第6章 §6 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦柱、锥、台的侧面展开与面积计算核心知识点，系统梳理圆柱、圆锥、圆台等旋转体及直棱柱、正棱锥、正棱台等多面体的侧面展开图特征，推导侧面积与表面积公式，构建从基础几何体到组合体的递进式学习支架。 该资料以钻石晶体等实例导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过展开图推导公式培养数学思维，结合陀螺、帐篷等问题训练数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾公式推导与应用，弥补知识盲点。

§6　简单几何体的再认识 6．1　柱、锥、台的侧面展开与面积 新课导入 学习目标 金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中天然存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体．金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石．如图就是一块正八面体的钻石．如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？ 1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图． 2．掌握柱体、锥体、台体的侧面积的求法． 3．掌握简单多面体与组合体的侧面积与表面积的求法． 思考1　如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？ 提示： 圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱的底面半径，l为母线长． 思考2　如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？ 提示： 圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl＝πrl，所以S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长． 思考3　如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？ 提示： 圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长， 外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，＝，解得x＝l，S扇环＝S大扇形－S小扇形＝(x＋l)×2πR－x·2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)， 其中r，R分别是上、下底面半径，l为母线长． [知识梳理] 1．侧面积 把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积 简单几何体 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 S圆柱侧＝2πrl， 其中r为圆柱底面半径，l为母线的长 圆锥 S圆锥侧＝πrl， 其中r为圆锥底面半径，l为母线的长 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l， 其中r1，r2分别为圆台上、下底面半径，l为母线的长 [例1] (1) 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AB＝1，BC＝，DC＝2.将直角梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为(　　) A．2π＋5π　　　　B．π＋5π C．11π D．6π＋5π (2)已知圆柱的轴截面是边长为a的正方形，圆锥的轴截面是边长为b的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则＝______． 【解析】　(1)由题可知，该旋转体为上底面半径r1＝1，下底面半径r2＝2， 母线长l＝2的圆台，则该圆台的表面积 S＝π＝11π. (2)依题意，圆柱的底面圆半径为a，母线长为a，表面积S＝2π·＋2π·a·a＝a2， 圆锥底面圆半径为b，母线长为b，表面积S′＝π·＋π·b·b＝b2， 由S＝S′，得b2＝2a2，所以＝. 【答案】　(1)C　 (2) 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的展开图； (2)依次求出各个平面图形的面积； (3)将各平面图形的面积相加． [跟踪训练1] (1)已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 解析：选C.因为该圆台的侧面积为100π，母线长l＝10，R＝4r，所以π(r＋4r)×10＝100π，解得r＝2，则R＝8. (2) 不锈钢实心陀螺现在成为一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图所示．现已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为______． 解析：该陀螺的表面积包括底面圆面积、圆柱的侧面积和圆锥的侧面积， 因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8，则底面圆面积为π×82＝64π， 因为圆柱的高为6，所以圆柱的侧面积为2×8π×6＝96π， 根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，得圆锥母线长为＝10， 所以圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，所以该陀螺的表面积为64π＋96π＋80π＝240π. 答案：240π [知识梳理] 简单几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch， 其中c为棱柱的底面周长，h为棱柱的高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′， 其中c为棱锥的底面周长，h′为棱锥的斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c1＋c2)h′，其中c1，c2分别为棱台的上、下底面周长，h′为棱台的斜高，即侧面等腰梯形的高 [例2] (1)如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线BE1＝2，则它的表面积为(　　) A．3＋16 　　　B．12＋16 C．12＋24 　　　D．3＋24 (2)已知某正四棱台形石墩的上、下底面边长分别为40 cm，58 cm，侧棱长为41 cm，则该石墩的侧面积为________cm2. 【解析】　(1)因为正六棱柱的底面边长为2，体对角线BE1＝2，则高为BB1＝＝2， 它的表面积为S表＝2S底＋6S矩形ABB1A1＝2×6××2×2×sin ＋6×2×2＝12＋24. (2)设a＝40，b＝58，l＝41，可得正四棱台的斜高为h′＝＝＝40， 所以该石墩的侧面积为S＝4×(a＋b)h′＝2×(40＋58)×40＝7 840(cm2). 【答案】　(1)C　(2)7 840 (1)多面体的侧面积 ①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长． ②棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼接而成的，则侧面积为各个三角形面积的和． ③棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和． (2)多面体的表面积 ①棱柱的表面积S表＝S侧＋2S底． ②棱锥的表面积S表＝S侧＋S底． ③棱台的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底． [跟踪训练2] (1)底面边长为2，且侧棱长为2的正四棱锥的侧面积为(　　) A．20 B．16 C．24 D．6 解析：选C. 由正四棱锥底面边长为2，则斜高为PH＝＝3，侧面积为S＝×3×2×4＝24. (2)已知长方体的三个不同表面的面积分别为2，2，，则长方体的对角线长为________． 解析：设长方体的相邻的三条棱长为a，b，c，因为长方体的三个不同表面的面积分别为2，2，， 所以解得所以长方体的对角线长为l＝＝2. 答案：2 [例3] 某家庭为了外出露营， 特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知·＝2，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　 如图，设正六棱柱底面边长为a，侧棱长为c，由题意可知AB＝2a，c＝2a， 则可知正六棱柱的侧面积为6a·2a＝12a2. 设正六棱锥侧棱长为b， 则·＝b2cos ∠APB＝b2·＝b2－2a2， 又·＝2＝a2，所以b2－2a2＝a2，解得b2＝a2， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为＝. 【答案】　B 组合体表面积的求解策略 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响． (2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化． [跟踪训练3] (1)已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为__________． 解析：轴截面 如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有＝， 所以R＝2r，圆锥的母线长l＝R， 所以＝＝＝＝＝－1. 答案：－1 (2) 如图是一种机器零件，零件下面是正六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)，上面是圆柱(尺寸如图，单位：mm).电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11 kg，问电镀10 000个零件需要用锌多少？(结果精确到 0.01 kg．参考数据：π≈3.14，≈1.732) 解：因为圆柱的侧面积S1＝2π×3×25＝150π≈471(mm2)，棱柱的表面积S2＝12×5×6＋2×6××12×12×≈1 108.224(mm2)， 所以该机器零件的表面积 S＝S1＋S2＝1 579.224(mm2). 则10 000个零件的表面积为15 792 240 mm2＝15.792 24 m2， 所以需要用锌的质量为15.792 24×0.11≈1.74(kg). 故电镀10 000个零件需要用锌1.74 kg. 1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的矩形，则该圆柱的侧面积为(　　) A．12π B．8π C．6π D．4π 解析：选D.设圆柱的底面半径为r，则高为，所以圆柱的侧面积为2πr·＝4π.故选D. 2．已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的侧面积为(　　) A．32 B．48 C．64 D． 解析：选A. 如图所示，在正四棱锥P­ABCD中，连接AC，BD交于点O，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P­ABCD的高，PE为斜高，则OE＝PE，因为OE＝AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32.故选A. 3．若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为________． 解析：设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，由勾股定理可得R－r＝＝5. 因为r∶R＝3∶8，所以r＝3，R＝8. S侧＝π(r＋R)l＝π×(3＋8)×13＝143π， 则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π. 答案：216π 4．(教材P253T1改编)若正四棱柱的底面积为4 cm2，其体对角线和底面成45°角，则此正四棱柱的表面积是________cm2. 解析： 如图，正四棱柱的底面是正方形，面积是4 cm2，则AB＝AD＝2 cm，BD＝2 cm，因为正四棱柱的体对角线和底面成45°角，D1D⊥底面ABCD，所以∠DBD1＝45°，所以DD1＝DB＝2 cm，所以正四棱柱的表面积为22×2＋2×2×4＝8＋16(cm2). 答案：8＋16 1．已学习：柱体、锥体、台体的侧面积公式，旋转体的侧面积和表面积． 2．须贯通：简单多面体的侧面积与表面积，组合体的侧面积与表面积． 3．应注意：(1)对于组合体的表面积易重复计算拼接面； (2)在计算正棱台与正棱锥的侧面积时，注意区分高与斜高． 　 学科网（北京）股份有限公司 $