第6章 1.1 构成空间几何体的基本元素 1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦空间几何体的构成元素及简单多面体，系统梳理点、线、面等基本元素，平面的概念、画法与表示，多面体的定义，以及棱柱、棱锥、棱台的结构特征、相关概念、特殊情形及转化关系，构建从基础元素到具体多面体的递进学习支架。 资料以现实建筑物图片引入，通过问题驱动培养直观想象与数学抽象，题型涵盖判断、选择及解答，结合通性通法与跟踪训练提升数学运算能力。课中助力教师引导学生建立知识联系，课后学生可通过例题解析与练习查漏补缺，强化空间观念与逻辑思维。

第六章　立体几何初步 §1　基本立体图形 1.1　构成空间几何体的基本元素 1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 【基础落实】 知识点一 1.点　线（直线和曲线）　面（平面和曲面）　2.（1）无限延展　（3）平面α　平面AC 想一想 　提示：没有边界，常用平行四边形表示平面. 知识点二 平面多边形　面　棱　顶点 知识点三 平行　平行四边形　平行　公共边　公共顶点　多边形　三角形　公共边　公共点　平行于底面　截面　底面 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）√ 2.C　由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面.故选C. 3.①③④　⑥　⑤ 【典例研析】 【例1】　解：（1）不正确.我们常用平行四边形表示平面，但不能说平面的形状是平行四边形，平面是无形状可言的. （2）正确.通常情况下我们利用平行四边形来表示平面，但有时根据需要也可以用圆或其他平面多边形来表示平面. （3）不正确.因为平面无大小可言. 跟踪训练 　D　组成几何体的面既可以是平面，也可以是曲面；曲面也可以是无限延展的；直线和线段都是由无数个点组成的.根据这些特点可以排除A、B、C. 【例2】　D　由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如图.棱柱的侧棱相互平行，故A错误；图1中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错误；图2中直四棱柱的底面ABCD是平行四边形，C错误.故选D. 跟踪训练 ③④　解析：棱柱的底面不一定是平行四边形，①错误；棱柱的底面可以是三角形，②错误；由棱柱的定义易知，③正确；棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，④正确. 【例3】　①②　解析：①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个面围成的几何体只能是三棱锥；③错误，如图所示，四棱锥S-ABCD 被平面SAC截成的两部分都是棱锥. 跟踪训练 解：（1）不正确，由六个面围成的几何体有可能是四棱柱. （2）不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，各侧棱延长后不一定相交于一点，所以不一定是棱台. 【例4】　解：如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥底面ABCD于点O，则O是底面的中心，∠BSO为侧棱SB与高SO的夹角，故∠BSO＝30°. 由题意知OB＝a，所以SB＝2OB＝a，SO＝＝a. 过点O作OM⊥BC于点M，易知M为BC的中点，连接SM，则SM⊥BC，即SM为正四棱锥的斜高. 在Rt△SOM中，可求得SM＝＝a， 故正四棱锥的侧棱长为a，斜高为a. 跟踪训练 12　解析：如图所示，将棱台还原为棱锥.设PO是原棱锥的高，O1O是棱台的高.因为棱台的上、下底面面积之比为4∶9，所以它们的底面对应边之比A1B1∶AB＝2∶3，所以PA1∶PA＝2∶3.由题意得A1O1∥AO，故＝，即＝＝，所以PO＝12 cm. 随堂检测 1.A　棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形. 2.C　由棱台的定义知，A，D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中上、下底面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义. 3.B　余下部分是四棱锥A'-BCC'B'. 4.BD　四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形，故A不正确；长方体不一定是正四棱柱，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；正四面体一定是正三棱锥，故D正确.故选B、D. 5.①②　解析：如图（ⅰ）所示，用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；如图（ⅱ）所示，用一个平面去截三棱锥，截面是四边形. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　构成空间几何体的基本元素　1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 课标要求 1.利用实物模型、观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征（直观想象）. 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构及有关量的计算（数学抽象、数学运算）. 　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美. 【问题】　你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　构成空间几何体的基本元素 1.空间几何体的基本几何元素是　　　　　、　　　　　、　　　　　等. 2.平面 （1）平面是空间最基本的图形.平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，平面是　　　　　　的； （2）平面的画法 画 法 一般地，用平行四边形表示平面 当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画 图 示 （3）平面的表示法：图①的平面可表示为　　　、平面ABCD、　　　或平面BD. 【想一想】 几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？ 知识点二　多面体 由　　　　　　围成的几何体称为多面体.这些多边形称为多面体的　　　，两个相邻的面的公共边称为多面体的　　　，棱与棱的公共点称为多面体的　　　　. 知识点三　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱 柱 有两个面互相　　，其余各面都是　　　　，由这些面围成的几何体称为棱柱 记作：棱柱 ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面（底）：两个互相　　的面； 侧面：除底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的　　； 顶点：侧面与底面的　　　 直棱柱：侧面平行四边形都是矩形的棱柱； 斜棱柱：除直棱柱外，其他的棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 棱 锥 有一个面是　　　，其余各面都是有一个公共顶点的　　　　，由这些面所围成的几何体称为棱锥 记作：棱锥 S-ABCD 底面（底）：多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻两个侧面的　　　； 顶点：各个侧面的　　　　 正棱锥：棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上 棱 台 用一个　　　　的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台 记作：棱台 ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的　　　　　； 下底面：原棱锥的　　　　　； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点 正棱台：由正棱锥截得的棱台 　　提醒：（1）棱柱、棱锥、棱台的关系：在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）. 　　（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系 　　 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）棱柱的底面互相平行.（　　） （2）棱柱的各个侧面都是平行四边形.（　　） （3）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.（　　） （4）棱台的侧棱延长后必交于一点.（　　） 2.下列棱锥有6个面的是（　　） A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3.下列几何体中，　　　　　是棱柱，　　　　是棱锥，　　　　　　　是棱台（仅填相应序号）. 题型一｜对于平面的理解 【例1】　判断下列说法是否正确，并说明理由. （1）平面的形状是平行四边形； （2）圆和平面多边形都可以表示平面； （3）若S▱ABCD＞S▱A'B'C'D'，则平面ABCD大于平面A'B'C'D'. 尝试解答 通性通法 1.在空间几何体中，平面是无限延展的，是理想的、绝对平直的. 2.平面是抽象出来的，没有厚度、没有大小，因此无法度量.平面几何中的平面图形，如三角形、四边形等都是有大小的，可以度量的，它们本身不是平面. 3.任何一个平面都可以将空间分为两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，那么必须穿过这个平面. 【跟踪训练】 下列说法正确的是（　　） A.生活中的几何体都是由平面组成的 B.曲面都是有一定大小的 C.直线是由无限个点组成的，而线段是由有限个点组成的 D.平面图形是空间图形的重要组成部分 题型二｜棱柱的结构特征 【例2】　 下列命题正确的是（　　 ） A.棱柱的所有侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面是棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 尝试解答 通性通法 1.棱柱的定义的两个要点： （1）有两个平面（底面）互相平行； （2）其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行. 2.求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征. 【跟踪训练】 下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中说法正确的是　　　　.（填序号） 题型三｜棱锥和棱台的结构特征 【例3】　下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个面围成的几何体只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中说法正确的是　　　　　　.（填序号） 尝试解答 通性通法 判断棱锥、棱台形状的两个方法 （1）举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. （2）直接法 多面体 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 各侧棱相交于一点 各侧棱延长后相交于一点 【跟踪训练】 试判断下列说法是否正确： （1）由六个面围成的几何体只能是五棱锥； （2）两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台. 题型四｜棱柱、棱锥、棱台的有关计算 【例4】　若正四棱锥的底面边长为a，侧棱与高的夹角为30°，求正四棱锥的侧棱长和斜高. 尝试解答 通性通法 1.正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高为PO，底面为正方形，作PE⊥CD于点E，则PE为斜高. （1）斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC； （2）斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE； （3）侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC. 2.正棱台中的直角梯形的应用 已知正棱台如图（以正四棱台为例），O1，O分别为上、下底面的中心，作O1E1⊥B1C1于点E1，OE⊥BC于点E，则E1E为斜高. （1）斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1； （2）斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO； （3）高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1. 【跟踪训练】 一个三棱台的上、下底面面积之比为4∶9，若棱台的高是4 cm，则截得这个棱台的棱锥的高为　　　cm. 1.棱锥的侧面和底面可以都是（　　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 2.下列图形中，是棱台的是（　　） 3.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是（　　） A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱台 4.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.四棱柱的所有面均为平行四边形 B.长方体不一定是正四棱柱 C.底面是正多边形的棱锥，是正棱锥 D.正四面体一定是正三棱锥 5.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是　　　　（填序号）. ①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形. 提示：完成课后作业　第六章　§1　1.1　1.2 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $