第5章 §2 2.2 2.3 复数乘法几何意义初探（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦复数的乘法与除法核心知识点，前承复数加减运算，通过类比多项式乘法引入乘法法则及运算律，结合i的周期性、共轭复数性质，由倒数定义除法运算，延伸至乘法几何意义及实系数一元二次方程解法，构建完整知识支架。 该资料以问题链驱动学习，通过多项式乘法类比等培养数学眼光，例题变式训练发展数学思维，几何意义与方程应用强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后跟踪训练助学生巩固运算技巧，有效查漏补缺。

2．2　复数的乘法与除法 *2.3　复数乘法几何意义初探 新课导入 学习目标 　　上节课我们研究了复数的加、减运算及其几何意义，发现其运算规律与实数的加、减运算规律是相似的，那么复数间有无乘法、除法运算呢？与实数多项式的乘法、除法是否也有类似的地方呢？ 1.熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍成立． 2．理解复数商的定义，能够进行复数的除法运算． 3．掌握虚数单位i幂值的周期性，能进行有关的运算． 思考1　多项式(ax＋b)·(cx＋d)的运算结果是什么？ 提示：(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd. 思考2　多项式的乘法遵循什么原则？ 提示：交换律、结合律及乘法对加法的分配律． [知识梳理] 1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 2.复数范围内正整数指数幂的运算性质 对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z． 3．i的乘方的运算性质 一般地，对任意自然数n，有i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i. 4．互为共轭复数的性质 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2. 角度1　复数乘法运算 [例1] (对接教材例6、例7)计算： (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i； (3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R. 【解】　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. (3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)＝(a2＋b2)·(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4. 两个复数代数形式乘法运算的一般方法 (1)按多项式的乘法展开； (2)将i2换成－1； (3)再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 常用结论　(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i. [跟踪训练1] (1)(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 解析：选C.z＝(1＋5i)i＝－5＋i，所以z的虚部为1. (2)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝________． 解析：原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)＝(1－i2)·(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i. 答案：－1＋i 角度2　i的运算性质 [例2] (对接教材例8)(1)复数z＝3i－4i2 024的模是 (　　) A．9 B．25 C．3 D．5 (2)计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i1 000(i为虚数单位)的结果是________． 【解析】　(1)因为i2＝－1，i4＝1，所以z＝3i－4i2 024＝3i－4i4×506＝－4＋3i，所以|z|＝＝5.故选D. (2)由复数的运算法则可知：i＋i2＋i3＋i4＝0， 1＋i＋i2＋i3＋…＋i1 000＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i997＋i998＋i999＋i1 000)＝1＋0×250＝1. 【答案】　(1)D　(2)1 利用i的幂值的周期性解题的常用结论： (1)熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i. (2)对于n∈N，有in＋in+1＋in+2＋in+3＝0. [跟踪训练2] (1)已知复数z＝i5(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.由题意可得z＝i5·(1＋i)＝i(1＋i)＝－1＋i，故z在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限，故选B. (2)已知i为虚数单位，计算：i·i2·i3·i4＝__________． 解析：原式＝i1+2+3+4＝i10＝(i2)5＝(－1)5＝－1. 答案：－1 思考1　实数的除法运算与乘法运算有什么关系？ 除式a÷b与分式有什么关系？ 提示：除法是乘法的逆运算；a÷b＝． 思考2　举例说明如何化简根式的除法呢？ 提示：分母有理化，如＝＝5＋2. [知识梳理] 1．复数的倒数 给定复数z2，若存在复数z，使得z2·z＝1，则称z是z2的倒数，记作z＝. 2．复数的除法 对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数．因此＝＝(a＋bi)＝－i(c＋di≠0，a，b，c，d∈R). [例3] (1)(对接教材例11)已知z＝，i为虚数单位，则|z|＝ (　　) A． B． C． D． (2)(多选)若复数z满足(1－i)z＝i2 024，为z的共轭复数，则 (　　) A．z在复平面内对应的点位于第二象限 B．|z|＝ C．z·＝ D．是纯虚数 【解析】　(1)z＝＝＝＝＋i，则|z|＝＝.故选C. (2)i2 024＝i506×4＝(i4)506＝1，则z＝＝＝＝＋i，则z在复平面内对应的点为(，)，位于第一象限，A错误；|z|＝＝，B正确；＝－i，z·＝()2－(i)2＝，C正确；＝＝＝－i，D正确． 【答案】　(1)C　(2)BCD 两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 常用结论　＝－i，＝i. [跟踪训练3] (1)在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是(2，－1)，(0，5)，则复数的虚部为 (　　) A．2 B．－2 C．－2i D．2i 解析：选A.由题可知z1＝2－i，z2＝5i，则＝＝＝－1＋2i，所以复数的虚部为2.故选A. (2)若复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝________． 解析：因为z＝＝＝＝－i，所以|z|＝＝. 答案： [知识梳理] 在复平面内，设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为.若z2＝(a＋bi)·c(c＞0)所对应的向量为，则是与c的数乘，即是将沿原方向伸长(c＞1)或压缩(0＜c＜1)c倍得到的．z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为，则是将逆时针旋转得到的． [例4] (对接教材例12)在复平面内有一个正方形，其顶点按逆时针方向依次为O，A，B，C(O为坐标原点).已知点A(1，2)，求点C的坐标． 【解】　点A表示的复数为z＝1＋2i，向量可由逆时针旋转得到，所以点C表示的复数为z·i＝(1＋2i)·i＝－2＋i，所以点C的坐标为(－2，1). 复数所对应向量的旋转或伸缩变换问题，按照复数乘法几何意义处理即可． [跟踪训练4] 在复平面内，将复数＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为________． 解析：根据复数乘法几何意义，将复数＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，所得向量对应的复数为(＋i)·i，故为i＋i2＝－1＋i. 答案：－1＋i [例5] (2025·宜春月考)已知关于x的实系数一元二次方程x2－2x＋k＝0. (1)若方程有一个根为1＋i(i是虚数单位)，求k的值； (2)若方程有两虚根x1，x2，且＝3，求k的值． 【解】　(1)方法一：方程的一个根为1＋i，则(1＋i)2－2(1＋i)＋k＝0，解得k＝3. 方法二：由题意可知1－i是方程的另一个复数根，由根与系数间的关系， 有k＝(1－i)(1＋i)＝1－(i)2＝1＋2＝3，即k的值为3. (2)设x1＝a＋bi，x2＝a－bi，a，b∈R， 则由题意x1＋x2＝2a＝2， x1x2＝a2－b2i2＝a2＋b2＝k且Δ＝4－4k<0， 所以a＝1，b2＝k－1，k>1， 所以＝＝＝＝＝3，解得k＝. (1)复数范围内解方程的方法 ①配方法求根：将方程左边配成完全平方的形式，再开方求根； ②公式法求根：当Δ≥0时，x＝；当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数). ③利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. (2)注意在复数范围内，一元二次方程中根与系数的关系仍然成立． [跟踪训练5] (1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为 (　　) A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3 解析：选B.根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B. (2)若关于x的方程x2－kx＋3＝0有虚根，则实数k的取值范围是________________． 解析：因为一元二次方程x2－kx＋3＝0有虚根，则Δ＝k2－4×1×3<0，解得－2<k<2. 答案：(－2，2) 1．(教材P186T1改编)(1＋i)(2－4i)＝ (　　) A．4＋4i B．2＋4＋(2－4)i C．2－4i D．4－2＋(4－2)i 解析：选B.(1＋i)(2－4i)＝2＋4＋(2－4)i. 2．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i，故复数对应的点位于第二象限．故选B. 3．(多选)已知－3＋4i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则 (　　) A．方程的另一个根为－3－4i B．pq＝120 C．p－q＝－19 D．方程x2＋q－p＝0的根为±3i 解析：选AC.易知两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为－3－4i，A正确；又(－3＋4i)(－3－4i)＝q，解得q＝25，又(－3＋4i)＋(－3－4i)＝－p，解得p＝6，所以pq＝150，p－q＝－19，B错误，C正确；x2＋25－6＝0，即x2＝－19，故x2＋q－p＝0的根为±i，D错误． 4．已知a，b∈R，a＋3i-3＝(b＋i)i23(i为虚数单位)，则a＋b＝________． 解析：由a＋3i-3＝(b＋i)i23得a＋3i＝(b＋i)(－i)，即a＋3i＝1－bi，又a，b∈R，则a＝1，b＝－3，所以a＋b＝－2. 答案：－2 1．已学习：复数的乘法与除法及运算律、i的运算性质、复数乘法几何意义、实系数一元二次方程的解法． 2．须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立． 3．应注意：(1)在复数的运算中忽视i2＝－1造成运算失误； (2)实系数一元二次方程的虚根成对出现，且互为共轭复数． 学科网（北京）股份有限公司 $