第6章 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 1.D 2.B　如图所示，设圆台上底面的半径为r1，下底面的半径为r2，圆台的高为AE＝h，所以AB＝2h，由题意得（2r1＋2r2）×h＝6，所以（r1＋r2）×h＝6，所以这个圆台的侧面积是π（r1＋r1）×2h＝2π（r1＋r2）h＝12π.故选B. 3.D　∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长c＝6×3＝18，又∵侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高h＝4，∴棱柱的侧面积S＝ch＝72，故选D. 4.C　如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，所以S三棱锥＝4××（a）2＝2a2，S正方体＝6a2，故S三棱锥∶S正方体＝1∶. 5.ABD　圆台的轴截面是等腰梯形，D正确；设圆台母线长为l，又圆台侧面展开图圆心角是180°，即π，所以l＝＝20，A正确；表面积为S＝π×102＋π×202＋π（10＋20）×20＝1 100π，B正确；高h＝＝10，C错误.故选A、B、D. 6.AC　如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，连接SH，则SH⊥AB，设底面边长为2a，连接OH，则OH＝a，由题意知，∠SHO＝30°，∴OS＝a，SH＝a.在Rt△SAH中，a2＋（ a）2＝21，解得a＝3米，∴底面边长为6米，SH＝2米，故S侧面积＝×6×2×4＝24（米2）.故选A、C. 7.6π　解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2π×12＝2π，S侧＝2π·2＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π. 8.3π　解析：设圆锥母线长为a，结合三角形面积计算公式，得到S＝a2sin 60°＝，解得a＝2（负值舍去），所以底面半径r＝1，底面积S底＝πr2＝π，所以侧面积S侧＝πra＝2π，所以圆锥的表面积为3π. 9.　解析：方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，设侧面梯形的高为h，则由题意得×（3＋6）×h×4＝32＋62，解得h＝. 10.解：（1）以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底面半径是4 cm，下底面半径是16 cm，母线DC＝＝13（cm）. ∴该几何体的表面积为π×（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π（cm2）. （2）以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示.其中圆锥的高为16－4＝12（cm），由（1）可知圆锥的母线DC长为13 cm，又圆柱的母线AD长为4 cm，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π（cm2）. 11.C　如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心.因为O1为PO2的中点，所以＝＝＝，所以PA＝AB，O2B＝2O1A.又因为S小圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧＝π·（O1A＋O2B）·AB，则＝＝. 12.ABD　设圆锥的底面圆心为O，则SO＝1，底面半径r＝，所以母线长l＝＝2，故圆锥的侧面积是πrl＝2π，故选项A正确；因为A，B是底面圆周上两个动点，则SA为圆锥的一条母线，又SO与底面圆垂直，则∠SAO即为SA与底面的夹角，在Rt△SAO中，tan∠SAO＝＝，所以SA与底面的夹角是，故选项B正确；设∠ASB＝α，则0≤α≤，且SA＝SB＝2，所以S△ABC＝×22×sin α，所以当α＝时，△SAB的面积最大，最大为2，故选项C错误；设该圆锥内接圆柱的底面半径为x（0＜x＜），高为h，则有＝，可得h＝1－，则圆柱的侧面积为S侧＝2πx（ 1－）＝2π（ －＋x），由二次函数的性质可知，当x＝时，S侧取最大值，最大值为2π［－＋］＝，故选项D正确.故选A、B、D. 13.12＋4　解析：如图，S正方形GEMH＝×＝2，S△EFG＝×××sin 60°＝，而余下的几何体的表面积等于6个正方形GEMH的面积加上8个△EFG的面积，故所求几何体的表面积为2×6＋×8＝12＋4. 14.解：如图，设正六棱柱的底面边长为a， 侧棱长（即正六棱柱的高）为h，易知CF'是正六棱柱的一条最长的体对角线，即CF'＝13，所以CF'＝＝＝13. ① 因为正六棱柱的侧面积为180， 所以S侧＝6a·h＝180. ② 联立①②，解得或负值舍去. 当a＝6，h＝5时，正六棱柱的底面积S底＝6×a2＝54. 所以S表＝180＋2×54＝180＋108. 当a＝，h＝12时，正六棱柱的底面积S底＝6×a2＝， 所以S表＝180＋2×＝180＋. 综上，该正六棱柱的表面积为180＋108或180＋. 15.B　如图所示，取A1B1的中点N，连接BN，MN，易知平面BCMN为过B，C，M的平面，则所得的三棱台为A1NM-ABC，其中上、下底面均为等腰直角三角形，三个侧面均为梯形.则S△ABC＝×4×4＝8，＝×2×2＝2，＝×（2＋4）×5＝15，＝×（2＋4）×5＝15，S梯形BNMC＝×（2＋4）×＝3，据此可知三棱台的表面积为25＋15＋3.故选B. 16.解：（1）由题意可知，圆锥的母线长l为＝2R， 所以该圆锥的表面积为πR（R＋l）＝3πR2. （2）如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x， 易知△PBC∽△PAO，所以＝， 即＝，解得OC＝（R－x）， 正四棱柱的底面是一个正方形，其底面边长为x，底面积为2x2， 所以正四棱柱的表面积为S＝2×2x2＋4×x×（R－x）＝（4－4）x2＋4Rx， 由二次函数的基本性质可知，当x＝＝时，正四棱柱的表面积S有最大值，且Smax＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 1.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，侧面矩形的对角线长为4，则这个棱柱的表面积是（　　） A.8 B.16 C.8＋12 D.8＋16 2.已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（　　） A.6π　　B.12π　　　C.2π　　　D.2π 3.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（　　） A.12 B.48 C.64 D.72 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（　　） A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2 5.〔多选〕圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的（　　） A.母线长是20 B.表面积是1 100π C.高是10 D.轴截面为等腰梯形 6.〔多选〕攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则（　　） A.正四棱锥的底面边长为6米 B.正四棱锥的底面边长为3米 C.正四棱锥的侧面积为24米2 D.正四棱锥的侧面积为12米2 7.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为　　　　. 8.若一个圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则这个圆锥的表面积为　　　　. 9.正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为　　　　. 10.如图所示，已知直角梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求： （1）以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积； （2）以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 　　 11.圆锥的中截面（过高的中点且平行于底面）把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为（　　） A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 12.〔多选〕已知圆锥的顶点为S，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（　　） A.圆锥的侧面积是2π B.SA与底面的夹角是 C.△SAB面积的最大值是 D.该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为 13.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，棱AB，AD，AA'的中点分别为E，F，G，首先截去三棱锥A-EFG，类似地，再截去另外7个三棱锥，则余下的几何体的表面积为　　　　. 14.正六棱柱的一条最长的体对角线长是13，侧面积为180，求此正六棱柱的表面积. 15.《九章算术·商功》有这样一道题目：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺.”所谓堑堵，就是两底面为直角三角形的直棱柱.如图所示的几何体是一个“堑堵”，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（　　） A.40　　　　　　　 B.25＋15＋3 C.50 D.30＋20＋3 16.一个圆锥的底面半径为R，高为R， （1）求圆锥的表面积； （2）求圆锥内接正四棱柱的表面积的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $