第6章 阶段提升(八) 基本立体图形(范围：§1、§6)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学基本立体图形的表面积与体积计算，系统梳理四棱锥、圆锥、圆柱、球及组合体（如六角螺帽）的相关知识，从基础公式应用到复杂切接问题（如外接球、内切球），构建从具体到综合的学习支架。 该资料通过实例（如四棱锥外接球与内切球表面积比、圆柱内两铁球半径最值）培养空间观念与几何直观，借助逻辑推理（相似三角形、勾股定理）发展推理能力，方法总结助力知识体系构建。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生强化练习、弥补知识盲点。

阶段提升(八)　基本立体图形(范围：§1、§6) 1．已知一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，得该四棱锥为正四棱锥，其高为h＝＝1，所以该四棱锥的体积是V＝×()2×1＝. 2．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则＝(　　) A．－1 B． C．－1 D． 解析：选D.圆锥的表面积为πrl＋πr2，球的表面积为4π＝πl2，故πrl＋πr2＝πl2， 即＋－1＝0，故＝(负值已舍去). 3. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 cm，高为2 cm，内孔直径为1 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______________cm3. 解析：V螺帽＝V正六棱柱－V圆柱＝6××()2×2－π××2＝(cm3). 答案：9－ 4．已知圆锥的底面半径为6，体积为96π，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为84π，则该圆台的表面积为______． 解析：设圆台上底面半径为r，高为h，则＝，解得r＝3， 由圆台的体积公式得h＝84π，解得h＝4， 所以圆台的母线长l＝＝5， 则圆台的侧面积为π×5＝45π， 所以圆台的表面积为45π＋9π＋36π＝90π. 答案：90π 空间几何体的表面积与体积的求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． (3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法等求解． [例1] 如图，已知在四棱锥P­ABCD 中，底面ABCD是正方形，PA，AB，AD两两相互垂直，AB＝BC＝4，PA＝3，则此四棱锥外接球与内切球的表面积之比为(　　) A．∶2 B．41∶4 C．∶1　 D．41∶1 【解析】　 如图，可将四棱锥P­ABCD放入长方体中，设外接球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋42＝41，故R2＝，所以外接球的表面积为4πR2＝41π.设内切球的半径为r，由长方体的性质可知：△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为直角三角形，且S△PAB＝S△PAD＝×4×3＝6，S△PBC＝S△PDC＝×4×5＝10，则VP­ABCD＝×4×4×3＝(S正方形ABCD＋S△PAB＋S△PBC＋S△PDC＋S△PAD)r＝×(4×4＋2×6＋2×10)r，解得r＝1，所以内切球的表面积为4πr2＝4π，故该四棱锥外接球与内切球的表面积之比为41∶4. 【答案】　B (1)特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊的位置，比如几何体的中心、对角线的中点等． 　 (2)对于一些特殊的三棱锥、四棱锥，还要会利用补体法转化为长方体(正方体)与球的切、接问题，如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱相等的三棱锥、有一条侧棱与底面(为矩形)垂直的四棱锥等都可以补成长方体后确定球心． [跟踪训练1] (1)(2025·萍乡期末)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．5πa2 解析：选B. 如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于点D，连接AO2. 因为AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，所以AO＝a2＋a2＝a2， 故该球的表面积为4π×a2＝πa2. (2)已知正三棱锥P­ABC的侧棱长为，底面棱长为2，则正三棱锥P­ABC内切球的表面积为________． 解析：设内切球半径为r， 则正三棱锥的高为＝， 斜高为＝2， 则表面积为×＋3××2×2＝9， 故体积V＝×××＝×r×9，解得r＝， 所以内切球的表面积为4π×＝. 答案： [例2] (1)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为__________cm. (2)已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为2π.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为__________． 【解析】　(1) 作出铁球半径最大时的轴截面如图所示，由于两铁球半径相等，则轴截面图中两圆的切点B显然为矩形的中心，设铁球的最大半径为r cm，则在Rt△O1AB中，有O1A2＋AB2＝O1B2，即(4－r)2＋(－r)2＝r2，解得r＝或r＝(舍去)，所以铁球半径的最大值为 cm. (2) 由题可知，母线PA＝PB＝2，若内部有一个球，半径最大时，球内切于圆锥，如图所示．O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心， 设球O的半径为R，底面圆E的半径为r， 因为圆锥的侧面积为2π，所以πr·PB＝2π，解得r＝1＝EB.由勾股定理得PE2＝PB2－EB2＝4－1＝3，所以PE＝.又因为△POM∽△PBE， 所以＝，即＝，解得R＝， 所以球的体积V＝πR3＝π×＝π. 【答案】　(1)　(2)π 由于球及旋转体都是轴对称图形，故一般要利用这种对称性确定球心，即作出球与旋转体的轴截面，利用球心到球面上两点的距离都等于半径确定球心与半径． [跟踪训练2] (1)若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为(　　) A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 解析：选C. 圆台的轴截面如图所示，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB 且BO⊥OA，所以△AEO∽△OEB，所以OE2＝AE·BE＝Rr，所以内切球的表面积为4πOE2＝4πRr. (2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，且球心在圆锥内，则该圆锥的体积和此球体积的比值为__________． 解析： 因为球心在圆锥内，所以圆锥顶点与底面在球心两侧，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为.该圆锥的体积为×π××＝πr3，球的体积为πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为 ＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $