第6章 §3 3.1 空间图形基本位置关系的认识 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦空间点、直线、平面的位置关系及刻画这些关系的公理（基本事实1-3及推论），从生活实例导入，系统梳理位置关系分类、符号表示，构建从具体到抽象的学习支架。 以自行车脚撑实例培养数学眼光，通过公理推导与证明（如三线共面）发展数学思维，强调三种语言转化提升数学语言表达能力，课中辅助教学，课后助力学生巩固查漏。

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系 3．1　空间图形基本位置关系的认识 3．2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(一) 新课导入 学习目标 同学们在生活中都有这样的常识，停自行车时，要打开脚撑．结合数学知识谈谈为什么打开脚撑后自行车就能停稳呢？ 1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系． 2．掌握空间中点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系． 3．了解基本事实1，2，3及推论1，2，3. 　 思考　平面α是由点组成的，直线l也是由点组成的，从集合的观点看，点P与直线l有几种位置关系？点P与平面α有几种位置关系？直线l与平面α有几种位置关系？ 提示：点P与直线l有P在直线上，P在直线外两种位置关系；点P与平面α有P在平面α内，P在平面α外两种位置关系；直线l与平面α有直线在平面α内，直线与平面α交于一点，直线与平面α无交点三种位置关系． [知识梳理] 1．空间点与直线的位置关系 点与直线的位置关系 图形表示 符号表示 点在直线上 B∈l 点在直线外 B∉l 2.空间点与平面的位置关系 点与平面的位置关系 图形表示 符号表示 点在平面内 B∈α 点在平面外 A∉α 3.直线与直线的位置关系 直线与直线的位置关系 图形表示 符号表示 相交 a∩b＝P 不相交 a∩b＝∅ 4.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 图形表示 符号表示 直线在平面内 a⊂α 直线与平面相交 a∩α＝A 直线与平面平行 a∥α 直线与平面平行的性质与判断关系： a∥α⇔a∩α＝∅. 5．平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 图形表示 符号表示 平行 α∥β 相交 α∩β＝l 平面与平面平行的性质与判断关系： α∥β ⇔α∩β＝∅. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若点A∈直线a，直线a⊂平面α，则A∈α.(　　) (2)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.(　　) (3)一个平面可以将空间分成两部分．(　　) (4)两个平面的交线可能是一条线段．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(　　) A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 解析：选A.延长三棱台各侧棱可相交于一点，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．故选A. 3.如图所示，A是点，m，n是直线，α，β是平面，则其中点、线、面的位置关系，用符号语言表示正确的是(　　) A．α∩β＝m，n⊂α，A⊂α，A⊂β B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A D．α∩β＝m，n∈α，A∈α，A∈β 解析：选C.点和面、点和线的关系用“∈”或“∉”表示，故A错误； 线面关系用“⊂”或“⊄”表示，故B，D错误； 根据题图有α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故C正确． (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线，且相互之间的位置关系如何，再用文字语言、符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． (3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 思考1　我们知道，两点确定一条直线，要确定一个平面需要几个点呢？过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？ 提示：不共线的三个点；无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面． 思考2　如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？ 提示：不在；在． 思考3　我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与桌面所在的平面是否只有一个公共点？ 提示：不是． [知识梳理] 1．基本事实1 (1)文字语言：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． (2)图形语言： 2．基本事实2 (1)文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)图形语言： (3)符号语言：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α. 3．三个推论 (1)推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面； 推论2：两条相交直线确定一个平面； 推论3：两条平行直线确定一个平面． (2)结论：基本事实1及以上推论给出了确定平面的依据． 4．基本事实3 (1)文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (2)图形语言： (3)符号语言：P∈α，P∈β⇔α∩β＝l，且P∈l，其中l表示一条直线． (4)不重合的平面与平面有两种位置关系：两个平面相交于一条直线，两个平面平行． 角度1　点、线共面问题 [例1] 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 【证明】　方法一(纳入平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α，同理可证C∈α.因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α，所以直线l1，l2，l3在同一平面内． 方法二(辅助平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2和l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.又因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内． 证明点、线共面的常用方法 (1)纳入法：先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内． (2)重合法：先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合． (3)反证法：假设不共面，结合题设推出矛盾． [跟踪训练1] 直线a∥b，b∥c，直线l和a，b，c分别交于点A，B，C，求证：a，b，c，l共面． 证明：因为a∥b，所以a和b确定平面α.因为A∈a，所以A∈α，同理B∈α. 由基本事实2得l⊂α.又因为b∥c， 所以b和c确定平面β.同理l⊂β. 故b⊂α且b⊂β，l⊂α且l⊂β， 由推论2得，α与β重合．所以a，b，c，l共面． 角度2　三点共线或三线共点问题 [例2] 如图， △ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线． 【证明】　因为AB∩α＝P， 所以P∈AB，P∈α. 又AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC. 由基本事实3，可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，故P，Q，R三点共线． (1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 [跟踪训练2] 如图所示， 已知E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．求证：EF，HG，DC三线共点． 证明： 如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，所以四边形HC1BE是平行四边形，所以HE綊C1B. 又F，G分别是BC，CC1的中点， 所以GF∥C1B，且GF＝C1B， 所以GF∥HE，且GF≠HE， 所以HG与EF相交． 设交点为K，所以K∈HG， 又HG⊂平面D1C1CD，所以K∈平面D1C1CD. 因为K∈EF，EF⊂平面ABCD， 所以K∈平面ABCD， 因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC， 所以K∈DC，所以EF，HG，DC三线共点． [例3] (1)过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．1或3 (2)将一个正方体的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成________部分． 【解析】　(1)过空间任意一点引三条直线，当三条直线在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是1；当三条直线不在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是3. (2)可取玩具三阶魔方作为实物图，可以设想正方体是魔方正中间的正方体块，空间就是魔方形状，把正方体各面延展成平面后，分割空间的块数恰好是27，即魔方被分割的块数． 【答案】　(1)D　(2)27 解决此类问题时要充分发挥空间想象能力，结合图形的特征进行正确的逻辑划分．在解一些不便于想象的几何问题时，注意对一些常见几何模型的应用，比如四面体、正方体、三棱柱等． [跟踪训练3] (1)空间中三个平面，把空间分成不同区域的个数最多为(　　) A．4 B．6 C．7 D．8 解析：选D.如图所示，α，β，γ三个平面最多将空间分成8个区域．故选D. (2)由正方体ABCD­A1B1C1D1各个面的对角线所确定的平面共有________个． 解析：在正方体各个面中，相对两平行平面中有两组平行对角线，可以确定两个平面，这样有6个平面．又因为每个顶点的相邻三个顶点共面，即每个顶点对应一个符合条件的平面，这样又有8个平面．每个面上的两条相交的对角线确定6个平面，则共有6＋8＋6＝20个平面． 答案：20 [例4] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点．画出过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线． 【解】　如图所示，连接MN，MP，NP， 因为MP⊂平面ABB1A1，MP与AB不平行，所以MP与AB必相交．延长MP，AB，设MP与AB的交点为Q，连接NQ.因为NQ⊂平面ABCD，NQ⊂平面MNP，所以直线NQ就是过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线． 求两平面的交线的关键是求两个平面的公共点．本题中两平面已有一个公共点N，由于直线MP与AB在同一平面内且不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，进而推出该点也为两平面的公共点，这两点确定的直线即为所求交线． [跟踪训练4] 如图， 在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．解：易知点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在平面SBD和平面SAC的交线上． 由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，因为E∈AC，AC⊂平面SAC，所以E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，则直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线． 　 1．(教材P222T2改编)如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，则(　　) A．l⊂α B．l⊄α C．l∩α＝M D．l∩α＝N 解析：选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，又因为N∈b，b⊂α，所以N∈α，又M∈l，N∈l，所以l⊂α，所以A正确，B错误；l∩α＝l，所以C，D错误． 2．已知平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在平面α与β的交线上，这四点能确定________个平面． 解析：当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点． 答案：1或4 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为平面ABCD的中心，则平面A1AC与平面DBC1的交线为________． 解析： 平面A1AC即平面A1ACC1，因为AC⊂平面A1AC，BD⊂平面DBC1，又AC∩BD＝O，C1∈平面A1AC，C1∈平面DBC1，所以平面A1AC∩平面DBC1＝OC1. 答案：OC1 4. 如图所示，已知四面体A­BCD中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形EFHG是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 证明： 因为四边形EFHG是梯形，所以其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点P， 因为EG⊂平面ABC， FH⊂平面ACD， 所以P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 1．已学习：点、线、面之间的位置关系，空间点、线、面位置关系的公理及推论，平面个数的确定和平面划分空间问题，平面的交线问题． 2．须贯通：规范立体几何中三种语言，能熟练进行它们之间的相互转换；在处理点线共面、点共线及线共点问题时初步体会三个基本事实的作用；平面的交线问题． 3．应注意：(1)三种语言的相互转化； (2)三个基本事实及推论的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $