第6章 §4 4.1 直线与平面平行（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦直线与平面平行的判定定理和性质定理，从生活实例（如翻动书封面、请柬折痕）导入，通过思考问题建立直观感知，再以文字、图形、符号语言系统梳理定理，形成“感知-抽象-应用”的学习支架。 资料以生活情境培养数学眼光，通过定理的多语言表述发展数学语言能力，例题与探索性问题（如四面体截面证明、找λ值）提升数学思维中的推理与创新意识。课中辅助教师引导探究，课后练习题助学生查漏补缺，强化知识应用。

§4　平行关系 4．1　直线与平面平行 新课导入 学习目标 直线与平面的平行关系是一种非常重要的关系，观察生活中的许多现象会发现存在着大量的平行关系．如放在桌面上的一本书，翻动书的封面，则封面边缘所在直线l与桌面所在的平面平行． 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理、性质定理． 2．掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题． 直线l与平面α平行，根据直线与平面平行的定义，l与α无公共点． 思考1　l与平面α内的任意一条直线有什么位置关系？ 提示：平行或异面． 思考2　经过直线l的任意平面与平面α有什么位置关系？ 提示：平行或相交． [知识梳理] 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒l∥a [例1] 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形． 【证明】　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB⊂平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.所以截面MNPQ 是平行四边形． 利用线面平行的性质定理解题的步骤 (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面． (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面． (3)确定交线． (4)由性质定理得出结论． [跟踪训练1] (1)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 解析：选A.由长方体性质知，EF∥平面ABCD.因为EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH，又因为E，F分别是A1A，B1B的中点，所以EF∥AB，所以GH∥AB，故选A. (2)如图，在三棱锥P­ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：选C.由于AD∥平面PEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面PEF＝FG，根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.由于点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，所以点G是△PBC的重心，所以＝＝.故选C. 将一张请柬放在桌面上，请柬的折痕CD可看作桌面所在平面内的一条直线． 思考1　请柬的边缘AB与CD有什么样的位置关系？ 提示：平行． 思考2　翻动请柬的过程中(AB离开桌面)观察边缘AB与桌面有什么样的位置关系？ 提示：平行． [知识梳理] 文字语言 图形语言 符号语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒l∥α [例2] (对接教材例4) 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且CE＝EB，AF＝FP.求证：EF∥平面PCD. 【证明】　 如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在△PAD中，点G，F分别为PD，AP的中点， 所以GF∥AD，且GF＝AD. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点， 所以CE∥AD，且CE＝AD， 所以GF∥CE，且GF＝CE. 所以四边形GFEC是平行四边形， 所以GC∥EF. 又因为GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理． 注意　线面平行判定定理应用的误区 (1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α. (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． [跟踪训练2] 如图 所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1.求证：A1B∥平面ADC1. 证明：如图所示，连接A1C，设A1C∩AC1＝O，连接OD. 由题意知四边形A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点． 又D是BC的中点，所以OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B. 又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1. [例3] (2025·焦作期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，且BC＝CC1＝1，点D在线段BC1(含端点)上运动，设λ＝.当AB∥平面A1CD时，求实数λ的值． 【解】　 如图，连接AC1，交A1C于点E，连接DE， 所以E为AC1的中点，且平面A1CD∩平面ABC1＝DE， 因为AB∥平面A1CD，AB⊂平面ABC1， 所以AB∥DE， 所以D为BC1的中点，即实数λ的值为. 关于线面平行的探索问题可先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系． [跟踪训练3] 如图，矩形ABCD所在平面与半圆所在平面相交于CD，M是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 解：存在，当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 理由如下： 如图，连接AC，BD交于点O，因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点，连接OP，当P为AM的中点时，MC∥OP， 又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD. 1．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选D.由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面ABB′A′，平面BCC′B′，平面CC′D′D，平面ADD′A′均平行．故与EF平行的平面有4个． 2．(多选)(教材P229T1改编)已知α为平面，下列命题中为假命题的是(　　) A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α C．若直线a∥b，直线b∥α，则a∥α D．若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线 解析：选ABC.A选项，若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l可能在α内，A为假命题；B选项，若直线a在平面α外，则可能a与α相交，B为假命题；C选项，若直线a∥b，直线b∥α，则a可能在α内，C为假命题；D选项，由于直线b∥α，不妨设b⊂β，α∩β＝c，则b∥c，所以a∥c，所以a平行于平面α内的无数条直线，D为真命题．故选ABC. 3．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC分别与平面α交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________． 解析：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，AB∥CD，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5. 答案：5 4.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 证明：连接BC1(图略)，在△BCC1中，因为E，F分别为BC，CC1的中点，所以EF∥BC1， 又因为AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形， 所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1， 又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G. 1．已学习：直线与平面平行的性质定理、直线与平面平行的判定定理、线面平行中的探索性问题． 2．须贯通：线面平行性质与判定定理的综合应用． 3．应注意：(1)证明线面平行时，漏写线在平面外(内)； (2)在探索性问题中易漏结论． 学科网（北京）股份有限公司 $