第6章 §6 6.2 柱、锥、台的体积（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦柱体、锥体、台体的体积计算核心知识点，从书堆放置等生活实例入手，通过长方体、圆柱体积公式推测柱体体积公式，进而延伸至锥体、台体公式，构建从具体到抽象的知识支架，融入等体积法、割补法等解题方法。 资料以生活实例导入培养数学眼光，通过分层例题（如圆柱侧面展开体积计算）和高考真题训练发展数学思维，方法总结（如等体积法求高）提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固公式应用，查漏补缺。

6．2　柱、锥、台的体积 新课导入 学习目标 　　 取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积的变化？ 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式． 2．会利用柱体、锥体、台体的体积公式求有关几何体的体积． 思考　长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式． 提示：V长方体＝abc(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)，V正方体＝a3(a为正方体的棱长)，V圆柱＝πr2h(r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高)，根据这些体积公式可知，设柱体的底面面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh. [知识梳理] 几何体 公式 说明 柱体 V柱体＝Sh S为柱体的底面积，h为柱体的高 锥体 V锥体＝Sh S为锥体的底面积，h为锥体的高 台体 V台体＝(S上＋S下＋)h S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高 角度1　柱体的体积 [例1] (1)(多选)已知圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　) A． cm3 B． cm3 C．288π cm3 D．192π cm3 (2)已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为(　　) A．4∶π B．π∶4 C．π∶2 D．2∶π 【解析】　(1)当圆柱的高为8 cm时，V＝π××8＝(cm3)；当圆柱的高为12 cm 时，V＝π××12＝(cm3).故选AB. (2)设正方体的棱长为a，则圆柱的高为a，设圆柱的底面半径为R，则正方体的侧面积为4a2，圆柱的侧面积为2πRa，所以4a2＝2πRa，所以R＝， 所以正方体和圆柱的体积之比为a3∶(πR2·a)＝a3∶＝π∶4.故选B. 【答案】　(1)AB　(2)B 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量． [跟踪训练1] 一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝12，当底面ABC水平放置时，水面的高为9.如图，若平面AA1B1B水平放置时，水面与棱AC交于点D，确定点D在棱AC上的位置，并说明理由． 解：设直三棱柱形容器中所盛水的体积为V水，三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V棱柱． 当底面ABC水平放置时，有＝＝， 当平面AA1B1B水平放置时，设水面与棱BC交于点E， 则＝＝1－＝， 所以＝，而△ABC∽△DEC， 所以＝＝. 所以＝，D为AC中点． 角度2　锥体的体积 [例2] 已知Rt△ABC按照斜二测画法画出的直观图A′B′C′如图所示，其中B′C′＝4，A′B′＝2. (1)画出Rt△ABC的原图形并求其面积； (2)若以Rt△ABC的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积． 【解】　(1) 由斜二测画法，原图形中AB＝2A′B′＝4，BC＝B′C′＝4，Rt△ABC的原图形如图所示，所以S△ABC＝BA·BC＝×4×4＝8. (2)以Rt△ABC的边BA为旋转轴旋转一周，所得几何体为底面半径为4，高为4，母线长为4的圆锥，故所得几何体的体积为V＝Sh＝π×42×4＝π. (1)锥体的体积公式V＝Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥． (2)正棱锥、圆锥体积的求法 ①正棱锥、圆锥体积用公式求出，即先求出底面积和高，再求体积． ②正棱锥计算要注意运用直角三角形． ③圆锥体积的计算要充分运用轴截面，找出底面半径、母线和高的关系． 　 [跟踪训练2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 解析：选B.设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×即2＝，故r＝3， 故圆锥的体积为π×9×＝3π. (2)在正四棱锥P­ABCD中，AB＝1，PA＝2，则该四棱锥的体积是________． 解析： 过点P作PO⊥平面 ABCD，则O为正方形ABCD的中心，连接AC，BD，易知AC∩BD＝O.因为AB＝1，所以OA＝，又PA＝2， 所以OP＝＝＝， 则四棱锥P­ABCD的体积V＝·AB2·OP＝×12×＝. 答案： 角度3　台体的体积 [例3] (对接教材例5)如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，AB＝8，A1B1＝2，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为V1，V2，则＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　设正四棱台的高为h，易知在题图1中，中间液面四边形的边长为5，在题图2中，中间液面四边形的边长为6， 则V1＝(64＋25＋)·＝， V2＝·＝， 所以＝. 【答案】　D 台体的体积计算公式是V＝(S上＋S下＋)h，其中S上，S下分别表示台体的上、下底面积，h为台体的高．在求解相关量时，应充分利用台体中有关的直角梯形、直角三角形．另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算． 　 [跟踪训练3] (2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台甲、乙的母线长分别为2，3，则圆台甲与乙的体积之比为________． 解析：由题可得两个圆台的高分别为 h甲＝＝， h乙＝＝2(r2－r1)， 因为两个圆台的上、下底面半径分别相等， 所以＝＝＝＝，即V甲∶V乙＝∶4. 答案：∶4 [例4] 如图，已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1­D1EF的体积． 【解】　由题意可知V三棱锥A1­D1EF＝V三棱锥F­A1D1E， 因为S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2， 又三棱锥F­A1D1E的高为CD＝a， 所以V三棱锥F­A1D1E＝a·a2＝a3， 所以V三棱锥A1­D1EF＝a3. 母题探究　本例中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1­EBFD1的体积． 解：因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝＝a，D1F∥EB，所以四边形EBFD1是菱形，则△EFB≌△EFD1. 因为三棱锥A1­EFB与三棱锥A1­EFD1的高相等，所以V四棱锥A1­EBFD1＝2V三棱锥A1­EFB＝2V三棱锥F­EBA1. 又因为S△EBA1＝EA1·AB＝a2， 所以V三棱锥F­EBA1＝a3， 所以V四棱锥A1­EBFD1＝2V三棱锥F­EBA1＝a3. 求几何体体积的常用方法 　 [跟踪训练4] (1)(2024·天津卷)在如图五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间的距离均为1.若AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A． B．＋ C． D．－ 解析：选C. 用一个完全相同的五面体HIJ­LMN(顶点与五面体ABC­DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，L；E，M；F，N重合，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离均为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，V五面体ABC­DEF＝V三棱柱ABC­HIJ＝××1×1××4＝. (2)在传统木匠中，木楔子是一种常见的工具，它使得榫卯配合的牢固程度最大化，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其底面ABCD是一个矩形，其中AB＝4，BC＝3，EF＝2，EA＝ED＝FB＝FC＝，EF∥AB，则该木楔子的体积为________． 解析：如图， 分别过点E，F作AB，CD的垂线，垂足分别为G，H，M，N，连接GM，HN，则AG＝DM＝NC＝HB＝1，EG＝EM＝FH＝FN＝＝3，取GM的中点O，连接EO，因为EG＝EM，所以EO⊥GM，则EO＝＝，所以V四棱锥E­AGMD＝V四棱锥F­HBCN＝×1×3×＝，V三棱柱GME­HNF＝×3××2＝，所以该木楔子的体积V＝V四棱锥E­AGMD＋V四棱锥F­HBCN＋V三棱柱GME­HNF＝. 答案： 1．(教材P256练习T1改编)已知一个圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，体积为56π，则该圆台的高为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选D.设该圆台的高为h，上、下底面半径分别为r，R.由圆台的体积公式V＝(r2＋R2＋rR)h，得×(22＋42＋8)h＝56π，解得h＝6.故选D. 2．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 解析：选D. 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________． 解析：S△DD1E＝×1×1＝，又点F到平面DD1E的距离为1，所以V三棱锥D1­EDF＝V三棱锥F­DD1E＝S△DD1E×1＝. 答案： 4．将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为3 cm，圆心角为，则圆锥的体积是__________cm3. 解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝×3，得r＝1(cm)，h＝＝2(cm)，所以圆锥的体积为×π×12×2＝(cm3). 答案： 1．已学习：柱体、锥体、台体的体积公式，等体积法、割补法求几何体的体积． 2．须贯通：等体积法、割补法求几何体体积，利用等体积法可以用来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高． 3．应注意：(1)注意区分棱锥、棱台的高与斜高； (2)由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误． 学科网（北京）股份有限公司 $