第6章 §5 5.1 直线与平面垂直（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦直线与平面垂直这一核心知识点，系统梳理定义、性质定理、判定定理，衔接直线与平面的夹角及距离问题，构建从生活实例导入到抽象定义、定理推导再到应用的完整学习支架。 通过旗杆影子、矩形纸片对折等生活实例培养数学眼光，结合符号与图形语言强化数学表达，例题与跟踪训练渗透逻辑推理的数学思维。课中实验与思考助学生直观理解，课后分层训练便于巩固知识、查漏补缺。

§5　垂直关系 5．1　直线与平面垂直 新课导入 学习目标 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象，今天我们有必要对线面垂直做进一步的研究． 1.理解直线与平面垂直的定义及直线与这个平面夹角的定义． 2．掌握直线与平面垂直的性质定理、判定定理． 3．应用直线与平面垂直的性质定理、判定定理解决问题． 思考　如图， 在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？那么AB与不过点B的任意一条直线B′C′的位置关系又如何呢？ 提示：旗杆AB所在直线与影子BC所在直线始终保持垂直．AB与B′C′也垂直，即可得到旗杆AB所在直线与地面上的任意一条直线都垂直． [知识梳理] 1．直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α． 直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足． 2．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 [例1] 如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：DF∥平面ABC. 【证明】　取AB的中点G，连接FG，CG，如图所示，可得FG∥AE，FG＝AE. 因为CD⊥平面ABC， AE⊥平面ABC，AE＝2a， CD＝a，所以CD∥AE， 且CD＝AE，所以FG∥CD，FG＝CD， 所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG. 又因为CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC， 所以DF∥平面ABC. (1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，要注意理解直线的任意性，如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直． (2)已知一条直线和某个平面垂直，若能证明这条直线和另一条直线平行，可证明另一条直线和这个平面垂直，证明的关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面． 注意　证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质． 　 [跟踪训练1] (1)(多选)已知a，b，l为直线，α为平面，下列说法正确的是(　　) A．若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内任一直线 B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α 解析：选AC.由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错误；C显然正确；D中，a可能在α内，故D错误． (2)已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1(C，D异于点O)，则BD＝__________． 解析： 如图，连接OD， 因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD， 所以＝. 因为OA＝AB，所以＝. 因为AC＝1，所以BD＝2. 答案：2 二　直线与平面的夹角Ｋ 思考　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面直至铅笔与桌面垂直的过程中，铅笔和桌面的夹角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面的夹角怎样定义？ 提示：铅笔和它在桌面上的投影的夹角． [知识梳理] 1.定义：如图，一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A称为斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影．平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹角． 2．规定：一条直线垂直于平面，称它们的夹角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，称它们的夹角是0°. 3．范围：直线与平面的夹角θ的范围是0°≤θ≤90°． [例2] (对接教材例2)(1)如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线B1C与底面ABC夹角的正切值为________． (2) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设AC的中点为O，则OD1与平面ABCD夹角的正切值为________． 【解析】　(1)因为BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC为斜线B1C在底面ABC上的投影，所以∠B1CB为直线B1C与底面ABC的夹角，所以tan ∠B1CB＝＝. (2)连接OD(图略)，因为D1D⊥平面ABCD，OD⊂平面ABCD，所以OD为斜线OD1在底面ABCD上的投影，所以∠D1OD是OD1与平面ABCD的夹角，设正方体棱长为a，则DD1＝a，OD＝a，所以tan ∠D1OD＝＝. 【答案】　(1)　(2) 求斜线与平面夹角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面上的投影，作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再连接垂足和斜足，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面的夹角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算． 　 [跟踪训练2] (1)若一个正四棱锥的侧棱和底面边长均为1，则该正四棱锥的侧棱和底面的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选B.设正四棱锥为P－ABCD，连接底面对角线AC，设AC中点为O，连接PO(图略)，又因为P－ABCD是正四棱锥，所以PO⊥底面ABCD，∠PAO即为侧棱PA和底面 ABCD 的夹角，易知△PAO为等腰直角三角形，所以∠PAO＝45°，故选B. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D. 如图，BB1与平面ACD1的夹角等于DD1与平面ACD1的夹角，在三棱锥D-ACD1中，由三条侧棱均相等得点D在底面ACD1上的投影为等边三角形ACD1的中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1的夹角，设正方体的棱长为a，则cos ∠DD1H＝＝＝.