第2章 §6 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦平面向量在几何与物理中的应用，衔接向量线性运算、数量积等基础，通过证明平行垂直、求解长度夹角及解决力与功等问题，构建从理论到实践的学习支架。 资料以双解法（基法与坐标法）培养数学思维，结合物理实例强化数学语言表达现实，跟踪训练与分层练习助力课中教学实施，课后可帮助学生查漏补缺，提升几何直观与应用意识。

6．2　平面向量在几何、物理中的应用举例 新课导入 学习目标 　　向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具． 1.能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中的有关力、速度、功等问题． 一　用向量方法解决平面几何问题 角度1　利用向量证明平面几何问题 [例1] (对接教材例16)已知在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线． 【证明】　方法一：由已知得四边形AECD为正方形，AE＝EB，设＝a，＝b. (1)因为＝－＝a－b，＝－＝a－b，所以＝，所以∥且DE，CB无公共点，所以DE∥BC. (2)连接DM，MB(图略)，＝＋＝a－b，＝＋＝－b＋a，所以＝，又与有公共点M，所以D，M，B三点共线． 方法二：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接MB，MD.令||＝1，则||＝1，||＝2.因为CE⊥AB，且AD＝DC，所以四边形AECD为正方形．所以可求得各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1). (1)因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，所以＝，所以∥且DE，BC无公共点，所以DE∥BC. (2)因为M为EC的中点，所以M，所以＝(－1，1)－＝，＝(1，0)－＝.所以＝－，所以∥.又与有公共点M，所以D，M，B三点共线． 用向量证明平面几何问题的基本思路及步骤 (1)基法 ①选取基；②用基表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． [跟踪训练1] 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC. 证明：方法一：因为∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB， 所以设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|， 则＝2e2. 所以＝＋＝e1＋e2， ＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2. 而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e ＝|e1|2－|e2|2＝0，所以⊥，即AC⊥BC. 方法二：如图，建立平面直角坐标系，设CD＝1，则A(0，0)， B(2，0)，C(1，1). 所以＝(－1，1)，＝(1，1). 所以·＝(－1，1)·(1，1)＝－1＋1＝0. 所以AC⊥BC. 角度2　利用向量解决平面几何中的线段长度及夹角问题 [例2] (1)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，且＝，则向量的模为(　　) A． B． C． D． (2)已知菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为________． 【解析】　(1)因为AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，所以·＝－8. 因为＝－＝－＝(＋)－＝－＋， 所以||＝＝ ＝.故选B． (2)设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则点A(，0)，B(0，1)， E(－，－)， 所以＝(，)，＝(，)， 则cos ∠AEB＝＝＝. 【答案】　(1)B　(2) (1)用向量法求线段长度的策略 ①根据图形特点选择基，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解； ②建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法求夹角的策略 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出 cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是[0，π]. [跟踪训练2] (1)已知O为△ABC的外心，且＝＋，则cos ∠BOC＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选B．设圆O为△ABC的外接圆，半径为2，由于＝＋，所以－＝＝，所以CA∥OB，CA＝OB＝1. 设∠BOC＝θ，则∠OCA＝π－θ，在△OAC中， 由余弦定理得cos (π－θ)＝＝， 即－cos θ＝，所以cos θ＝－. 故选B． (2)如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，则线段EF的长是________． 解析：依题意，＝＋＋，＝＋＋， 因为E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，则2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋， 如图，过点A作AG∥CD交BC于点G，则∠AGB＝∠BCD＝45°，而∠ABC＝75°，则有∠BAG＝60°，于是得〈，〉＝60°， 则||＝ ＝ ＝×＝. 所以线段EF的长为. 答案： 二　向量在物理中的应用 [知识梳理] 1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，因此，可以用向量的知识来解决许多物理问题． 2．物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角). [例3] (1)(对接教材例17)如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.若此人实际前进方向与水流方向垂直，且|v2|＝ m/s，则他游泳的方向与水流方向的夹角β为(　　) A． B． C． D． (2)(对接教材例20)一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． 【解】　(1)选C．如图，设＝v0， ＝v1，＝v2，则由题意知v2＝v0＋v1，||＝1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．由题意知∠AOC＝∠OCB＝，且|v2|＝||＝，||＝1，则在Rt△OBC中，|v1|＝||＝＝2， tan ∠BOC＝＝.又∠BOC∈，所以∠BOC＝，则β＝＋＝. (2)以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示． 则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)， 所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4). 又因为位移s＝(4，4)， 所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J). 即合力F所做的功为24 J． 用向量方法解决物理问题的四个步骤 [跟踪训练3] (1)(多选)在水流速度大小为4 km/h 的河水中，一艘船以12 km/h大小的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船在静水中航行速度的大小和方向的说法中，正确的是(　　) A．这艘船在静水中航行速度的大小为12 km/h B．这艘船在静水中航行速度的大小为8 km/h C．这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为150° D．这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为120° 解析：选BD．如图，设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船在静水中航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知|v3|＝＝8(km/h). 设船在静水中航行速度的方向和水流方向的夹角为θ，则tan (180°－θ)＝＝＝， 所以tan θ＝－，θ＝120°， 船在静水中的速度为8 km/h， 航行速度方向与水流方向的夹角为120°.故B，D正确，故选BD． (2)一质点在力F1＝(－3，5)，F2＝(2，－3)的共同作用下，由点A(10，－5)移动到B(－4，0)，则F1，F2的合力F对该质点所做的功为(　　) A．24 J B．－24 J C．110 J D．－110 J 解析：选A．由题意可知，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(－3，5)＋(2，－3)＝(－1，2)，＝(－4－10，0＋5)＝(－14，5)，则由共点力平衡得合力F对该质点所做的功为F·＝(－1，2)·(－14，5)＝24 J．故选A． 1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC＝(　　) A．－ B． C．0 D． 解析：选B．如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4).又∠BDC为，的夹角，所以cos ∠BDC＝＝＝. 2．(多选)如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中(　　) A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断减小 C．船受到的浮力不断减小 D．船受到的浮力保持不变 解析：选AC．设水的阻力为f，船受到的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ(0<θ<)， 则|F|cos θ＝|f|，故|F|＝，因为θ不断增大，所以cos θ不断减小，故|F|不断增大． 因为|F|sin θ不断增大，所以船受到的浮力不断减小．故选AC． 3．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量的模为__________． 解析：因为＝＋＝＋＝－， 所以||＝ ＝ ＝ ＝. 答案： 4．(教材P127T2改编)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：方法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝(b＋)·(－a＋)＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 1．已学习：平面向量在平面几何、物理中的应用． 2．须贯通：用向量解决平面几何、物理问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题上，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：忘记把向量运算的结果转化为平面几何、物理问题． 学科网（北京）股份有限公司 $