第6章 §1 1.1 构成空间几何体的基本元素 1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦空间几何体的基本元素（点、线、面）及棱柱、棱锥、棱台的结构特征，从平面的画法与表示入手，逐步深入多面体的定义、分类及特征辨析，构建从基础元素到复杂多面体的学习支架。 通过生活实例（如建筑、家居）导入培养数学眼光，结合定义辨析与反例判断发展数学思维，借助即时练、跟踪训练提升数学语言表达能力。课中图片辅助直观教学，课后练习助力学生巩固知识、查漏补缺。

§1　基本立体图形 1．1　构成空间几何体的基本元素 1．2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 新课导入 学习目标 　　观察所给的图片，小到精巧的家居装饰，大到宏伟的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美．这些立体图形有何特点？ 1.了解构成空间几何体的基本元素． 2．利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 3．能运用空间几何体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构． 　 思考　生活中粉笔、电线杆等给我们以直线的形象，黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等则给我们以平面的形象，试举出更多具有平面形象的例子，根据这些实例，试述平面有哪些特征？ 提示：教室的地面、天花板等；几何里的平面是无限延展的、水平的，没有大小、宽窄和厚度的限制． [知识梳理] 1．空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等． 2．平面 (1)平面是空间最基本的图形．平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，平面是无限延展的． (2)平面的画法 画法 一般地，用平行四边形表示平面 当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画 图示 (3)平面的表示方法 图1的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)我们常用一个平行四边形表示平面，所以平行四边形是一个平面．(　　) (2)一个平面的面积可以是16 cm2.(　　) (3)平面只能用希腊字母表示，如：平面α，平面β，平面γ.(　　) (4)点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．如图表示两相交平面，其中正确的有________．(填序号) 解析：对于①，没有画出两个平面的交线；对于②和③，被遮住的线没有画成虚线；对于④，符合相交平面的画法． 答案：④ 立体几何中所说的平面是从现实物体中抽象出来的，是无限延展的，不能进行度量，即无边界，无大小，无厚薄． 　 思考　观察下图中的多面体，想一想：这些多面体各有什么特点？它们分别由什么样的多边形围成？各个面之间的位置关系有什么特点？各条棱之间呢？ 提示：直观上可以发现，题图中的每个多面体的上、下两面都是边数相同的全等多边形，分别为三角形、四边形、五边形，且上、下两个面所在平面都不会相交，其余各面都是平行四边形，各侧棱互相平行且相等． [知识梳理] 1．多面体的概念 由平面多边形围成的几何体，称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体． 2．棱柱 定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面围成的多面体叫作棱柱 图示 及相 关概 念 底面：两个互相平行的面 侧面：底面以外的其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分别叫作三棱柱、四棱柱……，其中侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫作平行六面体 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)多面体至少有四个面．(　　) (2)一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面．(　　) (3)长方体、正方体都是正四棱柱．(　　) (4)平行六面体的六个面都是平行四边形．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．下列说法中，正确的是(　　) A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 解析：选D.如图1所示的几何体中，平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，A错误；如图2所示的正六棱柱中，相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错误；上、下底面是全等的非正方形的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体，C错误；根据棱柱的定义知D正确． 3．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是(　　) A.P⊆N⊆M⊆Q　　　 B．Q⊆M⊆N⊆P C.P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P 解析：选B.根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱}，即Q⊆M⊆N⊆P. 棱柱结构特征的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否互相平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，从而排除． 　 思考　图中的多面体具有怎样的特点？ 提示：通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点． [知识梳理] 定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫作棱锥 图示 及相 关概 念 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的 公共边 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分别叫作三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫作正棱锥 [例1] (多选)下列说法中，正确的是(　　) A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.三棱锥的任何一个面都可以作为三棱锥的底面 C.棱锥的侧棱平行 D.由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 【解析】　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；三棱锥就是由四个三角形所围成的空间图形，因此三棱锥的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥，故D正确． 【答案】　ABD (1)棱锥的结构特征要从两个方面进行把握：①有一个面是多边形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)判断一个几何体为棱锥除了利用定义，还可利用举反例法，即结合棱锥的某些特征举反例说明某些说法不正确． [跟踪训练1] 下列说法中正确的是(　　) A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 解析：选D.对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，故B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，故C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，故D正确． 思考　若用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，直观感受一下，平面下方的几何体具有怎样的特点？ 提示：截面与棱锥的底面平行，各侧面都是梯形． [知识梳理] 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫作棱台 图示 及相 关概 念 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上、下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…… [例2] (多选)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(　　) A.棱台的侧面都是梯形 B.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫作棱台 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 【解析】　 由棱台定义可得棱台的侧面都是梯形，故A正确；两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图，故B错误，D正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误． 【答案】　AD (1)棱台的结构特征：①两个底面相互平行且相似；②侧棱延长后相交于一点． (2)判断一个几何体为棱台除了利用定义，还可以利用举反例法，即结合棱台的某些特征说明某些说法不正确． [跟踪训练2] (多选)如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　) A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1 解析：选ABD.对于A，因为≠，所以不能推断该几何体可能是三棱台，故A符合题意； 对于B，因为≠，所以不能推断该几何体是三棱台，故B符合题意； 对于C，因为＝＝，所以可以推断该几何体可能是三棱台，故C不符合题意； 对于D，该几何体不是三棱台，但可能是三棱柱，故D符合题意． [例3] (1)画出如图1所示的几何体的平面展开图，其中AB＝BC＝AC(画出其中一种即可)； (2)根据如图2所示的几何体的平面展开图，画出几何体的立体图形． 　 【解】　(1)平面展开图如图所示．(答案不唯一) (2)该几何体是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其立体图形如图所示． 多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把(1)中过程逆推． [跟踪训练3] (1) 如图是一个正方体的平面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的字是(　　) A．者 B．事 C．竟 D．成 解析：选A. 根据正方体的平面展开图，还原成正方体，如图所示．其中“者”在最里面，“有”在最外面，构成对面关系．(2) 如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm. 解析：若以BC为轴展开，如图1，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm. 若以BB1为轴展开，如图2，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 答案： 　 1．如图所示，下列四个几何体不是棱柱的是(　　) 解析：选B.棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各个面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．由此可知B中没有互相平行的平面，所以不是棱柱，故选B. 2．(教材P210练习T1改编)对于棱锥，下列叙述正确的是(　　) A.四棱锥共有四条棱 B.五棱锥共有五个面 C.六棱锥的顶点有六个 D.任何棱锥都只有一个底面 解析：选D.对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；对于C，六棱锥的顶点有七个，故C错误；对于D，根据棱锥的定义可知D正确．故选D. 3．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条． 解析： 如图所示，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，若对角线的一个端点为A1，则满足条件的对角线为A1C，A1D，同理可知，端点B1，C1，D1，E1的对角线各有两条．综上所述，一个五棱柱的对角线共有2×5＝10(条). 答案：10 4．若棱台上、下底面的对应边长之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________． 解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边长之比的平方，故上、下底面的面积之比是1∶4. 答案：1∶4 1．已学习：构成空间几何体的基本元素、多面体的概念、棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2．须贯通：棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键；空间多面体中的计算问题，通常把所求线段转化到直角三角形中求解． 3．应注意：棱台的侧棱延长后交于一点． 学科网（北京）股份有限公司 $