故选D. 思考　数学实验1：将一张矩形纸片沿AB对折后略微展开，竖立在桌面上，我们可以观察到折痕AB与桌面垂直．如图1所示． 数学实验2：如图2，将一张矩形纸片沿AB对折后略微展开，使DB，BF在桌面内，观察折痕AB还与桌面垂直吗？ 提示：不垂直． [知识梳理] 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α [例3] 如图， AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 【证明】　(1)因为AB为⊙O的直径， 所以AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， 所以PA⊥BM， 又因为PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，所以BM⊥平面PAM， 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN， 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，所以AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB. 又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，所以PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB. 证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义． (2)线面垂直的判定定理． (3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． [跟踪训练3] 如图， 在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以易证△ADS≌△BDS. 所以∠SDA＝∠SDB＝90°，所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC. 思考1　若直线l∥平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等吗？ 提示：相等． 思考2　若平面α∥平面β，则平面α内的各点到平面β的距离相等吗？ 提示：相等． [知识梳理] 1．直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离． 2．平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离． [例4] 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.求： (1)点B1到平面A1BCD1的距离； (2)B1C1到平面A1BCD1的距离． 【解】　(1) 如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，所以BC⊥B1E. 因为BC∩A1B＝B，BC，A1B⊂平面A1BCD1，所以B1E⊥平面A1BCD1， 所以线段B1E的长即为所求．在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝， 所以点B1到平面A1BCD1的距离为. (2)因为B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，所以B1C1∥平面A1BCD1.所以点B1到平面A1BCD1的距离即为所求， 所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为. 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． [跟踪训练4] (1)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，直线AA1到平面BCC1B1的距离为________． 解析： 过点A作AD⊥BC于点D，由正三棱柱的性质，得CC1⊥AD，而BC，CC1⊂平面BCC1B1，且BC∩CC1＝C，所以AD⊥平面BCC1B1， 又AA1∥平面BCC1B1，所以AD即为AA1与平面BCC1B1之间的距离，易得AD＝. 答案： (2)已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，如果AB＋CD＝28，且AB，CD在β内投影长分别为5和9，则平面α与平面β间的距离为________． 解析： 如图，作AE⊥β，CF⊥β，连接BE，DF，由题意可知，BE＝5，DF＝9， 设AB＝x，CD＝28－x，0<x<28，则x2－25＝(28－x)2－81，解得x＝13， 所以平面α与平面β间的距离为 AE＝＝12. 答案：12 1．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面(　　) A．有且只有一个 B．可能存在，也可能不存在 C．有无数多个 D．一定不存在 解析：选B.当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个；当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．故选B. 2．(多选)已知a，b为直线，α为平面，下列命题正确的是(　　) A．⇒b⊥α B．⇒b∥α C．⇒a⊥b D．⇒a∥b 解析：选ACD.对于A，a∥b，a⊥α，则b⊥α，A正确； 对于B，a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，B错误； 对于C，b∥α，则存在过直线b与平面α相交的平面，令交线为c，于是b∥c， 由a⊥α，c⊂α，得a⊥c，因此a⊥b，C正确； 对于D，a⊥α，b⊥α，则a∥b，D正确． 3．若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为__________． 解析： 如图，因为AC⊥α，BD⊥α，所以AC∥BD，又AC＝3，BD＝5，EF为中位线，EF∥AC，所以EF⊥α，EF＝(AC＋BD)＝4. 答案：4 4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面BCC1B1夹角的正弦值是________． 解析： 如图，设E为BC的中点，连接AE，B1E.易得AE⊥BC，且B1B⊥平面ABC， 因为AE⊂平面ABC， 所以B1B⊥AE， 又B1B∩BC＝B，B1B，BC⊂平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1， 故∠EB1A为AB1与侧面BCC1B1的夹角，因为正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，所以sin ∠EB1A＝＝＝. 答案： 1．已学习：直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的性质定理、直线与平面垂直的判定定理、直线与平面的夹角． 2．须贯通：直线与平面垂直的判定定理体现了“线线垂直→线面垂直”的转化过程；求直线与平面夹角的步骤：一作、二证、三求、四答，其中作出线面角是关键，而确定斜线在平面上的投影是作角的突破口． 3．应注意：“平面内两条相交直线”在判断定理中的关键作用． 　 学科网（北京）股份有限公司 $