第6章 §3 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦空间直线位置关系的核心知识点，在已学三个基本事实基础上，系统展开基本事实4、空间直线相交平行异面关系、等角定理及异面直线夹角的学习，构建空间几何的基础认知支架。 资料以折纸折痕等生活实例导入，借助长方体模型直观呈现空间关系，通过正方体例题解析培养几何直观与空间观念，即时练与跟踪训练强化推理能力。课中助力教师直观教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

3．2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(二) 新课导入 学习目标 　　上一节课我们学的三个基本事实是点、直线、平面之间位置关系的基础，也是其他判定定理的基础，这节课我们继续学习相关知识． 1.了解基本事实4和等角定理． 2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行、相交、异面的位置关系． 3．会求异面直线的夹角． 　 把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示． 思考　这些折痕什么关系？ 提示：互相平行． [知识梳理] 文字语言 图形语言 符号语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行 若a∥b，b∥c，则a∥c [即时练] 1．在空间四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，四边形EFGH的形状是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形 解析：选C. 如图所示，因为E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF＝AC且EF∥AC，同理可得HG＝AC 且HG∥AC，所以有HG綊EF，因此四边形EFGH是平行四边形，同理有FG＝BD，又因为AC＝BD，所以EF＝FG，因此四边形EFGH是菱形，故选C. 2．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与AD平行的棱有________________．(填写所有符合条件的棱) 解析：由图可知与AD平行的棱有A′D′，B′C′，BC. 答案：A′D′，B′C′，BC 基本事实4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本事实是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线． 思考　我们知道在同一平面内两条直线有相交和平行两种位置关系，那么在空间中，两条直线是不是也只有相交和平行两种位置关系呢？ 提示： 不是．观察如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB与棱CC′所在的直线，可以发现直线AB和直线CC′既不相交，也不平行． [知识梳理] 1．异面直线的概念 (1)定义：不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线． (2)异面直线的画法(平面衬托法) 如图1，图2所示，为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托． 2．空间两条直线的位置关系 [例1] (多选) 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线BN与MB1是异面直线 C．AM与BN平行 D．直线A1M与BN共面 【解析】　根据异面直线的定义可以判断直线AM与CC1、直线BN与MB1、直线AM与BN都是异面直线，因此选项A，C不正确，选项B正确．连接MN，D1C，A1B(图略)，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C， 由正方体的性质可知A1D1∥BC，A1D1＝BC， 所以四边形A1D1CB是平行四边形， 因此D1C∥A1B，所以MN∥A1B， 因此M，N，A1，B四点共面， 所以直线A1M与BN共面，因此选项D正确． 【答案】　BD 判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交).　 (3)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．如图，A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒直线AB与l是异面直线． 　 [跟踪训练1] (1)已知a，b是空间中两条不同的直线，则“a，b是异面直线”是“a，b没有公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若a，b是空间中两条不同的直线，且a，b是异面直线，则a，b没有公共点；若a，b是空间中两条不同的直线，且a，b没有公共点，则a，b是异面直线或a∥b，故“a，b是异面直线”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件． (2) 如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，P是线段A1C1上的动点(含端点)，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　) A．DD1 B．B1C C．D1C D．AC 解析：选D.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥DD1，当点P是A1C1与B1D1的交点时，BP⊂平面BDD1B1，DD1⊂平面BDD1B1，DD1与BP共面，A错误；当点P与C1重合时，BP与B1C相交，B错误；当点P与A1重合时，BP∥D1C，C错误；因为AC⊂平面ABCD，B∉AC，B∈平面ABCD，P∉平面ABCD，所以BP与AC是异面直线，D正确． [知识梳理] 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [即时练] 1．若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，则OB与O′B′(　　) A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反 C．一定不平行 D．不一定平行 解析：选D.如图，若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，OB与O′B′不一定平行．故选D. 2．已知空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，若AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝40°，则∠A′B′C′的大小是________． 解析：空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，因为AB∥A′B′，BC∥B′C′且∠ABC＝40°，则∠A′B′C′＝40°或∠A′B′C′＝180°－40°＝140°. 答案：40°或140° (1)空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补． (2)空间等角定理表明把空间中的一个角平移后角的大小不变． (3)由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的角相等． 　 思考　若把立交桥抽象成直线，它们在不同的平面内，一条南北走向和一条东西走向(不同层)的立交桥所在直线的夹角如何刻画？ 提示：通过平移将异面直线转化成相交直线，利用相交直线的夹角来刻画异面直线的夹角． [知识梳理] 定义 已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b的夹角 取值范围 异面直线夹角θ的取值范围：0°<θ≤90° 特例 当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b [例2] (对接教材例2) 如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG的夹角； (2)FO与BD的夹角． 【解】　(1)因为CG∥BF， 所以∠EBF是异面直线BE与CG的夹角． 在Rt△EFB中，EF＝FB，所以∠EBF＝45°， 所以BE与CG的夹角为45°. (2)如图，连接FH， 因为FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， 所以FB＝HD，FB∥HD， 所以四边形FBDH是平行四边形，所以BD∥FH， 所以∠HFO或其补角是FO与BD的夹角， 连接HA，AF，则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，所以∠HFO＝30°， 所以FO与BD的夹角为30°. 求两异面直线夹角的三个步骤 (1)作(或找)：根据异面直线夹角的定义，用平移法作(或找)出异面直线的夹角． (2)证：证明作(或找)出的角就是要求的角． (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． 注意　可用“一作(或找)二证三计算”来概括．同时注意异面直线夹角的范围是0°<θ≤90°. [跟踪训练2] (2025·上饶期末) 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD＝，则异面直线SA与BD夹角的余弦值为________． 解析： 如图，连接AD，BC，AC，SC.因为O为AB，CD中点，且AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形， 所以BD∥AC，所以∠SAC即为异面直线SA与BD的夹角． 设圆O的半径为1，则SA＝SC＝. 因为∠AOD＝，所以∠ADO＝∠OAD＝， 所以在Rt△DAC中，CD＝2，AD＝OD＝1， AC＝CD sin ＝. 所以cos ∠SAC＝＝， 所以异面直线SA与BD夹角的余弦值为. 答案： 　 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　) A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交 解析：选D. 如图所示，a，b是两条异面直线．AB，AC都与a，b相交，而AB，AC相交．AB，DE也都与a，b相交，而AB，DE异面．故分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是异面或相交．故选D. 2.(多选)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则下列各棱与EF平行的有(　　) A．AD B．AB C．BC D．AA1 解析：选AC.由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1， 因为与棱B1C1平行的棱有AD, BC，A1D1，所以这3条棱都与EF平行． 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点，则∠ED1F________∠CGB.(填“>”“<”或“＝”) 解析：依题意得EC∥D1G且EC＝D1G，所以四边形ECGD1为平行四边形，所以GC∥D1E，同理可得GB∥D1F，由题图知，两平行线方向均相同，所以∠ED1F＝∠CGB. 答案：＝ 4.(教材P226T3改编)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC的夹角的大小为________． 解析： 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC的夹角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以△BDE为等边三角形，所以∠BDE＝60°. 答案：60° 1．已学习：基本事实4、空间两直线的位置关系、等角定理、异面直线的夹角． 2．须贯通：利用平行转化求异面直线的夹角． 3．应注意：(1)容易忽视异面直线夹角θ的范围是0°<θ≤90°；(2)等角定理应用时往往忽视两角互补的情况． 　 学科网（北京）股份有限公司 $