（讲义）第6章 §4 4.2 第1课时 平面和平面平行的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

4.2　平面与平面平行 第1课时　平面和平面平行的性质 1．理解平面和平面平行的性质，并会应用性质解决问题．(重点、难点) 2．了解直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．(难点) 1．通过对平面和平面平行性质定理的推导和应用，培养学生逻辑推理素养． 2．通过利用平面和平面平行性质定理进行相关的计算，培养学生数学运算素养． 2010年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象，其中中国国家馆成为上海市的又一标志性建筑．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉． 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任何一直线状物体与下层面有何位置关系？ 问题2：上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？ 知识点　平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若平面α∥β，则平面α内任意一条直线都平行于平面β. (　　) (2)若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m. (　　) (3)已知两个平面平行，若有第三个平面与其中的一个平面平行，那么它与另一平面也平行． (　　) [提示]　(1)正确．因为平面α∥β，所以平面α内任意一条直线和平面β没有交点，所以和平面β平行． (2)错误．直线l和m可能平行或异面． (3)正确． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 类型1　平面和平面平行性质定理的应用 【例1】　如图所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明． [解]　直线a，b的位置关系是平行． 证明如下： ∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a， 平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′， ∴A′D′∥a，同理可得AD∥b. 又D是BC的中点，D′是B′C′的中点， ∴DD′綊BB′，而BB′綊AA′， ∴DD′綊AA′， ∴四边形AA′D′D为平行四边形， ∴A′D′∥AD，因此a∥b. 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论． [跟进训练] 1．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求证：N为AC的中点． [证明]　∵平面AB1M∥平面BC1N， 平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N， ∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M为平行四边形， ∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，∴N为AC的中点． 类型2　与平行性质定理有关的计算问题 【例2】　如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长． 在已知两个平面平行的条件下，应用平面和平面平行的性质定理的关键是找到和这两个平面都相交的第三个平面，发现交线，得到两条交线平行．由此思考AB与CD的关系，并借助几何关系求BD的长． [解]　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB， 平面PCD∩β＝CD，∴AB∥CD， 可得＝. ∵PA＝6，AC＝9，PD＝8， ∴＝，解得BD＝. [母题探究] 若例2改为：若点P在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长． [解]　由例2可得＝， 代入PA＝6，PC＝3，PD＝8， 得＝， 解得PB＝16， ∴BD＝PB＋PD＝24， ∴BD的长为24. 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 [跟进训练] 2．如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝__________． 　[由于点A不在直线a上， 则直线a和点A确定一个平面β， 所以α∩β＝EF. 因为a∥平面α，a⊂平面β， 所以EF∥a. 所以＝. 所以EF＝＝＝.] 1．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 A　[由面面平行的性质定理易得．] 2．(多选题)已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题，不正确的是(　　) A．⇒α∥β B．⇒α∥β； C．⇒a∥α D．⇒a∥β ACD　[A.α与β有可能相交；B．正确；C.有可能a⊂α；D．有可能a⊂β.故选ACD．] 3．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 D　[借助正方体模型求解．] 4．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线 D　[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．] 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点．当平面AB1C∥平面A1EC1时，则点E的位置在________处． 点D　[如图，连接B1D1，BD，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O，连接ME、B1O， ∵平面AB1C∥平面A1EC1， 平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O， 平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，∴B1O∥ME. 又四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD． 故E与D重合．] 回顾本节内容，自我完成以下问题： 1．应用面面平行的性质定理时应注意什么问题？ [提示]　平面和平面平行的性质定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面． 2．常用的面面平行的性质还有哪些？ [提示]　常用的面面平行的其他几个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$