第六章 5.2 第一课时 平面与平面垂直的性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

5．2　平面与平面垂直 第一课时　平面与平面垂直的性质 [素养目标]　1.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义．　2.能借助教材实例掌握平面与平面垂直的性质定理．　3.能利用平面与平面垂直的性质定理证明与垂直相关的问题，理解空间中直线、平面垂直的内在联系．　4.培养学生数学抽象、逻辑推理的学科素养． 探究点一　二面角的概念及大小的计算 [基础梳理] 1．半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面． 2．二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 相关概念 ①这条直线称为二面角的棱； ②这两个半平面称为二面角的面 画法 记法 二面角α－l－β或α－AB－β 3.二面角的平面角 定义 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角 图形 符号 ⇒∠AOB是二面角α－l－β的平面角 范围 0°≤∠AOB≤180° [互动探究] 　如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD． (1)求二面角B-PA-D的平面角的度数； (2)求二面角B-PA-C的平面角的度数． 解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA． ∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角． 又由题意知∠BAD＝90°， ∴二面角B-PA-D的平面角的度数为90°. (2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA． ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角． 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°. 即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°. 　　 [跟踪训练] 1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为________． 解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O， ∵C1D＝C1B，O为BD中点， ∴C1O⊥BD，∵AC⊥BD， ∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角． 在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算C1O＝2， ∴sin∠C1OC＝＝，∴∠C1OC＝30°. 答案：30° 探究点二　平面与平面垂直的性质定理的应用 [基础梳理] 1．平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β. 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 [互动探究] 　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB． 证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形， ∵G是AD的中点， ∴BG⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD． (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD． 又∵PG∩BG＝G. ∴AD⊥平面PBG. 而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB． 1．应用步骤：面面垂直线面垂直―→线线垂直． 2．应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作线面角或作二面角的平面角． 3．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．　　 [跟踪训练] 2．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE. 证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG. 由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE. 又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC． 又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC． 所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF. 又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE. 1．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是(　　) ①α内的直线必垂直β内的无数条直线； ②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线； ③α内的任何一条直线必垂直于β； ④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析：B　画出立方体验证α内可以有直线不与β垂直，或平行或相交，③错误．①②④