第2章 §6 6.1 第2课时 正弦定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦正弦定理这一核心知识点，从直角三角形中边角关系切入，通过问题链引导学生推广至斜三角形，系统推导正弦定理及变形公式，构建“定理推导-公式应用-解的判断-形状判定”的完整学习支架。 资料以“河对岸距离测量”情境导入，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过分层例题与跟踪训练，强化数学思维中的推理能力，助力教师课堂教学效率提升，也便于学生课后查漏补缺，巩固知识应用。

第2课时　正弦定理 新课导入 学习目标 在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成．不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长、∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？ 1.通过对任意三角形边长和角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法． 2．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题． 3．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题． 一　正弦定理及其变形 思考1　在Rt△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，则有sin A＝，sin B＝.从这两个式子能得到关于A，B，a，b怎样的定量关系？ 提示：＝＝c＝. 思考2　在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c, ＝＝是否成立？如何证明呢？ 提示：如图，若△ABC为锐角三角形，过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝a sin C＝c sin A，所以＝.同理可得＝.因此＝＝. 若△ABC为钝角三角形，仿照上述方法，同样可得＝＝. [知识梳理] 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 2．正弦定理的变形 R为△ABC外接圆的半径． (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C(边角互化). (4)＝＝＝. 角度1　已知两角及一边解三角形 [例1] 在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． 【解】　因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由＝得a＝＝＝10.又a2＝b2＋c2－2bc cos A，即(10)2＝b2＋102－10b，所以b＝5＋5(负值已舍去). 已知两角及一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理或余弦定理求出第三条边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． [跟踪训练1] (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，cos B＝，a＝10，则b＝________． 解析：因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝.又sin A＝，a＝10，所以由正弦定理得＝，故＝，解得b＝. 答案： (2)在△ABC中，B＝30°，C＝45°，c＝1，则b＝________；△ABC外接圆的半径R＝________． 解析：已知B＝30°，C＝45°，c＝1，由正弦定理得＝＝2R，所以b＝＝＝，因为＝2R，所以R＝. 答案：　 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 [例2] 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求B，C. 【解】　因为＝，所以sin C＝＝＝，因为0°<C<135°，所以C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°；当C＝120°时，B＝15°.所以B＝75°，C＝60°或B＝15°，C＝120°. 母题探究　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解：因为＝，所以sin A＝＝＝.因为c＝>2＝a，所以C>A.所以A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤 [跟踪训练2] (1)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，则A＝(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．30° 解析：选C．由题知a＝，b＝，B＝45°，在△ABC中，由正弦定理可得，＝，故＝，解得sin A＝，因为a＝>＝b，所以45°<A<135°，所以A＝60°或A＝120°.故选C． (2)在△ABC中，A＝，BC＝6，AB＝2，则C＝____________． 解析：由正弦定理得＝，所以＝，sin C＝＝，由于AB<BC，所以C为小于的锐角，所以C＝. 答案： 二　三角形解的个数的判断 [例3] 不解三角形，判断下列三角形解的个数： (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 【解】　方法一：(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解． (2)sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°，满足A＋B<180°；当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°.故三角形有两解． (3)sin B＝＝sin C>sin C＝.所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解． 方法二：(1)因为A＝120°为钝角，a＝5，b＝4， 所以a>b，结合图形可知三角形有一解． (2)因为a＝9，b＝10，A＝60°， 所以b sin A＝10×sin 60°＝5<9＝a，可知b sin A<a<b， 故三角形有两解． (3)b＝72，c＝50，C＝135°， 因为C为钝角，c<b，所以三角形无解． 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： 类别 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>b sin A 两解 a＝b sin A 一解 a<b sin A 无解 [跟踪训练3] (多选)(2025·宿州月考)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 解析：选ABD．对于A，因为b sin A＝16×sin 30°＝8＝a，故只有一解，A正确；对于B，因为c sin B＝20×sin 60°＝10，所以c sin B<b<c，故有两解，B正确；对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，a>c，故有一解，C错误；对于D，因为A为钝角，又b<a，所以有一解，D正确． 三　判断三角形的形状 [例4] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状． 【解】　由正弦定理得＝， 由2cos A sin B＝sin C，得cos A＝＝. 又cos A＝，所以＝， 即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b. 又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 所以(a＋b)2－c2＝3ab， 所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c. 综上，a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形． 判断三角形形状的两种途径 注意　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． [跟踪训练4] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin Bsin C＝sin2A，则△ABC是(　　) A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C．根据正弦定理可知sinB sin C＝sin2A⇔bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc⇔(b－c)2＝0，所以b＝c，又因为bc＝a2，所以a＝b＝c，即△ABC是等边三角形．故选C． (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin＝，且a sin B＝c sin A，则该三角形的形状是(　　) A．三边均不相等的三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C．因为sin ＝，∈，所以＝，即B＝，由a sin B＝c sin A，结合正弦定理得，2R sin A sin B＝2R sin C sin A，又sin A≠0，所以sin B＝sin C，则b＝c，因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以△ABC为等边三角形．故选C． 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　) A． B． C． D． 解析：选A．根据正弦定理，得＝＝.故选A． 2．(多选)(2025·宜春月考)在△ABC中，AB＝，B＝60°，若满足条件的三角形有两个，则AC边的取值可能是(　　) A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 解析：选BC．根据题意可得，满足条件的△ABC有两个，所以AB×sin B<AC<AB，解得<AC<. 3．(教材P118T1改编)在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝________． 解析：因为A＝105°，B＝45°， 所以C＝180°－A－B＝30°， 由正弦定理得c＝＝＝1. 答案：1 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b＝2a sin B，cos A＝cos C，试判断△ABC的形状． 解：因为3b＝2a sin B，由正弦定理可得3sin B＝2sin A sin B. 因为0°<B<180°，所以sin B≠0， 所以sin A＝， 又0°<A<180°， 所以A＝60°或A＝120°， 又因为cos A＝cos C，所以A＝C＝60°， 故△ABC为等边三角形． 1．已学习：正弦定理及公式变形、利用正弦定理解三角形、利用正弦定理判断三角形解的情况及判断三角形的形状． 2．须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $