第六章 §4　4.2　平面与平面平行（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

(1) 求证：l∥BC； (2) MN 与平面 PAD 是否平行？试证明你的结论． 解析： (1)证明：因为 BC∥AD，BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 BC∥平面 PAD. 又因为平面 PBC∩平面 PAD＝l，BC⊂平面 PBC， 所以 l∥BC. (2)平行．证明如下：取 PD 的中点 E，连接 AE，NE， 可以证得 NE 綊 AM. 所以四边形 AMNE 为平行四边形， 所以 MN∥AE. 又因为 AE⊂平面 PAD，MN⊄平面 PAD， 所以 MN∥平面 PAD. 4．2 平面与平面平行 [学习目标] 1.借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中平面与平面平行的位置关系.2.掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面平行的位置关系． 知识点一 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 [点拨] (1)面面平行的性质定理可简记为“若面面平行，则线线平行”． (2) 已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是一个 平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可 能是异面直线，但不可能是相交直线． (3) 面面平行的性质定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是寻找或构造与两 个平行平面都相交的一个平面，此性质定理可用来证明线线平行． 如图，已知α∥β，点 P 是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线 PB，PD 分别与α，β相交于点 A，B 和 C，D. (1) 求证：AC∥BD； (2) 已知 PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求 PD 的长． 学生用书 第 152 页 解析： (1)证明：因为 PB∩PD＝P，所以直线 PB 和 PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC， β∩γ＝BD.又α∥β，所以 AC∥BD. (2)由(1)得 AC∥BD，所以PA AB ＝PC CD ，所以4 5 ＝ 3 ， CD 所以 CD＝15 4 (cm)， 所以 PD＝PC＋CD＝3＋15 4 ＝27 4 (cm). 方法技巧 利用平面与平面平行的性质定理解题的基本步骤 即时练 1.如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，M 为棱 AB 的中点，试作出平面 A1MC1 与平面 ABCD 的交线 l，并说明理由． 解析： 取 BC 的中点 E，连接 ME，C1E， 则 ME 就是平面 A1MC1 与平面 ABCD 的交线 l， 理由如下：∵在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中， 连接 AC，M 为棱 AB 的中点，∴ME∥AC， ∵AC∥A1C1，∴ME∥A1C1， ∴ME 就是平面 A1MC1 与平面 ABCD 的交线 l. 知识点二 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β 图形语言 [点拨] (1)面面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”．该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题． (2)“一个平面内有两条(或无数条)直线平行于另一个平面，则这两个平面平行”是不正确的，因为两个平面相交时，也可在一个平面内找到无数条与另一平面平行的直线． 如图，已知四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形．点 M，N，Q 分别在 PA，BD，PD 上，且 PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面 MNQ∥平面 PBC. 证明： ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP. 又 BP⊂平面 PBC，NQ⊄平面 PBC， ∴NQ∥平面 PBC. ∵四边形 ABCD 为平行四边形，BC∥AD， ∴MQ∥BC. 又 BC⊂平面 PBC，MQ⊄平面 PBC， ∴MQ∥平面 PBC. 又 MQ⊂平面 MNQ，NQ⊂平面 MNQ，MQ∩NQ＝Q， ∴平面 MNQ∥平面 PBC. 方法技巧 平面与平面平行的判定方法 (1) 定义法：两个平面没有公共点； (2) 判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； (3) 转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则 α∥β； (4) 利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 即时练 2.如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F 分别为 DD1，CC1 的中点，AC 与 BD 交于点 O.求证： (1) CE∥FD1； (2) 平面 AEC∥平面 BFD1. 证明： (1)在