第6章 §6 6.3 球的表面积和体积（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦球的表面积和体积核心知识点，从生活情境（圆锥形杯子与半球形冰激凌）导入，通过思考球的形成与截面性质过渡到知识梳理，结合例题、跟踪训练巩固公式应用，构建“情境-探究-应用”的学习支架。 资料特色在于以问题驱动培养数学思维，如用“数学眼光”观察截面圆与球半径关系，用“数学思维”推导体积公式应用（如钢珠体积计算）。课中例题解析助教师教学，课后跟踪训练及祖暅原理拓展帮学生查漏补缺，提升应用意识与创新能力。

6．3　球的表面积和体积 新课导入 学习目标 如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？ 1.了解球的结构和性质． 2．掌握球的表面积与体积公式，并能应用公式解决问题． 3．会解决与球有关的截面、简单组合体问题． 思考1　球也是旋转体，它是由什么平面图形旋转得到的？ 提示：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体． 思考2　用任一平面去截球，截面是什么？ 提示：圆面． [知识梳理] 1．球的截面 (1)球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆； (2)被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆； (3)设截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，球的半径为R，则r＝． 2．球的切线 (1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点； (2)过球外一点的所有切线的切线长都相等，这些切点的集合是以点O′为圆心、O′A为半径的圆，圆面O′及所有切线围成了一个圆锥． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)过球外一点有且只有一条切线与球相切．(　　) (2)球面上的任意三点确定一个平面．(　　) (3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．过半径为1的球O外一点P作球O的切线，若OP＝2，则切点所在平面与所有切线所围成的几何体的侧面积为________． 解析：由球的切线性质可知，切点所在平面与所有切线所围成的几何体为圆锥，又因为球O的半径为1，OP＝2，所以圆锥底面半径为，母线长为，所以其侧面积S＝π××＝. 答案： (1)球的任意一个截面都是圆面． (2)球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且过球心． [知识梳理] 1．球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S球面＝4πR2． 2．球的体积：设球的半径为R，则球的体积V球＝πR3． 点拨　球的表面积公式与体积公式的联系：V球＝S球R.　 [例1] (1)用平面α截一个球，所得到的截面面积为π，若球心到这个截面的距离为，则该球的表面积为(　　) A．4π B．8π C．16π D．28π (2)(2025·南阳期末)在一个底面直径为12 cm，高为18 cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12 cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13 cm，则球型小钢珠的半径为________cm. 【解析】　(1)由于截面面积为π，故截面圆的半径为r＝1，又球心到这个截面的距离为h＝，故球的半径为R＝＝2，故球的表面积为4πR2＝16π. (2)设球型小钢珠的半径为R cm，上升水柱的体积V＝πr2·h＝36π(cm3)， 所以V球＝πR3＝36π，所以R3＝27，即R＝3. 【答案】　(1)C　(2)3 (1)球的基本量是球的半径，由半径可以求出球的表面积和体积，反过来，由表面积和体积也可以求出球的半径，进而解决其他问题． (2)球的表面积之比是半径比的平方，球的体积之比是半径比的立方． [跟踪训练1] (1)已知三个球的体积之比为1∶27∶64，则它们的表面积之比为(　　) A．1∶3∶4 B．1∶18∶48 C．1∶27∶64 D．1∶9∶16 解析：选D.设三个球的半径分别为r1，r2，r3，则由题意知πr∶πr∶πr＝1∶27∶64，所以r1∶r2∶r3＝1∶3∶4，故表面积之比为4πr∶4πr∶4πr＝1∶9∶16. (2)已知两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________． 解析：设大、小球的半径分别为r1，r2，由题意得 整理得两式相除得＝r1－r2＝2，这两个球的半径之差为2. 答案：2 [例2] 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的半径． 【解】　因为AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三角形，B＝90°. 因为球心O在截面△ABC上的投影O′为截面圆的圆心，即是Rt△ABC的外接圆的圆心， 所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示). 设O′C＝r，OC＝R，则球的半径为R，截面圆半径为r， 在Rt△O′CO中，由题设知 sin ∠O′CO＝＝， 所以∠O′CO＝30°，所以＝cos 30°＝， 即R＝r，① 又2r＝AC＝30，所以r＝15，代入①得R＝10. 所以球的半径为10. (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系式r＝. 利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题平面化的主要途径． 　 [跟踪训练2] 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积． 解：当截面 在球心的同侧时，如图1所示为球的轴截面， 由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2. 设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π， 所以O2B＝7 cm.同理，得O1A＝20 cm. 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，① 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，② 联立①②可得x＝15，R＝25. 