第6章 §5 5.2 平面与平面垂直（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦平面与平面垂直核心知识点，从二面角的定义、平面角概念入手，通过生活实例引入，系统梳理面面垂直的定义、性质定理及判定定理，构建从概念理解到定理应用的学习支架。 该资料以“开门夹角”等生活实例培养数学眼光，通过“作证求”步骤训练数学思维，结合符号与图形语言强化数学表达。例题与跟踪训练结合，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，有效查漏补缺。

5．2　平面与平面垂直 新课导入 学习目标 　　我们知道，两条直线互相垂直，则它们的夹角是直角，一条直线与一个平面相互垂直，那么线面角为直角．由此能不能猜测：若两个平面相互垂直，则这两个平面的夹角也是直角呢？ 1.理解二面角及其平面角的概念，能判断图形中的已知角是否为二面角的平面角． 2．掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角． 3．掌握平面与平面垂直的性质定理、判定定理，能运用性质定理解决一些简单问题． 如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”．在门开大的过程中，会给人两个平面“夹角”变大的感觉． 思考　把门开大一些“夹角”变大，是指哪个角变大？ 提示：是门和门框所在墙的夹角，可以用题图中的∠AOB进行刻画． [知识梳理] 1．半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面． 2．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． (2)图形和记法 记作：二面角α­AB­β或α­l­β． 3．二面角的平面角 (1)定义：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角． (2)图形、符号及范围 ①图形： ②符号：⇒∠AOB是二面角α­l­β的平面角． ③范围：0°≤∠AOB≤180°. (3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角称为直二面角． [例1] (对接教材例9) 如图，三棱锥P­ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6.求二面角P­BC­A的正弦值． 【解】　取BC的中点D，连接PD，AD. 因为PB＝PC，所以PD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面PAD，所以BC⊥平面PAD，因为AD⊂平面PAD，所以BC⊥AD. 所以∠PDA即为二面角P­BC­A的平面角． 因为PB＝PC＝BC＝6， 所以PD＝×6＝3. 因为PA⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以PA⊥AD，所以sin ∠PDA＝＝＝， 即二面角P­BC­A的正弦值是. 解决二面角问题的策略 (1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点． (2)求二面角的大小的步骤： 一作：即先作出二面角的平面角； 二证：即证明所作角是二面角的平面角； 三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”． [跟踪训练1] (1)(多选)(2025·淮北期末)从空间一点P向二面角α­l­β的两个面分别作垂线PE，PF，E，F为垂足．若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的大小为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：选BD. 对于点P与二面角α­l­β的位置关系分两种情况，如图1，图2， ∠EPF与二面角的平面角相等或互补，故二面角的大小为60°或120°. (2)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A­BD­P的大小为________． 解析： 过点A作AM⊥BD，垂足为M，连接PM，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，所以BD⊥平面PAM，又PM⊂平面PAM，所以BD⊥PM，则∠AMP为二面角A­BD­P的平面角． 在Rt△ABD中，AM＝＝， 所以tan ∠AMP＝＝，得∠AMP＝30°， 所以二面角A­BD­P的大小为30°. 答案：30° 思考1　如果两个平面α，β互相垂直，直线l在平面β内，那么直线l与平面α有怎样的位置关系？ 提示：可能平行，可能相交，也可能在平面α内． 思考2　在思考1条件下，当直线l满足什么条件时，它与平面α垂直． 提示：当直线l垂直于两平面的交线时，它与平面α垂直． [知识梳理] 1．平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β． 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 [例2] 如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，BD与AC交于点G，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE. 【证明】　 如图所示，连接EG，FG.由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE. 又 EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC. 又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥平面ACEF， 又CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF. 又BD∩EG＝G，BD，EG⊂平面BDE，所以CF⊥平面BDE. 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直． 　 [跟踪训练2] 如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 证明：(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.因为AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因为BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 因为AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，所以AD⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 建筑工人在砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直． 思考　由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？ 提示：垂直． [知识梳理] 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β [例3] (对接教材例8)已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，且AB＝BC＝2CD.求证：平面ADE⊥平面ABE. 【证明】　取BE，AE的中点分别为M，N，连接MN，MC，ND，如图所示． 因为AB⊥平面BCE，CM⊂平面BCE，故CM⊥AB. 因为△BCE为正三角形，故CM⊥BE. 又AB，BE⊂平面ABE，AB∩BE＝B， 故CM⊥平面ABE. 在△ABE中，M，N分别为BE，AE的中点，故MN为△ABE的中位线， 故MN＝AB，MN∥AB. 因为AB∥CD，且CD＝AB， 故MN＝CD，MN∥CD，则四边形MNDC为平行四边形，则DN∥CM， 故DN⊥平面ABE，又DN⊂平面ADE， 故平面ADE⊥平面ABE. 