第2章 §6 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦正余弦定理的综合应用这一核心知识点，在学生已掌握正余弦定理基础上，系统整合多边形计算、平面几何证明、面积问题等综合题型，结合秦九韶“三斜求积”公式拓展，构建从单一应用到综合解决复杂问题的学习支架。 该资料通过典型例题（如四边形边角计算）和跟踪训练，引导学生用数学眼光抽象图形中的边角关系，用数学思维进行逻辑推理（如证明三角形边的不等关系），用数学语言规范表达定理应用过程。课中助力教师高效授课，课后练习题与总结帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升综合解题能力。

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 新课导入 学习目标 　　我们前两节课学习了余弦定理和正弦定理，利用两个定理可以解决三角形的边角问题，其实，在很多问题中，两个定理相互渗透，相互联系，并不是单独使用，这节课，我们就来研究二者的综合问题． 1.能灵活选择恰当的三角形的面积公式解决有关面积的问题． 2．能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题． 一　多边形中的计算问题 [例1] (对接教材例7)在四边形ABCD中，A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，BC＝1，CD＝2.求： (1)∠CBD的大小； (2)AB的值． 【解】　(1)在△BCD中，BC＝1，CD＝2，由余弦定理，得BD＝ ＝＝. 则BC2＋BD2＝CD2，所以∠CBD＝90°. (2)因为∠ABC＝105°，∠CBD＝90°， 所以∠ABD＝105°－90°＝15°， 所以∠ADB＝180°－A－∠ABD＝120°， 在△ABD中，由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝. 求解有关多边形的计算问题的思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． [跟踪训练1] (2025·南阳月考)如图，△ADC是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2. (1)求∠ABE； (2)求△ABD的面积． 参考数据：sin 105°＝. 解：(1)由已知得AC＝AD＝CD＝BC＝，∠DAC＝∠ADC＝∠ACD＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°， 所以△BCD是等腰三角形，∠BCD＝60°＋90°＝150°，所以∠DBC＝(180°－150°)＝15°， 所以∠ABE＝45°－15°＝30°. (2)由(1)知△ABD中，∠DAB＝60°＋45°＝105°， 又sin 105°＝， 所以S△ABD＝AB·AD sin 105°＝. 二　平面几何中的证明问题 [例2] 在△ABC中，2B＝A＋C，b＝1，求证：1<a＋c≤2. 【证明】　因为A＋B＋C＝180°，又2B＝A＋C，所以B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得1＝a2＋c2－ac，即(a＋c)2－1＝3ac≤，所以0<a＋c≤2，当且仅当a＝c时，等号成立．又a＋c>b＝1，故1<a＋c≤2. 三角形中不等关系的证明有两种策略 (1)利用正弦定理将边转化为角的正弦，利用三角函数值域的有界性即可得出． (2)应用余弦定理，借助于基本不等式和三角形三边关系，便可得到． [跟踪训练2] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记作a，b，c.若a＝sin B，b＝sin C，且c＝λa(λ∈R＋)，求证：B≤. 证明：由题可得＝，由正弦定理得＝，即b2＝ac.由于c＝λa(λ∈R＋)，且由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝ac，将c＝λa代入，则有(λ2＋1)a2－2λa2cos B＝λa2，化简可得(λ2＋1)－2λcos B＝λ，即cos B＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即λ＝1时，取等号．因为B∈(0，π)，y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以B≤. 三　正弦定理、余弦定理的综合问题 [例3] (2024·新课标Ⅰ卷改编)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 参考数据：sin ＝. 【解】　(1)由余弦定理得cos C＝＝，又0<C<π，所以C＝. 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0<B<，所以B＝. (2)由(1)得A＝π－B－C＝， 所以sin A＝. 由正弦定理＝，得＝，所以a＝c. 所以△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋，解得c＝2(负值已舍去). 利用正弦定理、余弦定理求解综合问题 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系． (2)抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． [跟踪训练3] 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(cos A，cos B)，n＝(b－2c，a)，且m⊥n. (1)求角A； (2)若a＝2， ①求的值； ②求△ABC周长的取值范围． 解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0， 所以(b－2c)cos A＋a cos B＝0， 即b cos A＋a cos B＝2c cos A，由余弦定理得 b·＋a·＝2c cos A，即c＝2c cos A，因为c≠0，所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)①由正弦定理得 ＝＝＝＝， 所以＝. ②由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 所以bc＝. 又b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立， 所以(b＋c)2≥4·，即(b＋c)2≤16， 所以0<b＋c≤4，当且仅当b＝c时，等号成立． 又b＋c>a＝2，所以2<b＋c≤4. 故4<a＋b＋c≤6， 即△ABC周长的取值范围为(4，6]. 拓视野 秦九韶的“三斜求积” 秦九韶的“三斜求积”，就是指秦九韶公式，作为中国古代数学中的优秀成果之一介绍出来，它给出了三角形的面积和边长之间的定量关系，没有角度形式出现，这样的话，在我们的条件只有边关系时，就可考虑从这个角度入手解题．近年来，以这方面为背景的解三角形压轴题目多次出现． 秦九韶公式：S＝. 注：将秦九韶公式进一步整理可得海伦公式：S＝，p＝(a＋b＋c). [典例] (2025·深圳模拟)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法：“三斜求积”，即△ABC的面积S＝，若b＝2，且sin C＝sin A，则△ABC的面积S的最大值为________． 【解析】　因为sin C＝sin A， 由正弦定理可得c＝a， 所以S＝ ＝＝， 当a2＝4，即a＝2时，面积S取得最大值，Smax＝＝. 【答案】　 [练习1] 在△ABC中，若a2sin C＝4sin A，(a－c)2＝b2－4，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为(　　) A． B．2 C． D．2 解析：选C．由正弦定理可得a2c＝4a，则ac＝4，又a2－2ac＋c2＝b2－4，即a2＋c2－b2＝2ac－4＝4，所以S＝＝. [练习2] 已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式被称为海伦公式．现有一个三角形的三边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：选C．因为a＝6，b＋c＝8，所以p＝＝7，又由三角形边长关系可得1<b<7，1<c<7，所以S＝≤×＝×＝3，当且仅当7－b＝7－c即b＝c＝4时等号成立，所以此三角形面积的最大值为3. 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选A．由sin C＝2sin B可得c＝2b，由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，又0°<A<180°，所以A＝30°.故选A． 2．已知a，b，c分别表示△ABC中内角A，B，C所对的边长，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则的值为(　　) A． B．2 C． D． 解析：选A．因为A＝60°，b＝1，S△ABC＝，所以＝×1·c sin 60°，所以c＝4.由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以a2＝1＋16－4＝13，a＝，所以由正弦定理得＝＝＝.故选A． 3．在△ABC中，A，B，C三个内角所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2＋ac，若b＝4，则△ABC的面积的最大值为________． 解析：由余弦定理的推论可知，cos B＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.由余弦定理及基本不等式可知，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤b2＝16，当且仅当a＝c＝4时取等号，所以△ABC的面积为S＝ac sin B≤×16×＝4.所以△ABC的面积的最大值为4. 答案：4 4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角．证明：B－A＝. 证明：由a＝b tan A及正弦定理，得＝＝，所以sin B＝cos A，因为在△ABC中B为钝角，所以A为锐角，所以sin B＝sin ，所以＋A∈，则B＝＋A，即B－A＝. 1．已学习：多边形中的计算问题、平面几何中的证明问题、正、余弦定理的综合应用． 2．须贯通：结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角形实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形． 学科网（北京）股份有限公司 $