所以S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，故球的表面积为 2 500π cm2. 当截面在球心的两侧时，如图2所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm. 因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm. 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，③ 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72，④ 联立③④可得x＝－15，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2 500π cm2. [例3] (1)(对接教材例7)某圆柱形容器内盛有8 cm高的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则一个球的体积为(　　) A．π cm3 B．π cm3 C．π cm3 D. π cm3 (2) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为______cm2. 【解析】　(1)设球的半径为R，则一个球的体积为πR3，故3×πR3＋πR2×8＝πR2×6R，解得R＝4，故一个球的体积为π×43＝π (cm3).故选B. (2) 如图，设球的半径为R cm，则正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，所以42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5， 所以球的表面积为S表面积＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2). 【答案】　(1)B　(2)100π 处理与球有关的组合体问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点，球的直径与几何体的体对角线间的关系，再依据题中数量关系将其转化为平面问题求解． 　 [跟踪训练3] 如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的，球的半径为R.正四棱柱的底面边长为2R，高为7R.正四棱台的上、下底面边长分别为4R和6R，斜高(即侧面梯形的高)为3R.则这种型号的奖杯的表面积为________．(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计) 解析：球的表面积为4πR2. 正四棱柱的表面积为(2R)2×2＋2R×7R×4＝64R2. 正四棱台的表面积为(6R)2＋(4R)2＋4×(4R＋6R)×3R＝112R2. 故这种型号的奖杯的表面积为112R2＋64R2＋4πR2－2×(2R)2＝168R2＋4πR2. 答案：168R2＋4πR2 拓视野 祖暅原理与柱体、锥体的体积 祖暅(5世纪—6世纪)是南北朝时期伟大的数学家，在数学领域做出了突出的贡献．他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，“势”即高，“幂”即面积，后人称为“祖暅原理”，用现代语言描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． 代数语言为：如图，平面α∥平面β，两个几何体T1，T2夹在α与β之间，任意平面γ∥α(或γ∥β，γ可以与α或β重合). 平面γ截T1，T2的截面面积分别为S1与S2，若S1＝S2，则VT1＝VT2. 简记为等高(势)等面(幂)等体积(容). [典例] 一个上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(　　) A．　　B．16 C．18 D．21 【解析】　由“祖暅原理”知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等， 因为正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，设上底面面积为S1，下底面面积为S2，高为h，则S1＝6××1×1×＝，S2＝6××2×2×＝6，h＝＝2， 所以V＝(S1＋＋S2)h＝××2＝21， 所以该不规则几何体的体积为21. 【答案】　D [练习] 根据祖暅原理，现在要用3D打印技术制造一个零件，其在高为h的水平截面的面积为S＝π，则该零件的体积为________． 解析：该零件在高为h的水平截面的面积为S＝π，其总与一个半径为5，高为5的圆锥在高为h处的水平截面面积相等， 由祖暅原理，该零件的体积即为圆锥的体积×25π×5＝. 答案： 1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　) A．R B．2R C．3R D．4R 解析：选D.设圆柱的高为h，则πR2h＝3×πR3，解得h＝4R.故选D. 2．若一个球的体积为4π，则它的表面积为(　　) A．3π B．9π C．12π D．36π 解析：选C.设球的半径为R，依题意有πR3＝4π，所以R＝， 所以球的表面积为S＝4πR2＝12π.故选C. 3．(教材P256习题6－6T2改编)若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的______倍，表面积变为原来的________倍． 解析：球的半径为R时，球的体积为V1＝πR3，表面积为S1＝4πR2， 半径增加为2R后，球的体积为V2＝π×(2R)3＝πR3，表面积为S2＝4π×(2R)2＝16πR2. 所以＝＝8，＝＝4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍． 答案：8　4 4．已知球O的一个截面的面积为2π，球心O到该截面的距离比球的半径小1，求球O的表面积． 解：依题意设截面圆的半径为r，球的半径为R，因为截面的面积为2π，所以r＝，又(R－1)2＋r2＝R2，即(R－1)2＋()2＝R2，解得R＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×()2＝9π. 1．已学习：球的性质、球的表面积与体积、球的截面、球的简单组合体． 2．须贯通：利用球的性质解决球的表面积与体积问题． 3．应注意：球的表面积与体积公式记错而致误． 　 学科网（北京）股份有限公司 $