2.6.1课时3用余弦定理、正弦定理解三角形 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 平面向量及其应用 互动设计 2.6.1余弦定理与正弦定理 课时3 用余弦定理、正弦定理解三角形 互动设计课程 1 学 习 目 标 1 2 熟练掌握正弦定理、余弦定理的表达式及适用条件，能灵活运用两个定理解决三角形的边、角求解问题，包括已知两边及一角、两角及一边、三边等常见题型；能区分两个定理的适用场景，避免解题误区。 通过情境探究、互动推导、例题演练，培养逻辑推理能力、运算求解能力和分类讨论思想，学会将实际问题转化为解三角形问题，提升知识应用能力。 新课引入 航海救援问题 问题：一艘货轮在海上航行，突然遇到险情发出求救信号。救援船位于货轮东偏北 30° 方向 20 海里处，货轮正沿东偏南 15° 方向以 10 海里/小时的速度航行。若救援船速度为 30 海里/小时，问救援船应以什么方向航行才能最快追上货轮？需要多长时间？ 久 思考：这是一个涉及三角形边角关系的实际问题，需要建立三角形模型求解。 新课引入 测量不可达距离 问题：如何测量河对岸两点 A、B 之间的距离？（无法直接到达 A、B 两点） 方案：在岸边选取点 C，测得 BC=100"m" ，∠ACB=60°，∠ABC=45°，能否求出 AB 的长度？ 构建体系 解三角形与三角形有关的几何计算 用余弦定理与正弦定理解三角形 在三角形的三条边和三个角这6个元素中,如果已知3个(至少含一边长),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3个元素.具体情形如下: 情形1　已知两个角的大小与一条边的边长. 先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小,然后根据正弦定理求得另外两条边的边长. 情形2　已知两条边的边长及其夹角的大小. 先由余弦定理求出第三条边的边长,然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小. 构建体系 解三角形与三角形有关的几何计算 用余弦定理与正弦定理解三角形 正弦定理的应用 已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角. 余弦定理的应用 已知三角形的两边及其夹角,求其他的边和角. 已知三角形的两边与其中一边的对角,求另一边的对角,进而计算出其他的边和角. 已知三角形的三边,求三个角. 构建体系 解三角形的实际问题 用余弦定理与正弦定理解三角形 1.实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫作基线 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 构建体系 解三角形的实际问题 用余弦定理与正弦定理解三角形 1.实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 南偏西60°（以正南方向为始边，转向目标方向线所夹的角 典例分析 题型1 正余弦定在几何图形中的应用 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA； (2)若AD＝3AC，求AC. 正弦定理 在△ABC中，由正弦定理得，=，即=， 解得sin∠BCA=。 余弦定理 （2)设AC=x，AD=3x，在Rt△ACD中，CD=，sin∠CAD==。在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos∠BAC==。又∠BAC+∠CAD=，所以cos∠BAC=sin∠CAD，即=。整理得-8x-3=0，解得x=3或x=-(舍去)，即AC=3。 典例分析 题型1 正余弦定在几何图形中的应用 如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　) A.　 　B．5 C．6 D．7 分割图形 求BD 连接BD， 求∠ABD 在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝120°－30°＝90°. 在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，可得BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD＝2， 求面积 ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.故选B. 典例分析 题型1 正余弦定在几何图形中的应用 在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长. BD 解在△ABD中,设BD=x,由余弦定理,得BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA 即142=x2+102-2·10x·cos 60°,整理得x2-10x-96=0, 解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16. BC 由AD⊥CD,∠BDA=60°,知∠CDB=30°,由正弦定理， 得， 所以。 典例分析 题型2 正、余弦定理与平面向量的结合应用 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝1，求△ABC的面积． 向量转三角 (1) 因为 ，所以 ， 求A 由正弦定理，得 。 因为 ，所以 。 因为 ，所以 。 求B 由正弦定理得 ， 得：。由 知 ，所以 求C及面积 所以 ，。 典例分析 题型2 正、余弦定理与平面向量的结合应用 在中，角，，的对边分别为，，。已知，，，求和。 求角A 已知 ， ，且 。两式相除得： 因为 ，所以 。 求边c 代入 、 到 中： 解得 。 求边a 由余弦定理，代入 、、： 所以 。 典例分析 题型3 解三角形的实际应用题 如图 ,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经视察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200 m 后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角. (1)求点A与参照物C的距离; (2)求河的宽度. 典例分析 题型3 解三角形的实际应用题 如图所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为 　　　m.  解析由题意,得∠ACB=180°-30°-75°=75°,所以△ABC为等腰三角形.因为河宽即边AB上的高,这与边AC上的高相等,过点B作BD⊥AC于D, 所以河宽=BD=120sin 30°=60(m). 答案60 典例分析 题型3 解三角形的实际应用题 如图，隔河看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距的两点，并测得 ，，，（在同一平面内），求两个目标之间的距离。 举一反三 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为________． 2(1)在中，，，，则的长为( ) A. B. C.或 D.无解 (2)在中，，且为锐角，三角形的形状为__________. 举一反三 3.在学校每周一举行的升旗仪式上，从坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10米(如图所示)，则旗杆的高度为________米． 举一反三 4.　在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处有一条缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向航行能最快追上走私船？最少要花多长时间？ 学海拾贝 核心内容 正弦定理（ = = 2R）和余弦定理（a² = b² + c² - 2bc·cosA等），掌握其表达式、变形及适用场景； 解三角形的基本题型 AAS、ASA、SAS、SSS、SSA，其中SSA需重点判断解的个数； 解题步骤 先判断适用定理→代入计算→验证结果（结合三角形内角和、边角关系）。 知识小结 学海拾贝 数形结合 画图辅助分析，明确已知量和未知量，避免混淆边角对应关系； 分类讨论 针对SSA题型，根据b·sinA与a的大小关系，判断解的个数； 运算技巧 熟练掌握三角函数值（特殊角、特殊三角函数组合），提高运算准确性，避免计算错误。 方法小结 学海拾贝 后续展望 熟记两个定理及变形，完成课后习题，巩固基础题型； 重点练习SSA题型，总结解的个数的判断方法，避免易错点； 尝试将生活中的实际测量问题转化为解三角形问题，提升知识应用能力。 解析：将c2＝a2＋b2－2abcos C与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，则S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \r(3). 答案：eq \r(3) 解析：如图所示，记看台上的一列为BC，旗杆为OP， 依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∠PBO＝60°，BC＝10eq \r(6)米，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°， ∴在△PBC中，由正弦定理可知PB＝eq \f(CB,sin ∠CPB)·sin ∠PCB＝20eq \r(3)(米)，∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin ∠PBO＝20eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝30(米)，即旗杆的高度为30米． 解析：如图所示，假设缉私船用t(t>0)小时在D处追上走私船，两船所用时间相等，则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t. 由题意知AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC＝(eq \r(3)－1)2＋22－2×(eq \r(3)－1)×2×cos 120°＝6，所以BC＝eq \r(6). 在△ABC中，由正弦定理得eq \f(BC,sin ∠BAC)＝eq \f(AC,sin ∠ABC)， 故sin ∠ABC＝eq \f(\r(2),2). 又因为0°<∠ABC<60°，所以∠ABC＝45°，则BC为东西走向， 所以∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理得sin ∠BCD＝eq \f(BDsin ∠CBD,CD)＝eq \f(10tsin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2). 因为0°<∠BCD<60°，所以∠BCD＝30°，所以∠BDC＝180°－120°－30°＝30°，则BD＝BC＝eq \r(6)，即10t＝eq \r(6)，得t＝eq \f(\r(6),10). 所以缉私船沿北偏东60°方向航行能最快追上走私船，最少需用eq \f(\r(6),10)小时． $