2.6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦用余弦定理、正弦定理解三角形这一核心知识点，通过测量距离、高度、角度三类题型，搭建从实际问题到定理应用的学习支架，帮助学生掌握构造三角形、转化边长求解的方法。 以隋唐天坛测距、气象仪器测高等真实情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过“题型示例—思维建模—针对训练”结构，强化数学思维的逻辑推理，用数学语言表达实际问题，课中助力教师高效讲评，课后辅助学生巩固知识、查漏补缺。

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　测量距离问题 [例1]　如图是隋唐天坛,古叫圜丘,它位于唐长安城明德门遗址东约950米,即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末,比北京明清天坛早1 000多年,是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径,在天坛外围测得AB=60米,BC=60米,CD=40米,∠ABC=60°,∠BCD=120°,据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据:≈1.414,≈1.732, ≈2.236,≈2.646) (　　) A.39米 B.43米 C.49米 D.53米 解析:在△ACB中,AB=60,BC=60,∠ABC=60°,所以AC=60.在△CDA中,AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos 60°= 602+402-2×60×40×=2 800,所以AD=20≈53(米). 答案:D 　　|思|维|建|模| 距离问题的类型及解法 (1)类型:两点间既不可达也不可视,两点间可视但不可达,两点都不可达. (2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解. 　　[针对训练] 1.A,B两地之间隔着一个山岗,如图,现选择另一点C,测得CA=7 km,CB=5 km,C=60°,则A,B两点之间的距离为__________km.  解析:由余弦定理,得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C=72+52-2×7×5×=39.所以AB=. 答案: 2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于__________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)  解析:过点A作AD垂直于CB的延长线,垂足为D(图略),则在Rt△ADB中,∠ABD=67°,AD=46, 则AB=.在△ABC中,根据正弦定理得BC==46×≈60(m). 答案:60 题型(二)　测量高度问题 [例2]　某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行该仪器的弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15°,A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解:设AC=x m,则BC=x-×340=(x-40)m. 在△ABC中,根据余弦定理得(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°+15°=45°,∠AHC=90°-30°=60°. 由正弦定理得=, 得CH=AC·=140(m). 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. 　　|思|维|建|模| 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图:根据已知条件画出示意图; (2)分析三角形:分析与问题有关的三角形; (3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解. 在解题中,要综合运用几何知识与方程思想. 　　[针对训练] 3.如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为 (　　) A. m B. m C. m D. m 解析:选A　设山顶为A,塔底为C,塔顶为D,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点B(图略),则易得AB=,BD=AB·tan 30°=·tan 30°=×=(m),所以CD=BC-BD=200-=(m). 题型(三)　测量角度问题 [例3]　已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船? 解:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x,AC=5,依题意, ∠BAC=180°-38°-22°=120°, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14. 又由正弦定理得 sin∠ABC===, 所以∠ABC=38°. 又∠BAD=38°,所以BC∥AD. 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船. 　　|思|维|建|模| (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题. (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解. 　　[针对训练] 4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于 (　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 解析:选B　依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD= ===, 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°.所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $