计算方法即可得出S，t的函数关系式． （3）可分三种情况进行讨论：①；②；③．可根据直线的解析式设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式表示出各线段的长，根据上面不同的等量关系式可得出不同的方程，经过解方程即可得出N点的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由知，顶点， 令，得 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 所以，直线的解析式为 ∵当时，； ； 即 【小问3详解】 解：存在． 点N在上，设N点坐标为， 则， 或 为等腰三角形，有以下三种可能： ①若，则 解得（舍去）． 则． ②若，则 解得． 舍去． ③若，则 解得 综上所述，在线段BM上存在点N，使为等腰三角形，点N的坐标为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $