5.2.2 复数的乘法与除法 5.2.3 第2课时 复数乘法的几何意义与复数运算的综合应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(北师大)

第2课时　复数乘法的几何意义与复数运算的综合应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握复数乘法的几何意义．(重点、难点) 2．能够利用复数的综合运算解决相关问题．(难点) 1. 通过学习复数乘法的几何意义，培养学生直观想象素养． 2．通过学习复数的乘法和除法运算的综合应用，培养学生数学运算素养. 复数乘法的几何意义 设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为. (1)z2＝(a＋bi)·c(c>0)所对应的向量为，则是与c的数乘，即是将沿原方向拉伸或压缩c倍得到的． (2)z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为，则是由逆时针旋转得到的． 思考：1.设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为.若c<0，则复数z＝(a＋bi)·c所对应的向量与是什么关系？ 提示：向量是将沿相反的方向拉伸或压缩c倍得到的． 2．若向量对应的复数为z＝－3＋4i，把向量按逆时针旋转得到向量，则向量对应的复数z1是什么？ 提示：由复数乘法的几何意义可得z1 ＝zi＝－4－3i. 1. 设复数2＋i对应的向量为，把沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是(　　) A．－1＋2i　　　　　 B．6＋3i C．6＋i D．－6－3i B　[把沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是(2＋i)·3＝6＋3i.] 2．设复数－3＋2i对应的向量为，把按逆时针旋转所得到的向量对应的复数是(　　) A．－3＋2i B．2－3i C．2＋3i D．－2－3i D　[把按逆时针旋转所得到的向量对应的复数是(－3＋2i)·i＝－2－3i.] 3．设复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i对应的向量分别为，，则，的夹角为________． 　[因为z2＝z1i，所以向量是由按逆时针旋转得到的，所以，的夹角为.] 复数乘法的几何意义及应用 【例1】　设菱形ABCD(点A，B，C，D按逆时针排列)对角线的交点为坐标原点O，且∠ABC＝，若点A对应的复数为－1＋4i，求点B，C，D所对应的复数． [解]　由题意，设复数－1＋4i对应向量， 因为∠ABC＝，所以||＝||， 所以向量是由向量按逆时针旋转后，再拉伸倍得到的， 所以点B对应的复数为(－1＋4i)·i＝－4－i， 同理点C对应的复数为(－1＋4i)·i·i＝1－4i， 点D对应的复数为(－1＋4i)·i·i·i＝4＋i. 利用复数乘法的几何意义求复平面内点对应的复数，要注意以下两点： 1利用所给的条件或平面图形的性质求出各点之间的联系，一是位置关系，二是所涉及线段长度的关系； 2根据复数乘法的几何意义，准确判断已知复数与所求复数之间的关系. 1．设O是坐标原点，在矩形OABC(点O，A，B，C按逆时针排列)中，OA＝3OC，若A对应的复数是3＋4i，求点B，C所对应的复数． [解]　因为在矩形OABC中，OA＝3OC，且A对应的复数是3＋4i， 所以点C对应的复数为(3＋4i)·i＝－＋i， 因为＝(3,4)，＝，所以＝＋＝， 所以点B对应的复数为＋5i. i的乘方的周期性 【例2】　计算：(1)＋； (2)i＋i2＋…＋i2 020. [解]　(1)原式＝＋ ＝i(1＋i)＋(－i)1 010＝i＋i2＋(－1)1 010·i1 010＝i－1＋i4×252＋2＝i－1－1＝i－2. (2)因为in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N*)， 所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 017＋i2 018＋i2 018＋i2 020)＝0. 1i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0n∈N*. 2记住以下结果，可提高运算速度 ①1＋i2＝2i，1－i2＝－2i；②＝－i，＝i；③＝－i. 2.＝________. 1　[＝＝＝i2 020＝(i4)505＝1.] 共轭复数及其应用 [探究问题] 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是什么？ 提示：＝a－bi(a，b∈R)． 2．z·的计算结果是什么？ 提示：若z＝a＋bi，则z·＝|z|2＝a2＋b2. 【例3】　已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z. [思路点拨]　→→ →→→ [解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有 解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i. 例3条件改为(z＋2)＝4＋3i，求z. [解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)．则＝x－yi，由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i. 得 解得或 所以z＝－i或 z＝－i. 处理与共轭复数有关问题的思路,当已知条件为含有一个或多个复数