证明面面垂直常用的方法 (1)定义法：即证明两个半平面所成的二面角是直二面角． (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”． (3)性质法：两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于此平面． 　 [跟踪训练3] 如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AC，PA＝6，BC＝8.设D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，且DF＝5. 求证：平面DEF⊥平面ABC. 证明：由PA⊥AC，D，E分别为棱PC，AC的中点，得DE∥PA， 且DE＝PA＝3，所以DE⊥AC. 又F为棱AB的中点，所以EF＝BC＝4， 又DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2， 所以DE⊥EF. 又EF∩AC＝E，EF，AC⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC，又DE⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABC. [例4] 如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上一点． (1)当OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在一点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 【解】　(1)证明：由题意可得O为AD1的中点， 又因为OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1， 所以OE∥BD1，又因为O为AD1的中点， 所以E为AB的中点． (2)存在，当AE＝时，平面D1DE⊥平面AD1C.理由如下： 如图，设AC∩DE＝F.因为四边形AA1D1D为正方形， 所以D1D⊥AD， 又因为平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D， 所以D1D⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以D1D⊥AC. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝BC＝1， 当AE＝时，在Rt△ADE中，tan ∠ADE＝＝， 在Rt△ABC中，tan ∠BAC＝＝，所以∠ADE＝∠BAC， 又因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°， 所以∠ADE＋∠DAC＝90°，则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE. 又因为DE∩D1D＝D，DE，D1D⊂平面D1DE，所以AC⊥平面D1DE， 又因为AC⊂平面AD1C， 所以平面D1DE⊥平面AD1C. 在解决垂直问题的过程中，要注意平面与平面垂直的判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意面面垂直和线面垂直的互相转化；当垂直关系较多时，要仔细辨别，垂直关系转化时要严格对照定理条件加以验证；判断线面、面面的垂直关系时，必须给出严格的推理过程，不能仅凭图形直观做出判断． 　 [跟踪训练4] (2025·抚州月考)在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC. (1)若AB⊥BC，求证：平面A1BC⊥平面AA1B1B； (2)若平面A1BC⊥平面AA1B1B，求证：AB⊥BC. 证明：(1)因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC. 又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面AA1B1B，所以BC⊥平面AA1B1B. 又BC⊂平面A1BC， 所以平面A1BC⊥平面AA1B1B. (2)如图，过A作AD⊥A1B于点D. 因为平面A1BC⊥平面AA1B1B，平面A1BC∩平面AA1B1B＝A1B，AD⊂平面AA1B1B，所以AD⊥平面A1BC. 又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以AA1⊥BC. 又AD，AA1⊂平面AA1B1B，AA1∩AD＝A， 所以BC⊥平面AA1B1B. 又AB⊂平面AA1B1B，所以AB⊥BC. 1．已知直线m，n，平面α，β，满足α∩β＝n且α⊥β，则“m⊥β”是“m⊥n”的(　　) A．充分不必要条件　B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为α∩β＝n，所以n⊂β，又因为m⊥β，所以m⊥n， 即“m⊥β”是“m⊥n”的充分条件． 如图，在长方体中，设平面ABCD为平面α，平面BCEF为平面β，则m⊥n，且m与β不垂直，即“m⊥β”不是“m⊥n”的必要条件． 所以“m⊥β”是“m⊥n”的充分不必要条件． 故选A. 2．(多选)(教材P245T1改编)已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是(　　) A．若α∥β，l∥β，则l∥α B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若α⊥β，l∥β，则l⊥α 解析：选BC.对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l⊂α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确； 对于C，若l⊥α，l∥β，过l作平面γ与β相交，设交线为m，如图，因为l∥β，l⊂γ，β∩γ＝m，则l∥m， 因为l⊥α，则m⊥α，因为m⊂β，故α⊥β，故C正确； 对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确．故选BC. 3.如图，在三棱锥P­ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________． 解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC， 又PA⊂平面PAC， 所以PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝. 答案： 4．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC，AB＝2AA1，若D为AB的中点，则二面角A1­CD­C1的平面角的度数是________． 解析：如图 所示，设D1为A1B1的中点，连接DD1， 则DD1∥AA1∥CC1， 故DD1⊂平面DC1C. 由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB. 又CD⊥AA1，且AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面A1ABB1，故CD⊥平面A1ABB1， 又A1D，DD1⊂平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为二面角A1­CD­C1的平面角． 因为AB＝2AA1，所以∠A1DD1＝45°.所以二面角A1­CD­C1的平面角的度数是45°. 答案：45° 1．已学习：二面角以及二面角的平面角、平面与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的判定定理． 2．须贯通：若所给题目的条件中有面面垂直的条件，则一般要注意观察是否有垂直于两平面交线的垂线．若有，则利用性质定理转化为线面垂直、线线垂直；若没有，则一般也要利用性质定理作交线的垂线，转化为线面、线线垂直． 3．应注意：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $