第6章 §2 直观图（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦直观图的绘制与应用，系统梳理斜二测画法步骤，从平面图形直观图（如等腰梯形、正五边形）到立体图形直观图（如四棱锥、机器部件），再到直观图还原与面积计算，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以美术与数学的联系导入，培养用数学眼光观察现实世界，通过例题分步解析和跟踪训练，发展数学思维中的推理能力，直观图绘制与还原过程强化数学语言表达。课中助力教师清晰授课，课后练习题与知识梳理帮助学生巩固提升，查漏补缺。

§2　直观图 新课导入 学习目标 　　美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．如何在平面上画出空间几何体呢？ 1.掌握斜二测画法的步骤． 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图. 3．了解空间几何体的表示形式，进一步认识几何体的结构特征． 　 思考　 乒乓球台面是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？ 提示：在乒乓球台面上建立平面直角坐标系，如图1所示， 　　 如图2，当两坐标轴的夹角不是90°时，台面看起来就是平行四边形了． [知识梳理] 1．直观图的概念 用来表示立体图形的平面图形叫作几何体的直观图．如图所示，就是长方体和正方体的直观图． 2．斜二测画法的步骤 [例1] (对接教材例1)如图，等腰梯形ABCD上底AD＝1 cm，下底BC＝3 cm，高为1 cm.用斜二测画法画出水平放置的该梯形的直观图． 【解】　(1)在等腰梯形ABCD中，过D作DO⊥BC于点O，以直线CB，OD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．其中OD＝OC＝1 cm，OB＝2 cm，AD＝1 cm，AD∥BC. (2)在平面内取点O′，过O′作直线O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°，如图． 在直线O′y′上取点D′，使O′D′＝OD＝cm，过D′作线段A′D′∥O′x′，使D′A′＝DA＝1 cm，在直线O′x′上取点C′，B′，使O′C′＝OC＝1 cm，O′B′＝OB＝2 cm. (3)连接C′D′，A′B′，擦去辅助线得等腰梯形ABCD水平放置的直观图A′B′C′D′，如图． 画水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定． (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． 　 [跟踪训练1] 如图，已知水平放置的正五边形ABCDE，试画出其直观图． 解：(1)作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H，如图1. (2)画出相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，如图2. (3)在图2中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD. (4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图3). 思考　我们可以把正方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出正方体的直观图呢？ 提示：先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面直观图平移，平移长度为正方体棱长，再顺次连接各顶点，就作出了正方体的直观图． [知识梳理] 立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面．平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变． [例2] (对接教材例2)画出底面是边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图． 【解】　(1)画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图1. (2)画底面．在xOy平面内，以O为中心，在y轴上取EF＝0.6 cm，过点E作AB∥x轴且EA＝EB＝0.6 cm，过点F作CD∥x轴且FC＝FD＝0.6 cm.连接AD，BC，得到正方形的直观图ABCD. (3)画顶点．在z轴上截取OP，使OP＝1.5 cm. (4)成图．连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图2. 空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出． (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． (3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． 　 [跟踪训练2] 一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为1 cm，高为1 cm，圆锥的高为1 cm，画出此机器部件的直观图． 解：(1)如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画圆柱的两底面．在xOy平面上画出底面圆O，使直径为1 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝1 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为1 cm. (3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使圆锥的高为PO′＝1 cm. (4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图2. [例3] (1)(多选)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是(　　) A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC的周长是4＋4 (2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是____________(填形状)，其面积为________． 【解析】　(1)根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB，因为O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，所以△ABC的周长是4＋4，面积是4，故A错误，C，D正确．由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍，故B错误． (2) 如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)， CD＝C′D′＝2 cm， 所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形．S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24(cm2). 【答案】　(1)CD　(2)菱形　24 cm2 (1)由直观图还原平面图形关键有两点： ①平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段变为原来的2倍； ②对于相邻两边不与x′轴、y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置． (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是＝. [跟踪训练3] (1) 如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 解析：选D.因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形． (2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 解析：选D.方法一：建立如图1所示的平面直角坐标系xOy.如图2所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过点C′作C′D′⊥O′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2. 方法二：S△ABC＝a2，又S△A′B′C′＝S△ABC，所以S△A′B′C′＝×a2＝a2. 　 1．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB中OA边上的高为(　　) A．4 B．2 C．2 D． 解析：选A.由题意可知，OA⊥OB，且OB＝2O′B′＝4，即OA边上的高为4.故选A. 2.(多选)(2025·北海月考)如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′C′＜D′B′，又A′D′∥y′轴，那么原图形中的AB，AD，AC三条线段中(　　) A．最长的是AB B．最长的是AC C．最短的是AC D．最短的是AD 解析：选AD. 由题意得到原△ABC的平面图如图所示．其中，AD⊥BC，BD＞DC，所以AB＞AC＞AD，所以△ABC中的AB，AD，AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD.故选AD. 3.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是__________． 解析：由题图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4.又因为和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8.所以△AOB的面积为×4×8＝16. 答案：16 4. (教材P216练习T1改编)如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm.画出水平放置的△ABC的直观图． 解：(1)以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图1. (2)画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′D′y′＝45°， 在x′轴上取点A′，C′，使D′A′＝DA，D′C′＝DC，在y′轴上取点B′，使D′B′＝DB， 连接A′B′，C′B′，如图2. 擦去辅助线，则△A′B′C′即为△ABC的直观图，如图3. 1．已学习：水平放置的平面图形的直观图的画法、空间几何体直观图的画法、直观图的还原与计算． 2．须贯通：斜二测画法的“三变”与“三不变”：①三变：坐标轴的夹角，与y轴平行线段的长度，图形的形状；②三不变：线段的平行关系，与x轴、z轴平行的线段长度，点的相对位置． 3．应注意：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． 学科网（北京）股份有限公司 $