第6章 §3 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(二) 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

　　 1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 解析：选D.因为a∩α＝A，b⊂α，所以当A∉b时，由异面直线的定义可得a与b异面，当A∈b时，a∩b＝A，即a与b相交．故选D. 2．已知直线a，b，c，若a，b异面，b∥c，则a，c的位置关系是(　　) A．异面 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面 解析：选D. 在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB与DD1是异面直线，DD1∥BB1，AB∩BB1＝B；C1D1与AD是异面直线，AD∥BC，C1D1与BC是异面直线．所以两直线a与b是异面直线，b∥c，则a，c的位置关系是相交或异面．故选D. 3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　) A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1 解析：选D.根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行．所以直线B1C1和直线EF相交，即D正确．故选D. 4.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1的夹角为60° 解析：选C.由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，故AE与B1C1的夹角是90°，D错误．故选C. 5．(多选)已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中正确的是(　　) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 解析：选AC.由平行线的传递性知A正确；若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行、相交或异面，B错误；若a与b分别在两个相交平面内，则a与b可能平行、相交或异面，C正确；若a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误．故选AC. 6．(多选)设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则下列命题一定是真命题的是(　　) A．在α内存在直线与直线AB异面 B．在α内存在直线与直线AB相交 C．存在过直线AB的平面与α相交 D．存在过直线AB的平面与α平行 解析：选AC.对于A，无论直线AB与α平行，还是相交，在α内都存在直线与直线AB异面，故A正确；对于B，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，故B错误；对于C，无论直线AB与α平行，还是相交，都存在过直线AB的平面与α相交，故C正确；对于D，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，故D错误．故选AC. 7．在空间中，AB∥EF，直线BC，EF为异面直线，若∠ABC＝120°，则异面直线BC，EF夹角的大小为________． 解析：直线BC，EF为异面直线，且AB∥EF，所以AB与BC的夹角即为异面直线BC，EF的夹角，因为∠ABC＝120°，且异面直线夹角θ的范围是0°<θ≤90°，所以异面直线BC，EF夹角的大小为60°. 答案：60° 8．(2025·宜春月考)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点，则∠EFG与∠ABC1的关系是__________． 解析：因为E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两边分别对应平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补． 答案：互补 9.如图，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上一点，且∠AOD＝120°，则直线AD与BC的夹角为__________． 解析：如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD＝BE， 所以∠CBE为异面直线AD与BC的夹角． 在△AOD中，AD＝2OA sin 60°＝2， 在Rt△COB中，CB＝＝2，在△CBE中，CB＝CE＝BE＝2，所以△CBE为正三角形．所以∠CBE＝60°. 答案：60° 10.(13分)如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC夹角的大小． 解：如图，取BD的中点M，连接EM，FM. 因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD，BC的夹角． 因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1， 由余弦定理得cos ∠EMF＝＝＝－，所以∠EMF＝120°. 所以异面直线AD，BC的夹角为∠EMF的补角，即异面直线AD，BC的夹角为60°. 11.如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B. 如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF或其补角为异面直线PD，BE的夹角．由题意可知，PD＝CD＝BE＝2，EF＝，BF＝＝，所以cos ∠BEF＝＝＝.故选B. 12．(多选)如图，A，B，C，D为三棱柱的顶点或所在棱的中点，下列图形中，直线AB与CD是异面直线的为(　　) 解析：选ACD. 对于A，因为CD⊂平面BCD，B∈平面BCD，B∉CD，A∉平面BCD，由异面直线的定义可知，直线AB与CD是异面直线，故A正确； 对于B，如图1，因为C，D分别为所在棱的中点，所以CD∥EF，又AB∥EF，由平行线的传递性可得AB∥CD，故B错误；对于C，如图2，取HG的中点F，连接DF，AF，则DF∥GE且DF＝GE，又AC∥GE且AC＝GE，所以DF∥AC且DF＝AC， 所以A，C，D三点确定平面ACDF，因为B∉平面ACDF，A∉CD，所以直线AB与CD是异面直线，故C正确；对于D，因为AB⊂平面ABC，C∈平面ABC，C∉AB，D∉平面ABC，由异面直线的定义可知，直线AB与CD是异面直线，故D正确．故选ACD. 13．在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，则AA1的长是________． 解析：如图所示，连接CD1，AC. 在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2， 所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1的夹角， 因为A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1的夹角为90°，所以∠AD1C＝90°. 又易知AD1＝D1C，所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝AC. 因为AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， 所以AC＝2×sin 60°×2＝6， 所以AD1＝AC＝3， 所以AA1＝＝. 答案： 14.(13分)如图，点A在△BCD所在平面外，M，N分别是△ABC和△ACD的重心． (1)求证：MN∥BD；(6分) (2)若BD＝6，求MN的长．(7分) 解：(1)证明：连接AM并延长，交BC于点E，连接AN并延长，交CD于点F，连接EF. 因为M，N分别是两个三角形的重心，所以AM∶AE＝2∶3，AN∶AF＝2∶3，于是MN∥EF. 因为M，N分别是△ABC和△ACD的重心，所以E，F分别是BC和DC的中点，从而EF∥BD，所以MN∥BD. (2)由(1)知，E，F分别是BC和DC的中点，从而EF＝BD＝3.而由AM∶AE＝AN∶AF＝2∶3，MN∥EF，∠MAN＝∠EAF，得△AMN∽△AEF，所以MN＝EF＝2. 15．(15分)(2025·萍乡月考)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证： (1)四边形EFGH为平行四边形；(7分) (2)∠C′EB＝∠D′MN.(8分) 证明：(1)因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 所以EF∥AB，且EF＝， 又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB，所以四边形ABC′D′为梯形． 因为G，H分别为AD′，BC′的中点， 所以GH∥AB，且GH＝＝(AB＋CD)，所以GH∥EF，且GH＝EF， 所以四边形EFGH为平行四边形． (2)折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB， 折叠后D′M∥C′E，MN∥EB， 所以∠C′EB与∠D′MN的对应边分别平行且方向相同，所以∠C′EB＝∠D′MN. 学科网（北京）股份有限公司 $