2.6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦用余弦定理、正弦定理解三角形，系统梳理定理适用题型（已知两边及夹角、三边用余弦定理，两角及一边、两边及对角用正弦定理），结合三角形内角和变形、边角关系结论，构建从基础几何计算到实际问题解决再到向量综合应用的学习支架。 资料以任务驱动设计，通过链教材例题（如四边形角度计算、快递路线规划）和对点练，培养数学建模、数学运算素养。实际问题情境（如货轮加油）提升逻辑推理能力，向量综合题强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过例题解析与练习查漏补缺，巩固知识应用。

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 学习目标 1.了解余弦定理、正弦定理在解三角形中适合的边角类型.　2.利用余弦定理、正弦定理解决与三角形有关的几何计算问题，培养直观想象、数学运算的核心素养.　3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题，提升逻辑推理、数学建模的核心素养. 任务一　用余弦定理、正弦定理解决有关几何计算问题 1.在解三角形时，适合用余弦定理的题目类型 (1)已知两边及夹角； (2)已知三边； (3)已知两边及一边的对角. 2.在解三角形时，适合用正弦定理的题型 (1)已知两角及一边； (2)已知两边及一边的对角. 3.三角形中常用的变形和结论 由A＋B＋C＝180°可得 (1)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C； (2)sin＝cos，cos＝sin. 4.重要结论：在△ABC中， (1)若sin A＝sin B或cos A＝cos B，则A＝B； (2)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝； (3)acos B＋bcos A＝c，bcos C＋ccos B＝a，acos C＋ccos A＝b.(可以利用余弦定理推导、也可以利用投影得到结论) (链教材P120例7)如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60°，BC＝1，CD＝2. (1)求∠CBD的大小； (2)求AB的值. 解：(1)在△BCD中，由余弦定理，得 BD＝ ＝＝. 由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2， 所以∠CBD＝90°. (2)因为∠ABC＝105°，∠CBD＝90°， 所以∠ABD＝105°－90°＝15°， 所以∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°， 在△ABD中，由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝. 学生用书⬇第92页 平面几何中长度、角度的计算问题的一般思路 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解. 2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 注意：做题过程中，可能用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能更顺利解决问题. 对点练1.如图，在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知b＋c＝3a，b＝4. (1)求角C； (2)若c＝7，过B作AC的垂线并延长到点D，使A，B，C，D四点共圆，AC与BD交于点E，求四边形ABCD的面积. 解：(1)联立方程组解得c＝a，b＝a. 不妨设a＝5m，可得c＝7m，b＝8m. 由余弦定理，得cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)由c＝7，由(1)知a＝5，b＝8，可得S△ABC＝absin C＝×5×8×＝10， 因为过B作AC的垂线并延长到点D，使A，B，C，D四点共圆，如图所示. 在直角△BCE中，可得CE＝BCcos ＝，则AE＝AC－CE＝8－＝， 因为∠ACB＝，可得∠ADB＝. 在直角△ADE中，可得tan ∠ADE＝， 即tan ＝＝，所以DE＝＝＝， 所以S△ACD＝＝×8×＝， 所以四边形ABCD的面积为S＝S△ABC＋S△ACD＝10＋＝. 任务二　用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 (链教材P121例8)如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速30公里/小时送快件到C处，已知BD＝8(公里)，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，△ABD是等腰三角形，∠ABD＝120°. (1)试问，快递小哥能否在30分钟内将快件送到C处？ (2)快递小哥出发5分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问汽车是否先到达C处？(参考数据：≈1.414，≈1.732，sin 105°＝) 解：(1)在△BCD中，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，则∠CBD＝105°， 由正弦定理得＝＝，所以BC＝4(公里)， 因为△ABD是等腰三角形，∠ABD＝120°，所以AB＝BD＝8(公里)， 因为×60＝16＋8≈27.3＜30(分钟)， 所以快递小哥能在30分钟内将快件送到C处. (2)在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos ∠ABD， 得AD＝8(公里)， 由(1)知CD＝＝＝4(＋1)(公里). 又因为×60＋5＝12＋9≈29.8＞27.3(分钟)， 所以汽车不能先到达C处. 　　余弦定理、正弦定理在实际中的应用，本质是正弦、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形、四边形)问题中的应用，关键是分清在哪个三角形中利用正弦、余弦定理解决问题. 对点练2.如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的港口A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时. (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 解：(1)依题意知，在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°， 则∠OBA＝90°，于是AB＝60，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时. (2)由(1)知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与货轮汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货轮在C处相遇， 在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°， 所以OB＝60. 而在△OCB中，BC＝60t，OC＝20(2＋t)，∠BOC＝30°. 由余弦定理，得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos ∠BOC， 即(60t)2＝(60)2＋[20(2＋t)]2－2×60×20(2＋t)×， 即8t2＋5t－13＝0，解得t＝1或t＝－(舍)，故t＋2＝3. 即两艘船最少经过3小时能和货轮相遇. 学生用书⬇第93页 任务三　余弦定理、正弦定理与向量知识的综合应用 (链教材P122例9)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，cos A)，n＝(sin B，b)，且m⊥n. (1)求角A； (2)若a＝7，b＝3，求△ABC的面积. 解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝asin B＋bcos A＝0， 由正弦定理得sin Asin B＋sin Bcos A＝0， 因为B是△ABC的内角，所以sin B≠0， 所以sin A＋cos A＝0，即tan A＝－， 因为A是△ABC的内角，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝9＋c2－6ccos， 解得c＝5(c＝－8舍去)， 所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5sin＝. 　　三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、平面向量等知识联系在一起综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解. 对点练3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝，n＝，且m⊥n. (1)求角B； (2)若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 解：(1)因为m⊥n，所以sin A＋＝0. 由正弦定理，得a＋＝0， a2－ac＋c2－b2＝0，a2＋c2－b2＝ac， 则cos B＝＝＝， 因为B∈，则B＝. (2)由三角形面积公式，得＝×2a×，故a＝2. 所以b2＝a2＋c2－2accos ＝22＋－2×2×2×＝22，所以b＝2， 所以△ABC的周长为2＋2＋2＝4＋2. 任务再现 1.用余弦定理、正弦定理解决有关几何计算问题.2.用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.3.余弦定理、正弦定理与向量知识的综合应用 方法提炼 数形结合思想方法、转化与化归思想方法 易错警示 用正弦定理进行边和角的转化时易出现不等价变形 1.兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列.若将每个小岛近似看成正方形，在2×3正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如图，则∠ABC的值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：如图所示，依题意，连接AC，不妨设小正方形方格边长为1，则｜AB｜＝，｜BC｜＝，｜AC｜＝，由余弦定理得cos ∠ABC＝＝，因为0＜∠ABC＜π，故得∠ABC＝.故选B. 2.如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，BC＝6，∠BCD＝120°，AD⊥AB，则AB＝(　　) A.4 B.8 C.3 D.6 答案：A 解析：连接BD，图略，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2BC·CD·cos ∠BCD＝52，所以BD＝2，在△ABD中，易知∠BAD＝90°，AD＝2，所以AB＝＝4.故选A. 3.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案：D 解析：由sin 2A＝sin 2B，又0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D. 4.(双空题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝3，sin C＝2sin A，则c＝　　　，·＝　　　　. 答案：2　8 解析：在△ABC中，sin C＝2sin A，a＝，由正弦定理可得c＝2a＝2.在△ABC中，a＝，b＝3，c＝2.由余弦定理可得cos B＝＝＝，所以·＝cacos B＝2××＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $