第4章 §3 3.2 半角公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦半角公式这一核心知识点，通过二倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，系统梳理公式结构及适用范围，构建从二倍角到半角的知识支架，涵盖公式推导、求值、化简与证明等应用内容。 以“电脑输入法半角全角”生活实例导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过“思考”问题链驱动自主推导，培养数学思维。例题与跟踪训练结合教材改编及月考真题，强化数学语言表达能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

3．2　半角公式 新课导入 学习目标 同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节．任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？ 1.能用二倍角公式推导半角公式． 2．能熟练运用半角公式求值、化简或证明． 思考1　我们知道二倍角公式中“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用 替换α，结果怎样？ 提示：cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2. 思考2　根据思考1的结果，试用sinα，cos α表示sin ，cos ，tan . 提示：因为cos2＝，所以cos ＝±，同理，sin ＝± ，tan ＝± . [知识梳理] 名称 公式 适用范围 半角的正弦公式 sin ＝± α∈R 半角的余弦公式 cos ＝± 半角的正切公式 tan ＝± α≠(2k＋1)π，k∈Z tan ＝ tan ＝ α≠kπ，k∈Z [例1] (对接教材例5)已知cos α＝，α为第四象限角．求sin ，cos ，tan . 【解】　因为α为第四象限角，所以为第二、四象限角．当为第二象限角时，sin ＝＝，cos ＝－＝－，tan ＝－＝－；当为第四象限角时，sin ＝－＝－，cos ＝＝，tan ＝－＝－. 利用半角公式求值的思路 (1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此，求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． [跟踪训练1] (1)在△ABC中，sin ＝，则tan ＝ (　　) A． B． C．2－ D．－1 解析：选C.因为在△ABC中，sin ＝，所以cos A＝，且A为锐角，所以tan ＝＝2－.故选C. (2)已知α为锐角，cos α＝，则tan ＝ (　　) A． B． C．2 D．3 解析：选D.因为α为锐角，cos α＝，所以sin α＝，则tan ＝＝＝，所以tan ＝＝＝3.故选D. [例2] 化简： (1)·； (2). 【解】　(1)原式＝·＝·＝＝tan . (2)因为tan ＝， 所以tan ·(1＋cos α)＝sin α. 因为0<α<π，0<<，所以sin >0， 所以sin ＝，即＝sin . 又因为cos ＝－sin α， 所以原式＝ ＝－＝－2cos . 探究三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数． (2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法． [跟踪训练2] 已知－π＜α＜π，则化简的结果是________． 解析：＝＝， 因为－π＜α＜π，所以－＜＜， 从而＝＝cos . 答案：cos [例3] 求证：＝tan 2. 【证明】　左边＝＝＝tan 2＝右边． 探究证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． [跟踪训练3] 求证：＝sin 2α. 证明：左边＝＝＝sin αcos α＝sin 2α＝右边． 故等式成立． 1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为 (　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选C.因为α∈(0，π)，所以∈(0，)，所以cos >0，cos ＝＝.故选C. 2．(多选)(2025·济源月考)已知2sin α＝1＋cos α，则tan 的可能取值为 (　　) A. B．1 C．2 D．不存在 解析：选AD.由题意知4sin cos ＝1＋2cos2－1，故有2sincos －cos2＝cos(2sin －cos )＝0，若2sin －cos ＝0，则tan ＝；若cos ＝0，则tan 不存在． 3．(教材P167练习T1改编)已知180°<α<270°且sin (α＋270°)＝，则sin ＝____________，tan ＝____________． 解析：因为sin (α＋270°)＝－cos α＝， 所以cos α＝－，又90°< <135°， 所以sin ＝＝＝， tan ＝－＝－＝－3. 答案：　－3 4．(2025·景德镇月考)证明：··＝tan . 解：证明：左边＝··＝··＝·＝＝＝＝＝tan ＝右边，等式得证． 1．已学习：半角公式、半角公式在化简求值和证明中的应用． 2．须贯通：半角公式在三角恒等变换的综合应用． 3．应注意：半角公式符号的判断，实际问题中角的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $